Оператор положення

Яким є середнє положення електрона в атомі? У даному стані |ψ> яким є середнє значення координати x? Розберемо одновимірний випадок, а узагальнення на тривимірний або на системи з великим числом частинок залишиться на вашу долю. Ми маємо стан, що описується функцією ψ (x), і продовжуємо раз у раз вимірювати x. Що вийде в середньому? Очевидно,  ∫хР (x) dx, де Р(x)—ймовірність виявити електрон у невеликому елементі довжини dx біля x. Нехай густина ймовірності Р(x) змінюється з x так, як показано на фіг. 18.1. Найімовірніше ви виявите електрон десь біля вершини кривої. Середнє значення x теж припаде кудись на область неподалік від вершини, а точніше, якраз на центр ваги площі,  обмеженої кривою.
 
Ми бачили раніше, що P(x)=|ψ(x)|²=ψ*(x)ψ(x), отже, середнє x можна записати у  вигляді

Наше рівняння для <х>_ср має той самий вигляд, що й (18.18). Коли ми рахували середню енергію, ми ставили між двома ψ оператор H, а коли рахуємо середнє положення, ставимо просто x. (Якщо завгодно, можете розглядати x як алгебраїчний оператор «помнож на x».) Цю паралель можна провести ще далі, виразивши середнє положення у формі, яка відповідає рівнянню (18.18). Припустимо, що ми просто написали

і дивимося, чи не вдасться знайти такий оператор x, щоб він створював стан | α>, при якому рівняння (18.34) не суперечить рівнянню (18.33). Іншими словами, ми повинні знайти таке | α>, щоб було

Розкладемо спершу <ψ|α> за x-представленням:

Порівняємо потім інтеграли в (18.36) і (18.37). Ви бачите, що в x-представленні (і тільки в цьому представленні)

Дія на |ψ> оператора x для одержання |α> рівнозначна множенню ψ (x)=<x|ψ> на x для одержання α (x) =<х|α>. Перед нами визначення оператора x у координатному представленні.
 
(Ми не ставили собі за мету одержати x-представлення матриці оператора x. Якщо ви честолюбні, спробуйте показати, що

Тоді ви зможете довести дивовижну формулу

тобто оператор x має цікаву властивість: коли він діє на базисний стан | x>, то це рівнозначно множенню на x.)
 
А може, ви хочете знати середнє значення х²? Воно дорівнює

Або, якщо бажаєте, можна написати і так:

Під х² мається на увазі хх — два оператори застосовуються один за одним. За допомогою (18.42) можна підрахувати <x²>_ср, користуючись яким завгодно представленням (базисними станами). Якщо вам потрібно знати середнє значення хⁿ або будь-якого многочлена за x, то ви легко це тепер зробите.