Приклад перший: нехай спочатку є постійне поле в напрямку z. Йому відповідають два стаціонарні стани з енергіями ±μBz. Додамо невелике поле в напрямку x. Тоді рівняння вийдуть такими самими, як у нашій старій задачі про два стани. Знову, вкотре, виходить уже знайомий нам перескік, і енергетичні рівні трохи розщеплюються. Нехай, далі, х-компонента поля почне змінюватися в часі, скажімо, як cos ωt. Тоді рівняння стануть такими, як для молекули аміаку в коливному електричному полі (див. розд. 7). І тим самим способом, що й раніше, ви можете розрахувати процес у всіх деталях. При цьому ви побачите, що коливне поле призводить до переходів від + z-стану до —z-стану і назад, якщо тільки горизонтальне поле коливається з частотою, близькою до резонансної, ω0=2μBz/h. Це приводить до квантовомеханічної теорії явищ магнітного резонансу, описаних нами в розд. 35 (вип. 7).
Можна ще зробити мазер, у якому використовується система зі спіном 1/2. Прилад Штерна — Герлаха створює пучок частинок, поляризованих, скажімо, у напрямку + z, і вони потім спрямовуються в порожнину, що перебуває в постійному магнітному полі. Поля, що коливаються в порожнині, взаємодіючи з магнітним моментом, спричинять переходи, які постачатимуть порожнину енергією.
Розглянемо тепер другий приклад. Нехай у нас є магнітне поле В, напрямок якого характеризується полярним кутом θ і азимутальним кутом φ (фіг. 8.10). Припустімо ще, що є електрон, спін якого спрямований по полю. Чому дорівнюють амплітуди С1 і С2 для цього електрона? Іншими словами, позначаючи стан електрона | ψ>, ми хочемо написати
Можна ще зробити мазер, у якому використовується система зі спіном 1/2. Прилад Штерна — Герлаха створює пучок частинок, поляризованих, скажімо, у напрямку + z, і вони потім спрямовуються в порожнину, що перебуває в постійному магнітному полі. Поля, що коливаються в порожнині, взаємодіючи з магнітним моментом, спричинять переходи, які постачатимуть порожнину енергією.Розглянемо тепер другий приклад. Нехай у нас є магнітне поле В, напрямок якого характеризується полярним кутом θ і азимутальним кутом φ (фіг. 8.10). Припустімо ще, що є електрон, спін якого спрямований по полю. Чому дорівнюють амплітуди С1 і С2 для цього електрона? Іншими словами, позначаючи стан електрона | ψ>, ми хочемо написати
Зображення
а | 1> і | 2> означають те саме, що раніше позначалося | + > і | –> (щодо обраної нами осі z).
Відповідь на це питання також міститься в наших загальних рівняннях для систем з двома станами. По-перше, ми знаємо, що раз спін електрона паралельний В, то електрон перебуває в стаціонарному стані з енергією ЕI= — μB. Тому і С1, і С2 повинні змінюватися як e –iEII/h [див.. рівняння (7.18)] ; і їхні коефіцієнти а1 і а2 дано формулою (8.5):
Відповідь на це питання також міститься в наших загальних рівняннях для систем з двома станами. По-перше, ми знаємо, що раз спін електрона паралельний В, то електрон перебуває в стаціонарному стані з енергією ЕI= — μB. Тому і С1, і С2 повинні змінюватися як e –iEII/h [див.. рівняння (7.18)] ; і їхні коефіцієнти а1 і а2 дано формулою (8.5):
Зображення
На додачу а1 і а2 повинні бути нормовані так, щоб було | а1 |2 + | a2 |2 =1. Величини Н11 і H12 ми можемо взяти з (8.22), використовуючи рівності
Зображення
До речі, дужка в другому рівнянні є просто е–iφ, тож простіше писати
Зображення
Підставляючи ці матричні елементи в (8.24) і скорочуючи на —μB, знаходимо
Зображення
Знаючи це відношення і знаючи умову нормування, можна знайти й a1 і а2. Зробити це неважко, але ми скоротимо шлях, вдавшись до одного трюку. Відомо, що 1—cosθ = 2sin2 (θ/2) і sinθ = 2sin(θ/2)cos(θ/2). Отже, (8.27) збігається з
Зображення
Одна з відповідей, отже, така:
Зображення
Вона задовольняє і рівняння (8.28), і умову
Зображення
Ви знаєте, що множення а1 і a2 на довільний фазовий множник нічого не змінює. Зазвичай формулі (8.29) віддають перевагу більш симетричному запису, множачи на eiφ/2. Прийнято писати так:
Зображення
Це і є відповідь на наше запитання. Числа а1 і а2 — це амплітуди того, що електрон буде помічений зі спіном угору або вниз (щодо осі z), якщо відомо, що його спін спрямований уздовж осі (θ, φ). [Амплітуди С1 і С2 дорівнюють просто а1 і a2, помноженим на e–iEIth.]
Зауважте тепер цікаву річ. Напруженість B магнітного поля ніде в (8.30) не з'являється. Той самий результат, звісно, вийде в границі, якщо поле B спрямувати до нуля. Це означає, що ми дали загальну відповідь на запитання, як представляти частинку, спін якої спрямований уздовж довільної осі. Амплітуди (8.30) — це проєкційні амплітуди для частинок зі спіном 1/2, подібні до проєкційних амплітуд для частинок зі спіном 1, наведених у розд. 3 [рівняння (3.38)]. Тепер ми зможемо знаходити для відфільтрованих пучків частинок зі спіном 1/2 амплітуди проникнення через той чи інший фільтр Штерна — Герлаха.
Нехай |+z> являє стан зі спіном, спрямованим по осі z угору, а | – z> — стан зі спіном униз. Якщо | +z′> являє стан зі спіном, спрямованим угору по осі z′, що утворює з віссю z кути θ і φ, то в позначеннях розд. 3 ми маємо
Зауважте тепер цікаву річ. Напруженість B магнітного поля ніде в (8.30) не з'являється. Той самий результат, звісно, вийде в границі, якщо поле B спрямувати до нуля. Це означає, що ми дали загальну відповідь на запитання, як представляти частинку, спін якої спрямований уздовж довільної осі. Амплітуди (8.30) — це проєкційні амплітуди для частинок зі спіном 1/2, подібні до проєкційних амплітуд для частинок зі спіном 1, наведених у розд. 3 [рівняння (3.38)]. Тепер ми зможемо знаходити для відфільтрованих пучків частинок зі спіном 1/2 амплітуди проникнення через той чи інший фільтр Штерна — Герлаха.
Нехай |+z> являє стан зі спіном, спрямованим по осі z угору, а | – z> — стан зі спіном униз. Якщо | +z′> являє стан зі спіном, спрямованим угору по осі z′, що утворює з віссю z кути θ і φ, то в позначеннях розд. 3 ми маємо
Зображення
Ці результати еквівалентні тому, що ми знайшли із суто геометричних міркувань у розд. 4 [рівняння (4.36)]. (Якщо ви свого часу вирішили пропустити розд. 4, то ось перед вами один з її суттєвих результатів.)
Наостанок повернімося ще раз до того прикладу, про який уже не раз говорилося. Розглянемо таку задачу. "Спочатку є електрон зі спіном, спрямованим певним чином, потім на 25 хвилин вмикається магнітне поле в напрямку z, а потім вимикається. Яким виявиться кінцевий стан? Знову уявімо стан у вигляді лінійної комбінації | ψ> = |1> C1+ |2> C2. Але в нашій задачі стани з визначеною енергією є водночас нашими базисними станами | 1> і |2>. Отже, C1 і С2 змінюються лише за фазою. Ми знаємо, що
Наостанок повернімося ще раз до того прикладу, про який уже не раз говорилося. Розглянемо таку задачу. "Спочатку є електрон зі спіном, спрямованим певним чином, потім на 25 хвилин вмикається магнітне поле в напрямку z, а потім вимикається. Яким виявиться кінцевий стан? Знову уявімо стан у вигляді лінійної комбінації | ψ> = |1> C1+ |2> C2. Але в нашій задачі стани з визначеною енергією є водночас нашими базисними станами | 1> і |2>. Отже, C1 і С2 змінюються лише за фазою. Ми знаємо, що
Зображення
Ми сказали, що спочатку в спіна електрона був визначений напрямок. Це означає, що спочатку С1 і С2 були двома числами, що визначаються формулами (8.30). Перечекавши T секунд, нові C1 і C2 ми отримаємо з попередніх множенням відповідно на eiμBzT/ h e–iμBzT/ h. Що це будуть за стани? Дізнатися це легко, адже це все одно, що змінити кут φ, віднявши від нього 2μBzT/h, і не чіпати кут θ.
Це означає, що до кінця інтервалу часу T стан |ψ > представлятиме електрон, вибудуваний у напрямку, що відрізняється від початкового лише поворотом навколо осі z на кут Δφ=2μВzT/h. Оскільки цей кут пропорційний T, можна казати, що напрямок спіна прецесує навколо осі z з кутовою швидкістю 2μВz/h. Цей результат ми вже отримували раніше кілька разів, але не так повно й строго. Тепер ми отримали повний і точний квантовомеханічний опис прецесії атомних магнітів.
Цікаво, що математичні ідеї, які ми щойно застосували до електрона, що обертається в магнітному полі, застосовні і для будь-якої системи з двома станами. Це означає, що, провівши математичну аналогію з електроном, що обертається, можна за допомогою суто геометричних міркувань розв'язати будь-яку задачу для дворівневої системи. Спершу ви зсуваєте енергію так, щоб (Н11+ Н22) дорівнювало нулю (так що Н11= — Н22). І тоді будь-яка задача про таку систему формально збіжиться із задачею про електрон у магнітному полі. Вам потрібно буде лише ототожнити —μВz з H11, а —μ(Вx — iBy ) з H12. І неважливо, яка фізика там була первісно — молекула аміаку чи щось інше, — ви можете перекласти її мовою відповідної задачі про електрон. Отже, якщо ми в змозі розв'язати в загальному випадку задачу про електрон, ми вже розв'язали всі задачі про два стани.
А загальний розв'язок для електронів у нас є! Нехай спочатку електрон має визначений стан, у якому спін спрямований угору за якимось напрямком, а магнітне поле В — у якийсь інший бік. Обертайте просто напрямок спіна навколо осі В з векторною кутовою швидкістю ω (t), що дорівнює деякій константі, помноженій на вектор В (а саме ω= 2μВ/h). Якщо В змінюється в часі, рухайте, як і раніше, вісь обертання так, щоб вона залишалася паралельною В, і змінюйте швидкість обертання так, щоб вона весь час була пропорційна напруженості В (фіг. 8.11). Якщо весь час це робити, ви зупинитеся на якійсь кінцевій орієнтації спінової осі, і амплітуди С1 і С2 вийдуть просто як її проекції [за допомогою (8.30)] на вашу систему координат.
Ви бачите, що ця задача суто геометрична: треба помітити, де закінчилися всі ваші обертання. Хоча одразу видно, що для цього потрібно, але цю геометричну задачу (відшукання остаточного підсумку обертань зі змінним вектором кутової швидкості) нелегко в загальному випадку розв'язати явно. У всякому разі, ми в принципі бачимо загальний розв'язок будь-якої задачі для двох станів. У наступному розділі ми глибше дослідимо математичну техніку поводження з частинками спіна 1/2 і, отже, поводження з системами, що мають два стани, у загальному випадку.
Це означає, що до кінця інтервалу часу T стан |ψ > представлятиме електрон, вибудуваний у напрямку, що відрізняється від початкового лише поворотом навколо осі z на кут Δφ=2μВzT/h. Оскільки цей кут пропорційний T, можна казати, що напрямок спіна прецесує навколо осі z з кутовою швидкістю 2μВz/h. Цей результат ми вже отримували раніше кілька разів, але не так повно й строго. Тепер ми отримали повний і точний квантовомеханічний опис прецесії атомних магнітів.
Цікаво, що математичні ідеї, які ми щойно застосували до електрона, що обертається в магнітному полі, застосовні і для будь-якої системи з двома станами. Це означає, що, провівши математичну аналогію з електроном, що обертається, можна за допомогою суто геометричних міркувань розв'язати будь-яку задачу для дворівневої системи. Спершу ви зсуваєте енергію так, щоб (Н11+ Н22) дорівнювало нулю (так що Н11= — Н22). І тоді будь-яка задача про таку систему формально збіжиться із задачею про електрон у магнітному полі. Вам потрібно буде лише ототожнити —μВz з H11, а —μ(Вx — iBy ) з H12. І неважливо, яка фізика там була первісно — молекула аміаку чи щось інше, — ви можете перекласти її мовою відповідної задачі про електрон. Отже, якщо ми в змозі розв'язати в загальному випадку задачу про електрон, ми вже розв'язали всі задачі про два стани.
А загальний розв'язок для електронів у нас є! Нехай спочатку електрон має визначений стан, у якому спін спрямований угору за якимось напрямком, а магнітне поле В — у якийсь інший бік. Обертайте просто напрямок спіна навколо осі В з векторною кутовою швидкістю ω (t), що дорівнює деякій константі, помноженій на вектор В (а саме ω= 2μВ/h). Якщо В змінюється в часі, рухайте, як і раніше, вісь обертання так, щоб вона залишалася паралельною В, і змінюйте швидкість обертання так, щоб вона весь час була пропорційна напруженості В (фіг. 8.11). Якщо весь час це робити, ви зупинитеся на якійсь кінцевій орієнтації спінової осі, і амплітуди С1 і С2 вийдуть просто як її проекції [за допомогою (8.30)] на вашу систему координат.Ви бачите, що ця задача суто геометрична: треба помітити, де закінчилися всі ваші обертання. Хоча одразу видно, що для цього потрібно, але цю геометричну задачу (відшукання остаточного підсумку обертань зі змінним вектором кутової швидкості) нелегко в загальному випадку розв'язати явно. У всякому разі, ми в принципі бачимо загальний розв'язок будь-якої задачі для двох станів. У наступному розділі ми глибше дослідимо математичну техніку поводження з частинками спіна 1/2 і, отже, поводження з системами, що мають два стани, у загальному випадку.