Звернімося тепер ще до однієї системи з двома станами. Цього разу нашим об'єктом буде частинка зі спіном 1/2. Дещо з того, що ми маємо намір сказати, уже торкалося в попередніх розділах, але повторення допоможе нам трохи прояснити деякі темні місця. Електрон у спокої ми теж можемо вважати системою з двома станами. Хоча в цьому параграфі ми говоритимемо про «електрон», те, що ми з'ясуємо, буде справедливим щодо будь-якої частинки зі спіном 1/2.
Припустімо, що як наші базисні стани | 1> і | 2> ми обрали стани, в яких z-компонента спіна електрона дорівнює або +h/2, або —h/2. Ці стани, звісно, ті самі стани (+) і (—), з якими ми зустрічалися в попередніх розділах. Щоб узгодити ці й попередні позначення, спіновий стан | 1> ми будемо позначати «плюсом», а спіновий стан | 2> — «мінусом», причому «плюс» і «мінус» стосуються моменту кількості руху в напрямку z.
Будь-який мислимий стан |ψ> електрона можна описати рівнянням (8.1), задавши амплітуду С1 того, що електрон перебуває в стані | 1>, і амплітуду С2 того, що він перебуває в стані | 2>. Для цього нам знадобиться гамільтоніан нашої системи з двома станами — електрона в магнітному полі. Почнемо з окремого випадку магнітного поля в напрямку z.
Нехай вектор В має лише z-компоненту Вz. Із визначення двох базисних станів (що їхні спіни паралельні й антипаралельні В) ми знаємо, що вони вже є стаціонарними станами — станами з визначеною енергією в магнітному полі. Стан | 1> відповідає енергії, що дорівнює — μBz, а стан | 2> — енергії +μBz. У цьому випадку гамільтоніан повинен бути дуже простим, оскільки на С1 — амплітуду опинитися в стані | 1> С2 не впливає, і навпаки:
Припустімо, що як наші базисні стани | 1> і | 2> ми обрали стани, в яких z-компонента спіна електрона дорівнює або +h/2, або —h/2. Ці стани, звісно, ті самі стани (+) і (—), з якими ми зустрічалися в попередніх розділах. Щоб узгодити ці й попередні позначення, спіновий стан | 1> ми будемо позначати «плюсом», а спіновий стан | 2> — «мінусом», причому «плюс» і «мінус» стосуються моменту кількості руху в напрямку z.
Будь-який мислимий стан |ψ> електрона можна описати рівнянням (8.1), задавши амплітуду С1 того, що електрон перебуває в стані | 1>, і амплітуду С2 того, що він перебуває в стані | 2>. Для цього нам знадобиться гамільтоніан нашої системи з двома станами — електрона в магнітному полі. Почнемо з окремого випадку магнітного поля в напрямку z.
Нехай вектор В має лише z-компоненту Вz. Із визначення двох базисних станів (що їхні спіни паралельні й антипаралельні В) ми знаємо, що вони вже є стаціонарними станами — станами з визначеною енергією в магнітному полі. Стан | 1> відповідає енергії, що дорівнює — μBz, а стан | 2> — енергії +μBz. У цьому випадку гамільтоніан повинен бути дуже простим, оскільки на С1 — амплітуду опинитися в стані | 1> С2 не впливає, і навпаки:
Зображення
У цьому окремому випадку гамільтоніан дорівнює
Зображення
Отже, ми знаємо, який вигляд має гамільтоніан, коли магнітне поле спрямоване по z, і знаємо ще енергії стаціонарних станів.
А тепер нехай поле не спрямоване по z. Яким тепер буде гамільтоніан? Як змінюються матричні елементи, коли поле не спрямоване по z? Ми зробимо припущення, що для членів гамільтоніана існує свого роду принцип суперпозиції. Точніше, ми припустимо, що якщо два магнітних поля накладаються одне на інше, то члени гамільтоніана просто додаються: якщо нам відомо Hij для поля, що складається з однієї лише компоненти Вz, і відомо Hij для однієї лише Вx, то Hij для поля з компонентами Вz, Вx вийде простим додаванням. Це безсумнівно правильно, якщо розглядаються лише поля в напрямку z: якщо подвоїти Вz, то подвояться і всі Hij. Отже, припустімо, що H лінійно залежить від поля В. Щоб знайти Hij для будь-якого магнітного поля, більше нічого й не потрібно.
Нехай у нас є постійне поле В. Ми могли б провести нашу вісь z у напрямку поля й виявили б два стаціонарні стани з енергіями ±μB. Простий вибір іншого напрямку осей не змінив би фізики справи. Наш опис стаціонарних станів став би іншим, але їхні енергії, як і раніше, були б ±μB, тобто
А тепер нехай поле не спрямоване по z. Яким тепер буде гамільтоніан? Як змінюються матричні елементи, коли поле не спрямоване по z? Ми зробимо припущення, що для членів гамільтоніана існує свого роду принцип суперпозиції. Точніше, ми припустимо, що якщо два магнітних поля накладаються одне на інше, то члени гамільтоніана просто додаються: якщо нам відомо Hij для поля, що складається з однієї лише компоненти Вz, і відомо Hij для однієї лише Вx, то Hij для поля з компонентами Вz, Вx вийде простим додаванням. Це безсумнівно правильно, якщо розглядаються лише поля в напрямку z: якщо подвоїти Вz, то подвояться і всі Hij. Отже, припустімо, що H лінійно залежить від поля В. Щоб знайти Hij для будь-якого магнітного поля, більше нічого й не потрібно.
Нехай у нас є постійне поле В. Ми могли б провести нашу вісь z у напрямку поля й виявили б два стаціонарні стани з енергіями ±μB. Простий вибір іншого напрямку осей не змінив би фізики справи. Наш опис стаціонарних станів став би іншим, але їхні енергії, як і раніше, були б ±μB, тобто
Зображення
Далі все вже зовсім легко. У нас є формули для енергій. Нам потрібен гамільтоніан, лінійний за Вx, Вy і Вz, який дасть саме такі енергії, якщо застосувати нашу загальну формулу (8.3). Завдання — знайти гамільтоніан. Насамперед зауважимо, що енергія розщеплюється симетрично і її середнє значення дорівнює нулю. Глянувши на (8.3), ми одразу побачимо, що для цього потрібно
Зображення
(Зауважте, що це підтверджується тим, що нам уже відомо при Bx=By=0; у цьому випадку H11 = —μBz і H22 — μBz.) Якщо тепер прирівняти енергії з (8.3) до того, що нам відомо з (8.19), то отримаємо
Зображення
(Ми також скористалися тим фактом, що H21=H12, так що H12H21 можна записати у вигляді | Н12 |2.) Знову в окремому випадку поля в напрямку z це дасть
Зображення
звідки | H12 | у цьому окремому випадку дорівнює нулю, що означає, що в H12 не може увійти член з Bz. (Пригадуєте, ми говорили про лінійність усіх членів за Вx, Вy і Вz.)
Отже, поки що ми з'ясували, що в H11 і Н22 входять члени з Bz, а в H12 и Н21 — немає. Можна спробувати вгадати формули, які задовольнятимуть рівнянню (8.20), записавши
Отже, поки що ми з'ясували, що в H11 і Н22 входять члени з Bz, а в H12 и Н21 — немає. Можна спробувати вгадати формули, які задовольнятимуть рівнянню (8.20), записавши
Зображення
Виявляється, що ніяк інакше цього зробити не можна!
«Зачекайте,— скажете ви,— Н12 за B не лінійний. З (8.21) випливає, що Н12= μ√Bx2 +By2 ». Не обов'язково. Є й інша можливість, яка вже лінійна, а саме
«Зачекайте,— скажете ви,— Н12 за B не лінійний. З (8.21) випливає, що Н12= μ√Bx2 +By2 ». Не обов'язково. Є й інша можливість, яка вже лінійна, а саме
Зображення
Насправді таких можливостей не одна, у загальному випадку можна записати
Зображення
де δ — довільна фаза.
Який же знак і яку фазу ми зобов'язані взяти? Виявляється, що можна вибрати будь-який знак і фазу теж будь-яку, а фізичні результати від цього не зміняться. Тож вибір — це питання домовленості. Ще до нас хтось вирішив ставити знак мінус і брати eiδ =–1. Ми можемо робити так само й написати
Який же знак і яку фазу ми зобов'язані взяти? Виявляється, що можна вибрати будь-який знак і фазу теж будь-яку, а фізичні результати від цього не зміняться. Тож вибір — це питання домовленості. Ще до нас хтось вирішив ставити знак мінус і брати eiδ =–1. Ми можемо робити так само й написати
Зображення
(До речі, ці домовленості пов'язані й узгоджуються з тим свавіллям у виборі фаз, яке ми використовували в розд. 4.) Повний гамільтоніан для електрона в довільному магнітному полі, отже, дорівнює
Зображення
А рівняння для амплітуд C1 і C2 такі:
Зображення
Отже, ми відкрили «рівняння руху спінових станів» електрона в магнітному полі. Ми вгадали їх, користуючись деякими фізичними аргументами, але справжня перевірка будь-якого гамільтоніана полягає в тому, що він зобов'язаний давати передбачення, які узгоджуються з експериментом. З усіх зроблених перевірок випливає, що ці рівняння правильні. Більш того, хоча всі наші міркування стосувалися постійного поля, написаний нами гамільтоніан правильний і тоді, коли магнітні поля змінюються з часом. Отже, ми тепер можемо застосовувати рівняння (8.23) для розв'язання всіляких цікавих задач.