Оператор места

Каково среднее местоположение электрона в атоме? В данном состоянии |ψ> каково среднее значение координаты x? Разберем одномерный случай, а обобщение на трехмерный или на системы с большим числом частиц останется на вашу долю. Мы имеем состояние, описываемое функцией ψ (x), и продолжаем раз за разом измерять x. Что получится в среднем? Очевидно,  ∫хР (x) dx, где Р(x)—вероятность обнаружить электрон в небольшом элементе длины dx возле x. Пусть плотность вероятности Р(x) меняется с x так, как показано на фиг. 18.1. Вероятнее всего вы обнаружите электрон где-то возле вершины кривой. Среднее значение x тоже придется куда-то на область невдалеке от вершины, а точнее, как раз на центр тяжести площади,  ограниченной кривой.
 
Мы видели раньше, что P(x)=|ψ(x)|²=ψ*(x)ψ(x), значит, среднее x можно записать в  виде

Наше уравнение для <х>_ср имеет тот же вид, что (18.18). Когда мы считали среднюю энергию, мы ставили между двумя ψ оператор H, а когда считаем среднее положение, ставим просто x. (Если угодно, можете рассматривать x как алгебраический оператор «умножь на x».) Эту параллель можно провести еще дальше, выразив среднее местоположение в форме, которая соответствует уравнению (18.18). Предположим, что мы просто написали

и смотрим, не удастся ли найти такой оператор x, чтобы он создавал состояние | α>, при котором уравнение (18.34) не противоречит уравнению (18.33). Иначе говоря, мы должны найти такое | α>, чтобы было

Разложим сперва <ψ|α> по x-представлению:

Сравним затем интегралы в (18.36) и (18.37). Вы видите, что в x-представлении (и только в этом представлении)

Воздействие на |ψ> оператора x для получения |α> равнозначно умножению ψ (x)=<x|ψ> на x для получения α (x) =<х|α>. Перед нами определение оператора x в координатном представлении.
 
(Мы не задавались целью получить x-представление матрицы оператора x. Если вы честолюбивы, попытайтесь показать, что

Тогда вы сможете доказать поразительную формулу

т. е. что оператор x обладает интересным свойством: когда он действует на базисное состояние | x>, то это равнозначно умножению на x.)
 
А может, вы хотите знать среднее значение х²? Оно равно

Или, если желаете, можно написать и так:

Под х² подразумевается хх — два оператора применяются друг за другом. С помощью (18.42) можно подсчитать <x²>_ср, пользуясь каким угодно представлением (базисными состояниями). Если вам нужно знать среднее значение хⁿ или любого многочлена по x, то вы легко это теперь проделаете.