Момент кількості руху

Заради цікавості розглянемо ще одну операцію — операцію орбітального моменту кількості руху. У розд. 15 ми визначили оператор J_z через R_z(φ) — оператор повороту на кут φ навколо осі z. Розглянемо зараз систему, що описується всього лише однією-єдиною хвильовою функцією ψ(r), яка є функцією тільки самих координат і не враховує того факту, що спін в електрона повинен бути спрямований або вгору, або вниз. Це означає, що ми збираємося поки що знехтувати внутрішнім моментом кількості руху і маємо намір думати тільки про орбітальну частину. Щоб підкреслити відмінність, позначимо орбітальний оператор L_z і визначимо його через оператор повороту на нескінченно малий кут ε формулою

(нагадуємо: це визначення застосовне тільки до стану |ψ>, у якого немає внутрішніх спінових змінних, а є тільки залежність від координат r: x, y, z). Якщо ми поглянемо на стан |ψ> з нової системи координат, поверненої навколо осі z на невеликий кут ε, то побачимо новий  стан:

Якщо ми вирішили описувати стан |ψ> у координатному представленні, тобто за допомогою його хвильової функції ψ(r), то слід очікувати такої рівності:

Що ж таке L? А ось що. Точка P (x, y) у новій системі координат (насправді x′, y′, але ми прибрали штрихи) раніше мала координати х—εy і y+εx (фіг. 18.2). Оскільки амплітуда того, що електрон опиниться в точці P, не змінюється від повороту системи координат, то можна писати

Це і є наша відповідь. Зверніть, однак, увагу, що це визначення еквівалентне такому:

Або, якщо повернутися до наших квантовомеханічних операторів, можна написати

Цю формулу легко запам'ятати, тому що вона схожа на знайому формулу класичної механіки: це z-компонента векторного добутку

Одна із забавних сторін маніпуляцій з операторами полягає в тому, що багато класичних рівнянь переносяться в квантовомеханічну форму. А які ні? Адже мають бути й такі, що не виходять, тому що якби все повторювалося, то в квантовій механіці не було б нічого відмінного від класичної, не було б нової фізики.
 
Ось вам рівняння, яке відрізняється. У класичній фізиці

А що в квантовій механіці?

Підрахуємо це в x-представленні. Щоб було видно, що ми робимо, застосуємо це до якоїсь хвильової функції ψ(z). Пишемо

Згадаймо  тепер, що похідні  діють на все, що справа. Отримуємо

Відповідь не нуль. Уся операція просто рівнозначна множенню на —h/i:

Якби стала Планка дорівнювала нулю, то квантові й класичні результати стали б однаковими і не довелося б нам вивчати ніякої квантової механіки!
 
Зазначимо, що якщо якісь два оператори A і  B, узяті в поєднанні

не дають нуля, то ми говоримо, що «оператори не переставні», або «оператори не комутують». А рівняння накшталт (18.74) називається «переставним співвідношенням». Ви можете самі переконатися, що переставне співвідношення для p_x і y (або комутатор р_x і y) має вигляд

Існує ще одне дуже важливе переставне співвідношення. Воно стосується моментів кількості руху. Його вигляд такий

Якщо ви хочете набути певного досвіду роботи з операторами x і p, спробуйте довести цю формулу самі.
 
Цікаво зауважити, що оператори, які не комутують, можна зустріти й у класичній фізиці. Ми вже з цим стикалися, коли говорили про повороти в просторі. Якщо ви повернете щось, наприклад книжку, спершу на 90° навколо осі x, а потім на 90° навколо осі y, то вийде зовсім не те, що було б, якби спочатку ви повернули її на 90° навколо осі y, а після на 90° навколо осі x. Саме ця властивість простору і відповідальна за рівняння (18.75).