Щоб упоратися з усім тим, що ми досі робили в квантовій механіці, вистачило б звичайної алгебри, але ми все ж час від часу демонстрували особливі способи запису квантовомеханічних величин і рівнянь. Тепер ми хотіли б розповісти трохи більше про деякі цікаві й корисні способи опису квантовомеханічних величин.
До предмета квантової механіки можна підійти різними способами, і в багатьох книжках вдаються до зовсім іншого підходу, ніж у нас. Коли ви почнете читати інші книжки, може виявитися, що вам не вдасться одразу пов'язати те, що в них говориться, з тим, що робили ми. Хоча в цьому розділі ми й отримаємо деякі нові результати, він не схожий на інші розділи. У нього зовсім інша мета: розповісти про інші способи вираження тих самих фізичних уявлень. Знаючи це, ви легше зрозумієте, про що йдеться в інших книжках.
Коли люди вперше почали розробляти класичну механіку, вони незмінно розписували свої рівняння через x-, у- та z-компоненти. Потім хтось зробив крок уперед і вказав, що все можна спростити, увівши векторні позначення. Щоправда, дуже часто, щоб уявити собі задачу конкретніше, ви розкладаєте вектори назад на їхні компоненти. Але зазвичай все ж набагато легше робити розрахунки й розбиратися в суті справи, працюючи з векторами. У квантовій механіці нам теж вдалося спростити запис багатьох речей, скориставшись ідеєю «вектора стану». Вектор стану |ψ> не має, звісно, нічого спільного з геометричними векторами в тривимірному просторі: це просто відсторонений символ, який позначає фізичний стан, позначуваний своїм «значком» або «назвою» ψ. Це уявлення дуже й дуже корисне, тому що мовою цих символів закони квантової механіки виглядають як алгебраїчні рівняння. Наприклад, той наш фундаментальний закон, що будь-який стан можна скласти з лінійної комбінації базисних станів, записується так:
До предмета квантової механіки можна підійти різними способами, і в багатьох книжках вдаються до зовсім іншого підходу, ніж у нас. Коли ви почнете читати інші книжки, може виявитися, що вам не вдасться одразу пов'язати те, що в них говориться, з тим, що робили ми. Хоча в цьому розділі ми й отримаємо деякі нові результати, він не схожий на інші розділи. У нього зовсім інша мета: розповісти про інші способи вираження тих самих фізичних уявлень. Знаючи це, ви легше зрозумієте, про що йдеться в інших книжках.
Коли люди вперше почали розробляти класичну механіку, вони незмінно розписували свої рівняння через x-, у- та z-компоненти. Потім хтось зробив крок уперед і вказав, що все можна спростити, увівши векторні позначення. Щоправда, дуже часто, щоб уявити собі задачу конкретніше, ви розкладаєте вектори назад на їхні компоненти. Але зазвичай все ж набагато легше робити розрахунки й розбиратися в суті справи, працюючи з векторами. У квантовій механіці нам теж вдалося спростити запис багатьох речей, скориставшись ідеєю «вектора стану». Вектор стану |ψ> не має, звісно, нічого спільного з геометричними векторами в тривимірному просторі: це просто відсторонений символ, який позначає фізичний стан, позначуваний своїм «значком» або «назвою» ψ. Це уявлення дуже й дуже корисне, тому що мовою цих символів закони квантової механіки виглядають як алгебраїчні рівняння. Наприклад, той наш фундаментальний закон, що будь-який стан можна скласти з лінійної комбінації базисних станів, записується так:
Зображення
де Сi — сукупність звичайних (комплексних) чисел, амплітуд Ci=<i |ψ>, а |1>, |2>, |3> і т. д. позначають базисні стани в деякому базисі, або представленні.
Якщо ви берете якийсь фізичний стан і щось проробляєте над ним (повертаєте або чекаєте протягом часу Δt чи ще щось), то ви отримуєте вже інший стан. Ми кажемо: «виконуючи над станом операцію, отримуємо новий стан». Цю ж ідею можна виразити рівнянням
Якщо ви берете якийсь фізичний стан і щось проробляєте над ним (повертаєте або чекаєте протягом часу Δt чи ще щось), то ви отримуєте вже інший стан. Ми кажемо: «виконуючи над станом операцію, отримуємо новий стан». Цю ж ідею можна виразити рівнянням
Зображення
Операція над станом створює новий стан. Оператор A позначає якусь визначену операцію. Коли ця операція виконується над якимось станом, скажімо над |ψ>, вона створює якийсь інший стан |φ>.
Що означає рівняння (18.2)? Ми визначаємо його зміст так. Помноживши рівняння на <i| і розклавши |ψ> за (18.1), ви отримаєте
Що означає рівняння (18.2)? Ми визначаємо його зміст так. Помноживши рівняння на <i| і розклавши |ψ> за (18.1), ви отримаєте
Зображення
(| j> — це стани з тієї самої сукупності, що й |i>). Тепер це просто алгебраїчне рівняння. Число <i|φ> показує, яку кількість базисного стану |i> ви виявите в |φ>, і воно визначається через лінійну суперпозицію амплітуд <j|ψ> того, що ви виявите |ψ> в тому чи іншому базисному стані. Числа <i|A| j> — це просто коефіцієнти, які говорять, скільки (яка частка) стану <j|ψ> входить у суму. Оператор A чисельно описується набором чисел, або «матрицею»
Зображення
Отже, (18.2) — це запис рівняння (18.3) на вищому рівні. А насправді навіть трохи й понад те: у ньому мається на увазі дещо більше. У (18.2) немає посилання на ту чи іншу систему базисних станів. Рівняння (18.3) — це образ рівняння (18.2) у деякій системі базисних станів. Але, як відомо, годиться будь-яка система. Саме це й мається на увазі в (18.3). Операторна манера запису, отже, ухиляється від того чи іншого вибору системи. Звісно, якщо вам хочеться визначеності, ви вільні обрати одну із систем. І коли ви робите цей вибір, ви пишете рівняння (18.3). Отже, операторне рівняння (18.2) — це більш відсторонений спосіб запису алгебраїчного рівняння (18.3). Це дуже нагадує різницю між записом
Зображення
Перший спосіб наочніший. Але якщо вам знадобляться числа, ви напевно задасте спершу компоненти відносно деякої системи осей. Так само, якщо ви хочете дати зрозуміти, що за штука A, вам потрібно бути готовими задати матрицю Aij через деяку сукупність базисних станів. І поки ви маєте на увазі певну сукупність чисел Aij, рівняння (18.2) означає те саме, що й (18.3). (І потрібно ще пам'ятати, що якщо вже ви знаєте матрицю для однієї окремої сукупності базисних станів, то завжди зможете підрахувати матрицю, що відповідає будь-якому іншому базису. Матрицю завжди можна перетворити від одного представлення до іншого.)
Операторне рівняння (18.2) допускає й інші можливості. Якщо ми уявили собі якийсь оператор A, то його можна застосувати до будь-якого стану |ψ> і він створить новий стан A |ψ>. Часом отримуваний таким шляхом «стан» може виявитися дуже своєрідним — він може вже не являти собою жодної фізичної ситуації, з якою можна зустрітися в природі. (Наприклад, може вийти стан, який не нормований на ймовірність отримати один електрон.) Іншими словами, часом ми можемо отримати «стани», які є математично штучними утвореннями. Ці штучні «стани» можуть все одно виявитися корисними, найчастіше в якихось проміжних обчисленнях.
Ми вже наводили багато прикладів квантовомеханічних операторів. Нам траплявся оператор повороту Ry(θ), який, узявши стан |ψ>, робить із нього новий стан, що являє собою старий стан з погляду повернутої системи координат. Траплявся оператор парності (або інверсії) Р, що створює новий стан обертанням усіх координат. Зустрічалися й оператори σx, σy і σz для частинок зі спіном 1/2.
Оператор Jz визначався в розд. 15 через оператор повороту на малі кути ε:
Операторне рівняння (18.2) допускає й інші можливості. Якщо ми уявили собі якийсь оператор A, то його можна застосувати до будь-якого стану |ψ> і він створить новий стан A |ψ>. Часом отримуваний таким шляхом «стан» може виявитися дуже своєрідним — він може вже не являти собою жодної фізичної ситуації, з якою можна зустрітися в природі. (Наприклад, може вийти стан, який не нормований на ймовірність отримати один електрон.) Іншими словами, часом ми можемо отримати «стани», які є математично штучними утвореннями. Ці штучні «стани» можуть все одно виявитися корисними, найчастіше в якихось проміжних обчисленнях.
Ми вже наводили багато прикладів квантовомеханічних операторів. Нам траплявся оператор повороту Ry(θ), який, узявши стан |ψ>, робить із нього новий стан, що являє собою старий стан з погляду повернутої системи координат. Траплявся оператор парності (або інверсії) Р, що створює новий стан обертанням усіх координат. Зустрічалися й оператори σx, σy і σz для частинок зі спіном 1/2.
Оператор Jz визначався в розд. 15 через оператор повороту на малі кути ε:
Зображення
Це, звісно, просто означає, що
Зображення
У цьому прикладі Jz|ψ> — це помножений на h/iε стан, що отримується тоді, коли ви повернете |ψ> на малий кут ε і потім віднімете попередній стан. Він являє собою «стан», що є різницею двох станів.
Ще один приклад. Ми мали оператор рx, він називався оператором (x-компоненти) імпульсу і визначався рівнянням, схожим на (18.6). Якщо Dx(L) — оператор, який зміщує стан уздовж x на довжину L, то рx визначався так:
Ще один приклад. Ми мали оператор рx, він називався оператором (x-компоненти) імпульсу і визначався рівнянням, схожим на (18.6). Якщо Dx(L) — оператор, який зміщує стан уздовж x на довжину L, то рx визначався так:
Зображення
де δ — мале зміщення. Зміщення стану |ψ> уздовж осі x на невелику відстань δ дає новий стан |ψ′>. Ми кажемо, що цей новий стан є старий стан плюс ще новий шматочок
Зображення
Оператори, про які ми говоримо зараз, діють на вектор стану, скажімо на |ψ>, що є абстрактним описом фізичної ситуації. Це зовсім не те, що алгебраїчні оператори, що діють на математичні функції. Наприклад, d/dx це «оператор», дія якого на f(x) створює з f(x) нову функцію f′(x)=df/dx. Інший приклад алгебраїчного оператора — це ∇2. Можна зрозуміти, чому в обох випадках користуються одним і тим самим словом, але потрібно пам'ятати, що це різні типи операторів. Квантовомеханічний оператор A діє не на алгебраїчну функцію, а на вектор стану, скажімо на |ψ>. У квантовій механіці вживаються і ті, і ті оператори, і часто, як ви побачите, у рівняннях подібного типу.
Коли ви вперше вивчаєте предмет, весь час треба мати на увазі цю різницю. А пізніше, коли предмет стане вам ближчим, ви побачите, що не так уже й важливо робити різке розрізнення між одними операторами й іншими. І в багатьох книжках, як ви переконаєтеся, обидва типи операторів позначаються однаково!
Тепер нам пора просунутися вперед і дізнатися про багато корисних речей, які можна проробляти за допомогою операторів. Але для початку невелике зауваження. Нехай у нас є оператор A, матриця якого в якомусь базисі є Aij≡ <i|A |j>. Амплітуда того, що стан A|ψ> перебуває також у якомусь іншому стані |φ>, є <φ|A|ψ>. Чи має сенс комплексне спряження цієї амплітуди? Ви, ймовірно, зможете показати, що
Коли ви вперше вивчаєте предмет, весь час треба мати на увазі цю різницю. А пізніше, коли предмет стане вам ближчим, ви побачите, що не так уже й важливо робити різке розрізнення між одними операторами й іншими. І в багатьох книжках, як ви переконаєтеся, обидва типи операторів позначаються однаково!
Тепер нам пора просунутися вперед і дізнатися про багато корисних речей, які можна проробляти за допомогою операторів. Але для початку невелике зауваження. Нехай у нас є оператор A, матриця якого в якомусь базисі є Aij≡ <i|A |j>. Амплітуда того, що стан A|ψ> перебуває також у якомусь іншому стані |φ>, є <φ|A|ψ>. Чи має сенс комплексне спряження цієї амплітуди? Ви, ймовірно, зможете показати, що
Зображення
де А+ (читається «А з хрестом») це оператор, матричні елементи якого дорівнюють
Зображення
Іншими словами, щоб отримати i, j-й елемент матриці A† ви звертаєтеся до j, i-го елемента матриці А† (індекси переставлені) і комплексно його спрягаєте. Амплітуда того, що стан А†|φ> перебуває в стані |ψ>, комплексно спряжена амплітуді того, що A |ψ> перебуває в |φ>. Оператор А† називається «ермітово спряженим» оператору A. Багато важливих операторів квантової механіки мають особливу властивість: якщо їх ермітово спрягти, ви знову повертаєтеся до того самого оператора. Якщо B саме такий оператор, то B†=В; його називають «самоспряженим», або «ермітовим», оператором.