Стани поляризації фотона

Є безліч інших цікавих для вивчення систем з двома станами, і перша, про яку ми хотіли б поговорити, –  це фотон. Щоб описати фотон, потрібно спершу задати вектор його імпульсу. У вільного фотона імпульс визначає й частоту, так що вказувати окремо частоту не доведеться. Але ще залишається одна властивість, яку іменують поляризацією. Уявіть собі фотон, що приходить до нас із певною монохроматичною частотою (яку в усьому нашому обговоренні ми будемо вважати сталою, так що можна не говорити про безліч станів імпульсу). Тоді існують два напрямки поляризації. За класичною теорією світло має, наприклад, або горизонтально коливне електричне поле, або вертикально коливне електричне поле; це світло двох сортів називають x-поляризованим і у-поляризованим світлом. У світла може бути й якийсь інший напрямок поляризації, його можна створити суперпозицією полів у напрямку x і в напрямку y. Або, взявши x- і y-компоненти зі зсувом фаз на 90°, отримати електричне поле, що обертається, — світло буде поляризоване еліптично. [Це коротке нагадування класичної теорії поляризованого світла, яку ми вивчали в розд. 33 (вип. 3).]
 
Нехай тепер у нас є поодинокий фотон, всього один. Уже немає електричного поля, яке можна було б розглядати колишнім способом. Один-єдиний фотон і нічого більше. Але він теж повинен мати аналог класичного явища поляризації. Отже, повинні існувати щонайменше два різних сорти фотонів. Спершу могло б здатися, що їх повинно бути нескінченна безліч, адже, хоч би там що, електричний вектор може бути спрямований у будь-який бік. Однак поляризацію фотона можна описати як систему з двома станами. Фотон може бути або в стані |х>, або в стані |y>. Під | x> мається на увазі стан поляризації кожного з фотонів у пучку світла, який класично x-поляризований. А | у> означає стан поляризації кожного з фотонів у y-поляризованому пучку. Ці | x> і | y> ви можете вибрати як базисні стани фотона з даним спрямованим на вас імпульсом—імпульсом  у напрямку z. Отже, існують два базисні  стани | х> і | y>,  і їх цілком достатньо, щоб описати будь-який фотон.
Наприклад, якщо в нас є поляроїд, вісь якого розташована так, щоб пропускати світло, поляризоване в напрямку, який ми називаємо напрямком x, і якщо ми спрямували туди фотон, який, як нам відомо, перебуває в стані | y >, то він поглинеться поляроїдом. Якщо послати туди фотон, який, як нам відомо, перебуває в стані |x>, він і вийде в стані |x>. Коли ми беремо шматок кальциту (ісландського шпату), який розщеплює пучок поляризованого світла на |х>-пучок і | y>-пучок, то цей шматок кальциту повністю аналогічний приладу Штерна — Герлаха, що розщеплює пучок атомів срібла на два стани |+> і | –>. Отже, усе, що ми раніше робили з частинками й приладами Штерна — Герлаха, можна повторити зі світлом і шматками поляроїда. А що можна сказати про світло, відфільтроване шматком поляроїда, повернутим на кут θ? Це інший стан? Так, дійсно, це інший стан. Позначимо вісь поляроїда x′, щоб відрізняти її від осей наших базисних станів (фіг. 9.2). Фотон, що виходить назовні, буде в стані |x′>. Але будь-який стан може бути представлений у вигляді лінійної комбінації базисних станів, а формула для такої комбінації відома:

Інакше кажучи, якщо фотон пройде крізь шматок поляроїда, повернутого на кут θ (щодо x), він усе одно може бути розкладений на I x>- і | y>-пучки (наприклад, шматком кальциту). Або, якщо завгодно, ви можете у своїй уяві просто розбити його на x- і у-компоненти. Будь-яким шляхом ви отримаєте амплітуду cos θ бути в | x>-стані і амплітуду sin θ бути в | y>-стані.
 
Тепер поставимо таке  питання: нехай фотон  поляризований у напрямку x′ шматком поляроїда, повернутого на кут  θ, і нехай він потрапить в інший поляроїд, повернутий на кут нуль (фіг. 9.3). Що тоді станеться? З якою ймовірністю він пройде крізь поляроїд? Відповідь: Пройшовши перший поляроїд, фотон напевно опиняється в стані | x′ >. Крізь другий поляроїд він протиснеться лише в тому разі, якщо буде в стані | x> (і поглинеться ним, опинившись у стані | y>). Отже, ми запитуємо, з якою ймовірністю фотон опиниться в стані | x>? Цю ймовірність ми отримаємо з квадрата модуля амплітуди <x | x′>. амплітуди того, що фотон у стані | x′> перебуває також і в стані |x>. Чому дорівнює <x | x′>? Помноживши (9.33) на <x |, отримаємо

Але  <x | у >=0; це випливає з фізики, так повинно бути, якщо |x> і  |y> суть базисні стани, а  <x | x >=1.  І ми отримуємо

а ймовірність дорівнює cos²θ. Наприклад, якщо перший поляроїд поставлено під кутом 30°, то ³/₄ часу фотон проходитиме крізь нього, а ¹/₄ часу нагріватиме поляроїд, поглинаючись усередині нього.
 
Подивимося тепер, що в такій же ситуації відбувається з погляду класичної фізики. Там ми мали б пучок світла, електричне поле якого змінюється тим чи іншим чином,— скажімо «неполяризований» пучок. Після того як він пройшов би крізь перший поляроїд, електричне поле величини E почало б коливатися в напрямку x′ ; ми б накреслили його у вигляді коливного вектора з піковим значенням E₀ на діаграмі фіг. 9.4 Якби потім світло досягло другого поляроїда, то крізь нього пройшла б тільки x-компонента E₀cosθ електричного поля. Інтенсивність була б пропорційна квадрату поля, тобто E²₀cos²θ. Отже, енергія, що проходить крізь останній поляроїд, була б у cos²θ слабшою за енергію, що надходить у нього.
 
І класична, і квантова картини приводять до однакових результатів. Якби ви кинули на другий поляроїд 10 мільярдів фотонів, а середня ймовірність проходження кожного з них була б, скажімо, ³/₄, то слід було б очікувати, що крізь нього пройде ³/₄ від 10 мільярдів. Рівним чином і енергія, яку вони понесли б, склала б ³/₄ тієї енергії, яку вам хотілося протовкнути крізь поляроїд. Класична теорія нічого не говорить про статистику цих речей, вона просто стверджує, що енергія, яка пройде наскрізь, точно дорівнює ³/₄ тієї енергії, яка була пущена в поляроїд. Це, звісно, немислимо, якщо фотон тільки один. Не буває ³/₄, фотона. Або він весь тут, або його зовсім немає. І квантова механіка каже нам, що він буває весь тут ³/₄ часу. Зв'язок обох теорій ясний.
 
А як же з іншими сортами поляризації? Скажімо, з правою круговою поляризацією? У класичній теорії компоненти x і y правої кругової поляризації були рівні, але зсунуті по фазі на 90°. У квантовій теорії фотон, поляризований по кругу вправо («правий»), має рівні амплітуди бути | х> і | y>-поляризованим, і ці амплітуди зсунуті по фазі на 90°. Позначаючи стан «правого» фотона через | П >, а стан «лівого» фотона через |Л>, можна написати [див. розд. 33,  § 1 (вип. 3)]

Множник 1/√2 поставлений, щоб нормувати стани. За допомогою цих станів можна підраховувати будь-які ефекти, пов'язані з фільтрами або інтерференцією, застосовуючи закони квантової теорії. За бажанням можна також вибрати як базисні стани | П > і | Л > і все представляти через них. Треба тільки попередньо переконатися, що <П | Л>=0, а це можна зробити, взявши сполучений вигляд першого рівняння [див. (6.13)] і перемноживши їх одне з одним. Можна розкладати світло, користуючись як базисом і x-, і y-поляризаціями, і x′-, і y′-поляризаціями, а можна—і правою, і лівою поляризаціями.
 
Спробуйте (просто для вправи) обернути наші формули. Чи можна уявити стан I x> у вигляді лінійної комбінації правого й лівого? Так, ось відповідь:

Доказ: додайте і відніміть два рівняння в (9.34). Від одного базису до іншого дуже легко переходити.
 
Утім, одне зауваження треба б зробити. Якщо фотон поляризований по правому кругу, він не має ніякого стосунку до осей x і y. Якби ми поглянули на нього із системи координат, повернутої навколо напрямку польоту на якийсь кут, то світло і далі було б поляризоване по кругу; так само з лівою поляризацією. Право- і лівополяризоване по кругу світло за будь-якого такого повороту однакове; визначення не залежить від вибору напрямку x (якщо не рахувати того, що напрямок фотона заданий). Чудово, чи не так? Для визначення не потрібні жодні осі. Набагато краще, ніж x і y! Але, з іншого боку, чи не диво, що, додаючи ліве і праве, ви здатні дізнатися, де був напрямок x? Якщо «праве» і «ліве» ніяк не залежать від x, то як же виходить, що ми можемо додати їх і знову отримати x? На це запитання можна частково відповісти, розписавши стан | П′>, що представляє фотон, правополяризований у системі координат x′, y′. У цій системі ми б написали

Як же виглядатиме такий стан у системі x, у? Підставимо | x′> з (9.33) і відповідне |y′>; ми його не виписували, але воно дорівнює (– sin θ) |x> + (cos θ) |y>. Тоді

Перший множник – це просто  | П> , а другий e^–iδ; підсумок такий:

Стани | П′> і |П> відрізняються тільки фазовим множником e^–iθ. Якщо підрахувати таку саму річ для |Л′ >, ми отримаємо

Тепер ми бачимо, що відбувається. Склавши  |П> і |Л>, ми отримуємо щось відмінне від того, що вийшло б при складанні |П′> і |Л′>. Скажімо, x-поляризований фотон є [див. (9.35)] сума |П> і |Л>, але у-поляризований фотон — це сума зі зсувом фази першого на 90° назад, а другого — на 90° вперед. Це просто те саме, що вийшло б із суми |П′> і |Л′>, за певного вибору кута θ=90, і це правильно. У штрихованій системі x-поляризація -- це те саме, що y-поляризація в первісній системі. Значить, не зовсім правильно, що поляризований по кругу фотон виглядає в будь-якій системі осей однаково. Його фаза (фазове співвідношення між право- і лівополяризованими по кругу станами) запам'ятовує напрямок x.