Средние энергии

До сих пор мы в основном напоминали вам о том, что вы уже знаете. А теперь перейдем к новому. Как бы вы подсчитали среднюю энергию системы, скажем, атома? Если атом находится в определенном состоянии с определенной энергией и вы эту энергию измеряете, то вы получите определенную энергию E. Если вы начнете повторять измерения с каждым из множества атомов, которые отобраны так, чтобы быть всем в одинаковом состоянии, то все измерения дадут вам E, и «среднее» изо всех ваших измерений тоже, конечно, окажется E.
 
Но что случится, если вы проделаете свои измерения над состоянием |ψ>, которое не является стационарным? Раз у системы нет определенной энергии, то одно измерение даст одну энергию, то же измерение над другим атомом в том же состоянии даст другую и т. д. Каким же окажется среднее всей серии измерений энергии?
 
На этот вопрос мы ответим, если возьмем проекцию состояния |ψ> на систему состояний с определенной энергией. Чтобы помнить, что это особый базис, будем обозначать эти состояния |η_i>. Каждое из состояний |η_i> обладает определенной энергией E_i. В этом представлении

Когда вы проделываете измерение энергии и получаете некоторое число E_i, вы тем самым обнаруживаете, что система была в состоянии |η_i>. Но в каждом новом измерении вы можете получить новое число. Иногда вы получите Е₁ иногда Е₂, иногда E₃ и т. д. Вероятность, что вы обнаружите энергию E₁, равна попросту вероятности обнаружить систему в состоянии |η₁>, т. е. квадрату модуля амплитуды C₁=<η₁|ψ>. Вероятность обнаружить то или иное возможное значение энергии E_i есть

Как же связать эти вероятности со средним значением всей последовательности измерений энергий? Вообразим, что мы получили ряд результатов измерений, например E₁, E₇, E₁₁, Е₉, E₁, Е₁₀, Е₇, Е₂, Е₃, Е₉, Е₆, E₄ и т. д., всего тысяча измерений. Сложим все энергии и разделим на 1000. Это и есть среднее. Можно сложение проделать и покороче. Посчитайте, сколько раз у вас вышло E₁ (скажем, оно вышло N₁ раз), сколько раз вышло Е₂ (скажем, N₂ раз) и т. д. Ясно, что сумма всех энергий равна

Средняя энергия равна этой сумме, деленной на полное число измерений, т. е. на сумму всех  N_i, которую мы обозначим N:

Мы почти у цели. Под вероятностью какого-нибудь события мы понимаем как раз число случаев, когда ожидается наступление этого события, деленное на общее число испытаний. Отношение N_i /N должно (при больших N) мало отличаться от P_i— вероятности обнаружить состояние |η_i>, хоть и не будет точно совпадать с P_i из-за статистических флуктуации. Обозначим предсказываемую (или «ожидаемую») среднюю энергию <E>_ср; тогда мы вправе сказать

Те же рассуждения подойдут к измерениям каких угодно величин. Среднее значение измеряемой величины A должно равняться

где А_i—различные допустимые значения  наблюдаемой величины, а Р_i — вероятность получения этого значения.
 
Вернемся теперь к нашему  квантовомеханическому состоянию | ψ>. Его средняя энергия равна

А теперь следите внимательно! Сначала перепишем эту сумму так:

Теперь будем рассматривать левое <ψ | как общий множитель. Вынесем его за знак суммы и напишем

Это выражение  имеет вид <ψ|φ>, где   |φ> — некоторое   «придуманное» состояние, определяемое равенством

Иными словами, это то состояние, которое у вас получится, если вы возьмете каждое базисное состояние |η_i> в количестве
E_i <η_i I ψ>.
 
Но вспомним теперь, что такое |η_i>.  Состояния |η_i> считаются стационарными, т. е. для каждого из них

А раз Е_i—просто число, то правая часть совпадает с | η_i> E_i а сумма в (18.16) — с

Теперь приходится просуммировать по i общеизвестную комбинацию, приводящую к единице:

Чудесно, уравнение (18.16) совпало с

Средняя энергия  состояния |ψ> записывается,  стало быть, в очень привлекательном виде

Чтобы получить среднюю энергию, подействуйте на |ψ> оператором H и затем умножьте на <ψ|. Очень простой результат. Наша новая формула для средней энергии не только привлекательна, но и полезна. Теперь нам уже не надо ничего говорить об особой системе базисных состояний. И даже всех уровней энергии знать не нужно. При расчете достаточно выразить наше состояние через какую угодно совокупность базисных состояний, и, если мы знаем гамильтонову матрицу H_ij для этой совокупности, мы уже сможем узнать среднюю энергию. Уравнение (18.18) говорит, что при любой совокупности базисных состояний |i> средняя энергия может быть вычислена из

где амплитуды <i | H | j> как раз и есть элементы матрицы H_ij.
 
Проверим это на том частном примере, когда состояния | i> суть состояния с определенной энергией. Для них H |j> = E_j|j>, так что <i | H | j> = E_jδ_ij  и

что вполне естественно.
 
Уравнение (18.19) можно, кстати, обобщить и на другие физические измерения, которые вы в состоянии выразить в виде оператора. Например, пусть L_z есть оператор z-компоненты момента количества движения L. Средняя z-компонента для состояния |ψ> равна

Один из способов доказательства этой формулы — придумать такую задачу, в которой энергия пропорциональна моменту количества движения. Тогда все рассуждения просто повторятся. Подытоживая, скажем, что если физически наблюдаемая величина A связана с соответствующим квантовомеханическим оператором A, то среднее значение A в состоянии |ψ> дается формулой