Ми хочемо тепер трохи розповісти про те, як поводяться амплітуди ймовірності в часі. Ми кажемо «трохи», тому що насправді поведінка в часі неминуче включає в себе й поведінку в просторі. Отже, забажавши описати поведінку з усією коректністю та докладністю, ми негайно опинимося в дуже складному становищі. Перед нами виникає наша звична трудність — чи то вивчати щось суворо логічно, але абсолютно абстрактно, чи то не думати про суворість, а дати якесь уявлення про справжній стан речей, відклавши докладніше дослідження на потім. Тепер, розповідаючи про залежність амплітуд від енергії, ми маємо намір обрати другий спосіб. Буде висловлено низку тверджень. При цьому ми не будемо прагнути до суворості, а просто розповімо вам про те, що було виявлено, щоб ви могли відчути, як поводяться амплітуди в часі. У міру просування нашого викладу точність опису зростатиме, тож, будь ласка, не нервуйте, бачачи, як фокусник видобуватиме звідкись із повітря різні речі. Вони й справді беруться з чогось невловимого — з духу експерименту й уяви багатьох людей. Але пройти через усі стадії історичного розвитку предмета — справа дуже довга, щось доведеться просто пропустити. Можна було б заглибитися в абстракції і все суворо виводити (але ви навряд чи це зрозуміли б) або пройти крізь безліч експериментів, підтверджуючи ними кожне своє твердження. Ми оберемо щось середнє.
Одинокий електрон у порожньому просторі може за деяких умов мати цілком визначену енергію. Наприклад, якщо він перебуває в стані спокою (тобто не має ні поступального руху, ні імпульсу, ні кінетичної енергії), то в нього є енергія спокою. Складніший об'єкт, наприклад атом, теж може, перебуваючи в стані спокою, мати визначену енергію, але він може опинитися і внутрішньо збудженим — збудженим до іншого рівня енергії. (Механізм цього ми опишемо пізніше.) Часто ми маємо право вважати, що атом у збудженому стані має визначену енергію; однак насправді це правильно тільки приблизно. Атом не залишається збудженим вічно, тому що він завжди прагне розрядити свою енергію, взаємодіючи з електромагнітним полем. Тож завжди є деяка амплітуда того, що виникне новий стан — з атомом у нижчому стані збудження й електромагнітним полем у вищому. Повна енергія системи і до, і після — та сама, але енергія атома зменшується. Тож не дуже точно говорити, що в збудженого атома є визначена енергія; але часто так говорити зручно і не дуже неправильно.
[До речі, чому все тече в один бік і не тече в інший? Чому атом випромінює світло? Відповідь пов'язана з ентропією. Коли енергія перебуває в електромагнітному полі, перед нею відкривається стільки різних шляхів — стільки різних місць, куди вона може потрапити,— що, шукаючи умову рівноваги, ми переконуємося, що в найімовірнішому положенні поле опиняється збудженим одним фотоном, а атом — незбудженим. І фотону потрібен неабиякий час, щоб повернутися і виявити, що він може знову збудити атом. Це повністю аналогічно класичній задачі: чому заряд, що прискорюється, випромінює? Не тому, що він «хоче» втратити енергію, ні, бо насправді, коли він випромінює, енергія світу залишається такою самою, як і раніше. Просто випромінювання чи поглинання завжди йде в напрямку зростання ентропії.]
Ядра теж можуть існувати на різних енергетичних рівнях, і в тому наближенні, коли нехтують електромагнітними ефектами, ми маємо право говорити, що ядро в збудженому стані таким і залишається. Хоч ми і знаємо, що воно не залишиться таким навіки, часто буває корисно виходити з дещо ідеалізованого наближення, яке простіше розглянути. До того ж за деяких обставин — це узаконене наближення. (Коли ми вперше вводили класичні закони падіння тіл, ми не враховували тертя, а адже майже не буває так, щоб тертя зовсім не було.)
Крім того, існують ще «дивні частинки» з різними масами. Але більш масивні з них розпадаються на легші, так що знову буде неправильно говорити, ніби їхня енергія точно визначена. Це було б правильно, якби вони зберігалися навіки. Тож коли ми приблизно вважаємо, що вони мають визначену енергію, то забуваємо при цьому, що вони повинні розпастися. Але зараз ми навмисно забудемо про такі процеси, а потім, згодом, навчимося брати до уваги і їх.
Нехай є атом (або електрон, або будь-яка частинка), що має в стані спокою визначену енергію Е0. Під енергією Е0 ми розуміємо масу всього цього, помножену на с2. У масу входить будь-яка внутрішня енергія; отже, маса збудженого атома відрізняється від маси того самого атома, але в основному стані. (Основний стан означає стан із найнижчою енергією.) Назвемо Е0 «енергією спокою».
Для атома, що перебуває в стані спокою, квантовомеханічна амплітуда виявити його в якомусь місці всюди та сама; від положення вона не залежить. Це, звичайно, означає, що ймовірність виявити атом у будь-якому місці — та сама. Але це означає навіть більше. Ймовірність могла б не залежати від положення, а фаза амплітуди при цьому могла б ще змінюватися від точки до точки. Але для частинки в стані спокою повна амплітуда всюди однакова. Однак вона залежить від часу. Для частинки в стані визначеної енергії Е0 амплітуда виявити частинку в точці (х, у, z) у момент t рівна
Одинокий електрон у порожньому просторі може за деяких умов мати цілком визначену енергію. Наприклад, якщо він перебуває в стані спокою (тобто не має ні поступального руху, ні імпульсу, ні кінетичної енергії), то в нього є енергія спокою. Складніший об'єкт, наприклад атом, теж може, перебуваючи в стані спокою, мати визначену енергію, але він може опинитися і внутрішньо збудженим — збудженим до іншого рівня енергії. (Механізм цього ми опишемо пізніше.) Часто ми маємо право вважати, що атом у збудженому стані має визначену енергію; однак насправді це правильно тільки приблизно. Атом не залишається збудженим вічно, тому що він завжди прагне розрядити свою енергію, взаємодіючи з електромагнітним полем. Тож завжди є деяка амплітуда того, що виникне новий стан — з атомом у нижчому стані збудження й електромагнітним полем у вищому. Повна енергія системи і до, і після — та сама, але енергія атома зменшується. Тож не дуже точно говорити, що в збудженого атома є визначена енергія; але часто так говорити зручно і не дуже неправильно.
[До речі, чому все тече в один бік і не тече в інший? Чому атом випромінює світло? Відповідь пов'язана з ентропією. Коли енергія перебуває в електромагнітному полі, перед нею відкривається стільки різних шляхів — стільки різних місць, куди вона може потрапити,— що, шукаючи умову рівноваги, ми переконуємося, що в найімовірнішому положенні поле опиняється збудженим одним фотоном, а атом — незбудженим. І фотону потрібен неабиякий час, щоб повернутися і виявити, що він може знову збудити атом. Це повністю аналогічно класичній задачі: чому заряд, що прискорюється, випромінює? Не тому, що він «хоче» втратити енергію, ні, бо насправді, коли він випромінює, енергія світу залишається такою самою, як і раніше. Просто випромінювання чи поглинання завжди йде в напрямку зростання ентропії.]
Ядра теж можуть існувати на різних енергетичних рівнях, і в тому наближенні, коли нехтують електромагнітними ефектами, ми маємо право говорити, що ядро в збудженому стані таким і залишається. Хоч ми і знаємо, що воно не залишиться таким навіки, часто буває корисно виходити з дещо ідеалізованого наближення, яке простіше розглянути. До того ж за деяких обставин — це узаконене наближення. (Коли ми вперше вводили класичні закони падіння тіл, ми не враховували тертя, а адже майже не буває так, щоб тертя зовсім не було.)
Крім того, існують ще «дивні частинки» з різними масами. Але більш масивні з них розпадаються на легші, так що знову буде неправильно говорити, ніби їхня енергія точно визначена. Це було б правильно, якби вони зберігалися навіки. Тож коли ми приблизно вважаємо, що вони мають визначену енергію, то забуваємо при цьому, що вони повинні розпастися. Але зараз ми навмисно забудемо про такі процеси, а потім, згодом, навчимося брати до уваги і їх.
Нехай є атом (або електрон, або будь-яка частинка), що має в стані спокою визначену енергію Е0. Під енергією Е0 ми розуміємо масу всього цього, помножену на с2. У масу входить будь-яка внутрішня енергія; отже, маса збудженого атома відрізняється від маси того самого атома, але в основному стані. (Основний стан означає стан із найнижчою енергією.) Назвемо Е0 «енергією спокою».
Для атома, що перебуває в стані спокою, квантовомеханічна амплітуда виявити його в якомусь місці всюди та сама; від положення вона не залежить. Це, звичайно, означає, що ймовірність виявити атом у будь-якому місці — та сама. Але це означає навіть більше. Ймовірність могла б не залежати від положення, а фаза амплітуди при цьому могла б ще змінюватися від точки до точки. Але для частинки в стані спокою повна амплітуда всюди однакова. Однак вона залежить від часу. Для частинки в стані визначеної енергії Е0 амплітуда виявити частинку в точці (х, у, z) у момент t рівна
Зображення
де a — деяка стала. Амплітуда перебування в такій-то точці простору для всіх точок однакова, але натомість залежить від часу за (5.1). Ми просто припустимо, що це правило справедливе завжди.
Можна, звісно, (5.1) записати і так:
Можна, звісно, (5.1) записати і так:
Зображення
а M — маса спокою атомного стану або частинки. Існують три різні способи визначення енергії: за частотою амплітуди, за енергією в класичному сенсі або за інертною масою. Усі вони рівноцінні; це просто різні способи виражати одне й те саме.
Вам може здатися дивним уявляти собі «частинку», яка має однакові амплітуди опинитися в просторі будь-де. Адже, крім усього іншого, ми завжди уявляємо собі «частинку» як невеликий предмет, розташований «десь». Але не забудьте про принцип невизначеності. Якщо частинка має визначену енергію, то й імпульс у неї визначений. Якщо невизначеність в імпульсі дорівнює нулю, то співвідношення невизначеностей ΔрΔx=h каже, що невизначеність у положенні повинна бути безмежною; саме це ми і стверджуємо, коли говоримо, що існує однакова амплітуда виявити частинку в усіх точках простору.
Якщо внутрішні частини атома перебувають в іншому стані з іншою повною енергією, тоді амплітуда змінюється в часі інакше. А якщо ви не знаєте, в якому стані перебуває атом, то з'явиться певна амплітуда перебування в одному стані і певна амплітуда перебування в іншому, і в кожної з цих амплітуд буде своя частота. Між цими двома різними компонентами з'явиться інтерференція, подібна до биттів, яка може проявитися як змінна ймовірність. Усередині атома буде щось «назрівати», навіть якщо він буде «в стані спокою» в тому сенсі, що його центр мас не рухатиметься. Якщо ж атом має лише одну визначену енергію, то амплітуда дається формулою (5.1), і квадрат модуля амплітуди від часу не залежить. Отже, ви бачите, що якщо енергія якоїсь речі визначена і якщо ви ставите запитання про ймовірність чогось у цій речі, то відповідь від часу не залежить. Хоча самі амплітуди від часу залежать, але якщо енергія визначена, вони змінюються як уявна експонента, і абсолютне значення (модуль) їх не змінюється.
Ось чому ми часто говоримо, що атом на визначеному енергетичному рівні перебуває в стаціонарному стані. Якщо ви щось усередині нього вимірюєте, ви виявляєте, що нічого (за ймовірністю) в часі не змінюється. Щоб ймовірність змінювалася в часі, повинна бути інтерференція двох амплітуд при двох різних частотах, а це означало б, що невідомо, яка енергія. У предмета були б одна амплітуда перебування в стані з однією енергією і інша амплітуда перебування в стані з іншою енергією. Так у квантовій механіці описується щось, якщо поведінка цього «чогось» залежить від часу.
Якщо є випадок, коли змішані два різні стани з різними енергіями, то амплітуди кожного з двох станів змінюються з часом за рівнянням (5.2), скажімо, як
Вам може здатися дивним уявляти собі «частинку», яка має однакові амплітуди опинитися в просторі будь-де. Адже, крім усього іншого, ми завжди уявляємо собі «частинку» як невеликий предмет, розташований «десь». Але не забудьте про принцип невизначеності. Якщо частинка має визначену енергію, то й імпульс у неї визначений. Якщо невизначеність в імпульсі дорівнює нулю, то співвідношення невизначеностей ΔрΔx=h каже, що невизначеність у положенні повинна бути безмежною; саме це ми і стверджуємо, коли говоримо, що існує однакова амплітуда виявити частинку в усіх точках простору.
Якщо внутрішні частини атома перебувають в іншому стані з іншою повною енергією, тоді амплітуда змінюється в часі інакше. А якщо ви не знаєте, в якому стані перебуває атом, то з'явиться певна амплітуда перебування в одному стані і певна амплітуда перебування в іншому, і в кожної з цих амплітуд буде своя частота. Між цими двома різними компонентами з'явиться інтерференція, подібна до биттів, яка може проявитися як змінна ймовірність. Усередині атома буде щось «назрівати», навіть якщо він буде «в стані спокою» в тому сенсі, що його центр мас не рухатиметься. Якщо ж атом має лише одну визначену енергію, то амплітуда дається формулою (5.1), і квадрат модуля амплітуди від часу не залежить. Отже, ви бачите, що якщо енергія якоїсь речі визначена і якщо ви ставите запитання про ймовірність чогось у цій речі, то відповідь від часу не залежить. Хоча самі амплітуди від часу залежать, але якщо енергія визначена, вони змінюються як уявна експонента, і абсолютне значення (модуль) їх не змінюється.
Ось чому ми часто говоримо, що атом на визначеному енергетичному рівні перебуває в стаціонарному стані. Якщо ви щось усередині нього вимірюєте, ви виявляєте, що нічого (за ймовірністю) в часі не змінюється. Щоб ймовірність змінювалася в часі, повинна бути інтерференція двох амплітуд при двох різних частотах, а це означало б, що невідомо, яка енергія. У предмета були б одна амплітуда перебування в стані з однією енергією і інша амплітуда перебування в стані з іншою енергією. Так у квантовій механіці описується щось, якщо поведінка цього «чогось» залежить від часу.
Якщо є випадок, коли змішані два різні стани з різними енергіями, то амплітуди кожного з двох станів змінюються з часом за рівнянням (5.2), скажімо, як
Зображення
І якщо є комбінація цих двох станів, то з'явиться інтерференція. Але зауважте, що додавання до обох енергій однакової константи нічого не змінює. Якщо хтось інший користувався іншою шкалою енергій, на якій усі енергії зсунуті на константу (скажімо, на А), то амплітуди опинитися в цих двох станах, з його погляду, були б
Зображення
Усі його амплітуди виявилися б помноженими на один і той самий множник exp [— i(A/h)/t], і в усі лінійні комбінації, в усі інтерференції увійшов би той самий множник. Обчислюючи для визначення ймовірностей модулі, він прийшов би до тих самих відповідей. Вибір початку відліку на нашій шкалі енергій нічого не змінює; енергію можна відлічувати від будь-якого нуля. У релятивістських задачах приємніше вимірювати енергію так, щоб у неї входила маса спокою, але для багатьох інших нерелятивістських цілей часто краще відняти від усіх наявних енергій стандартну величину. Наприклад, у випадку атома зазвичай буває зручно відняти енергію Msc2, де Мs— маса окремих його частин, ядра й електронів, що, звісно, відрізняється від маси самого атома. В інших задачах буває корисно відняти від усіх енергій число Mgc2, де Мg— маса всього атома в основному стані; тоді енергія, що залишається, є просто енергією збудження атома. Отже, часом ми маємо право зсувати наш нуль енергії дуже й дуже сильно, і це все одно нічого не змінює (за умови, що всі енергії в даному конкретному розрахунку зсунуті на одне й те саме число). На цьому ми розпрощаємося з частинками, що перебувають у стані спокою.