Сили. Класична межа

Припустімо, що частинка рухається крізь область, де є потенціал, що змінюється поперек руху. Класично ми б описали цей випадок так, як показано на фіг. 5.7. Якщо частинка рухається в напрямку x і входить в область, де є потенціал, що змінюється вздовж y, то частинка отримає поперечне прискорення від сили F= –∂V/∂y. Якщо сила присутня тільки в обмеженій області шириною w, то вона діятиме тільки протягом часу w/v. Частинка отримає поперечний імпульс

Тоді кут відхилення  δθ буде рівний

де р — початковий імпульс. Підставляючи замість F число —∂V/∂y, отримуємо

Тепер нам належить з'ясувати, чи вдасться отримати цей результат за допомогою уявлення про те, що хвилі підпорядковуються рівнянню (5.20). Ми розглянемо те саме явище квантовомеханічно, припускаючи, що всі масштаби в ньому набагато перевищують довжини хвиль наших амплітуд ймовірності. У будь-якій маленькій області можна вважати, що амплітуда змінюється як

Чи можемо ми побачити, як звідси вийде відхилення частинок, коли в V буде поперечний градієнт? На фіг. 5.8 ми прикинули, як виглядатимуть хвилі амплітуди ймовірності. Ми накреслили ряд «вузлів хвиль», які ви можете вважати,  скажімо,   поверхнями,   де  фаза  амплітуди  дорівнює нулю. У будь-якій невеликій області довжина хвилі (відстань між сусідніми вузлами) дорівнює

де p пов'язане з V формулою

В області, де V більше, там p менше, а хвилі довші. Тому напрямок ліній вузлів хвиль поступово змінюється, як показано на малюнку.
 
Щоб знайти зміну нахилу ліній вузлів хвиль, зауважимо, що на двох шляхах a і b є різниця потенціалів ΔV=(∂V/∂y) D, а значить, і різниця Δp між імпульсами. Цю різницю можна отримати з (5.28):

Хвильове число p/h тому теж на різних шляхах різне, що означає, що фази зростають уздовж них з різною швидкістю. Різниця в швидкості зростання фази є Δk = Δp/h, і накопичена на всьому шляху w різниця фаз буде рівна

Це число показує, наскільки до моменту виходу зі смуги фаза вздовж шляху b «випереджає» фазу вздовж шляху a. Але на виході зі смуги таке випередження фаз відповідає випередженню вузла  хвилі на  величину

або

Звертаючись до фіг. 5.8, ми бачимо, що новий фронт хвилі повернеться  на кут δθ, що дається формулою

А це збігається з (5.26), якщо замінити p/М на v, a ΔV/D на ∂V/∂y.
 
Результат, який ми щойно отримали, правильний лише тоді, коли потенціал змінюється повільно й плавно — у так званій класичній межі. Ми показали, що за цих умов отримаємо ті самі рухи частинок, що отримались би й з F =ma, якщо припустити, що потенціал дає вклад у фазу амплітуди ймовірності, рівний Vt/h. У класичній межі квантова механіка виявляється в згоді з ньютонівською механікою.