Зауважте, що ми не припускали, що потенціальна енергія в нас якась особлива, це просто енергія, похідна від якої дає силу. Наприклад, в досліді Штерна — Герлаха енергія мала вигляд U = – μ·B; звідси за наявності у В просторової варіації і виникала сила. Якби нам потрібний був квантовомеханічний опис досліду, ми повинні були б сказати, що в частинок в одному пучку енергія змінюється в один бік, а в іншому пучку — у зворотний бік. (Магнітну енергію U можна було б вставити або в потенціальну енергію V, або в «внутрішню» енергію W; куди саме, зовсім не важливо.) Через варіації енергії хвилі заломлюються, пучки викривляються вгору або вниз. (Ми тепер знаємо, що квантова механіка передбачає те саме викривлення, яке випливає і з розрахунку за класичною механікою.)
Із залежності амплітуди від потенціальної енергії також випливає, що у частинки, яка сидить в однорідному магнітному полі, спрямованому по осі z, амплітуда ймовірності повинна змінюватися в часі за законом
Із залежності амплітуди від потенціальної енергії також випливає, що у частинки, яка сидить в однорідному магнітному полі, спрямованому по осі z, амплітуда ймовірності повинна змінюватися в часі за законом
Зображення
(Можна вважати це просто визначенням μz.) Іншими словами, якщо поміщати частинку в однорідне поле B на час τ, то її амплітуда ймовірності помножиться на
Зображення
понад те, що було б без поля. Оскільки у частинки зі спіном 1/2 величина μz може дорівнювати плюс або мінус якомусь числу, скажімо μ, то в двох мислимих станів в однорідному полі фази будуть змінюватися з однаковою швидкістю в протилежні боки. Амплітуди помножаться на
Зображення
Цей результат приводить до цікавих наслідків. Нехай частинка зі спіном 1/2 перебуває в якомусь стані, який не є ні чистим станом зі спіном угору, ні чистим станом зі спіном униз. Його можна описати через амплітуди перебування в цих двох станах. Але в магнітному полі в цих двох станів фази почнуть змінюватися з різною швидкістю. І якщо ми поставимо якесь запитання щодо амплітуд, то відповідь залежатиме від того, скільки часу частинка провела в цьому полі.
Як приклад розглянемо розпад мюона в магнітному полі. Коли мюони виникають у результаті розпаду π-мезонів, вони виявляються поляризованими (іншими словами, в них є переважний напрямок спіну). Мюони своєю чергою розпадаються (у середньому через 2,2 мкс), випромінюючи електрон і пару нейтрино:
Як приклад розглянемо розпад мюона в магнітному полі. Коли мюони виникають у результаті розпаду π-мезонів, вони виявляються поляризованими (іншими словами, в них є переважний напрямок спіну). Мюони своєю чергою розпадаються (у середньому через 2,2 мкс), випромінюючи електрон і пару нейтрино:
Зображення
При цьому розпаді виявляється, що (принаймні при високих енергіях) електрони випромінюються переважно в напрямку, протилежному напрямку спіну мюона.Припустімо потім, що є експериментальний пристрій (фіг. 5.9): поляризовані мюони входять зліва і в блоці речовини A зупиняються, а трохи пізніше розпадаються. Електрони, що випромінюються, виходять, загалом кажучи, в усіх мислимих напрямках. Уявімо, однак, що всі мюони входитимуть у гальмівний блок A так, що їхні спіни будуть повернуті в напрямку x. Без магнітного поля там спостерігався б якийсь кутовий розподіл напрямків розпаду; ми ж хочемо знати, як змінився б цей розподіл за наявності магнітного поля. Можна очікувати, що він якось буде змінюватися з часом. Те, що вийде, можна дізнатися, запитавши, якою буде в кожен момент амплітуда того, що мюон буде виявлений у стані (+x).
Цю задачу можна сформулювати таким чином; нехай відомо, що в момент t=0 спін мюона спрямований по +x; якою є амплітуда того, що в момент τ він опиниться в тому самому стані? І хоча ми не знаємо правил поведінки частинки зі спіном 1/2 в магнітному полі, перпендикулярному до спіну, але натомість ми знаємо, що буває зі станами, коли спіни спрямовані вгору або вниз по полю,— тоді їхні амплітуди помножуються на вираз (5.34). Наша процедура тоді полягатиме в тому, щоб вибрати представлення, в якому базисні стани — це напрямки спіном угору або спіном униз відносно z (відносно напрямку поля). І будь-яке питання тоді зможе бути виражене через амплітуди цих станів.
Нехай |ψ(t)> представляє стан мюона. Коли він входить у блок A, його стан є |ψ(0)>, а ми хочемо знати |ψ(τ)> у пізніший момент часу τ. Якщо два базисні стани позначити ( + z) і ( —z), то нам відомі амплітуди < +z|ψ(0) > і < –z|ψ(0)> — вони відомі, бо ми знаємо, що |ψ(0)> є станом зі спіном у напрямку (+x). З попереднього розділу випливає, що ці амплітуди дорівнюють
Зображення
Вони виявляються однаковими. Оскільки вони стосуються положення при t=0, позначимо їх С+(0) і С_(0).
Далі, ми знаємо, що з цих двох амплітуд вийде з часом. З (5.34) випливає
Далі, ми знаємо, що з цих двох амплітуд вийде з часом. З (5.34) випливає
Зображення
Але якщо нам відомі C+(t) і С_(t), то в нас є все, щоб знати умови в момент t. Треба подолати тільки ще одне ускладнення: потрібна-бо нам ймовірність того, що спін (у момент t) виявиться спрямованим по +x. Але наші загальні правила враховують і цю задачу. Ми пишемо, що амплітуда перебування в стані (+x) у момент t [позначимо її A + (t) є
Зображення
Знову користуючись результатом останнього розділу (або краще рівністю <φ|x> = <x|φ> з розд. 3), ми пишемо
Зображення
Разюче простий результат! Зауважте: відповідь узгоджується з тим, що очікувалося при t=0. Ми отримуємо A + (0) = 1, і це цілком правильно, тому що спочатку і було припущено, що при t=0 мюон перебував у стані (+x).
Ймовірність Р+ того, що мюон виявиться в стані (+x) у момент t, є (A +)2, тобто
Ймовірність Р+ того, що мюон виявиться в стані (+x) у момент t, є (A +)2, тобто
Зображення
Ймовірність коливається від нуля до одиниці, як показано на фіг. 5.10. Зауважте, що ймовірність повертається до одиниці при μBt/h=π (а не при 2π). Через те, що косинус піднесений до квадрата, ймовірність повторюється з частотою 2μB/h.Отже, ми виявили, що шанс уловити в електронному лічильнику, показаному на фіг. 5.9, розпадний електрон періодично змінюється з величиною інтервалу часу, протягом якого мюон перебував у магнітному полі. Частота залежить від магнітного моменту μ. Саме таким чином і був насправді вимірений магнітний момент мюона.
Тим самим методом, звісно, можна скористатися, щоб відповісти на інші питання, що стосуються розпаду мюона. Наприклад, як залежить від часу t шанс помітити розпадний електрон у напрямку y, під 90° до напрямку x, але як і раніше під прямим кутом до поля? Якщо ви розв'яжете цю задачу, то побачите, що ймовірність опинитися в стані (+y) змінюється як cos2{(μBt/h)—(π/4)}; вона коливається з тим самим періодом, але досягає максимуму на чверть циклу пізніше, коли μBt/h=π/4. Насправді ж відбувається таке: з часом мюон проходить через послідовність станів, що відповідають повній поляризації в напрямку, який безперервно обертається навколо осі z. Це можна описати, кажучи, що спін прецесує з частотою
Зображення
Вам має ставати зрозуміло, в яку форму виливається квантовомеханічний опис, коли ми описуємо поведінку чогось у часі.