Якщо ми припускаємо, що теорія відносності правильна, то частинка, яка перебуває в стані спокою в одній інерціальній системі, в іншій інерціальній системі може опинитися в рівномірному русі. У системі спокою частинки амплітуда ймовірності для всіх x, у і z однакова, але залежить від t. Величина амплітуди для всіх t однакова, а фаза залежить від t. Ми можемо отримати картину поведінки амплітуди, якщо провести лінії однакової фази (скажімо, нульової) як функцій x і t. Для частинки в стані спокою ці лінії однакової фази паралельні осі x і розташовані по осі t на однакових відстанях (показано пунктирними лініями на фіг. 5.1).В іншій системі, x′, у′, z′ , t′, що рухається відносно частинки, скажімо, у напрямку x, координати x′ і t′ деякої окремої точки простору пов'язані з x і t перетворенням Лоренца. Це перетворення можна зобразити графічно, провівши осі x′ і t′ , як показано на фіг. 5.1 [див. розд. 17 (вип. 2), фіг. 17.2]. Ви бачите, що в системі x′ –t′ точки однакової фази вздовж осі t′ розташовані на інших відстанях, так що частота часових змін уже інша. Крім того, фаза змінюється і за x′ , тобто амплітуда ймовірності повинна бути функцією x′.
При перетворенні Лоренца для швидкості v, спрямованої, скажімо, вздовж від'ємного напрямку x, час t пов'язаний із часом t′ формулою
Зображення
і тепер наша амплітуда змінюється так:
Зображення
У штрихованій системі вона змінюється в просторі і в часі. Якщо амплітуду записати у вигляді
Зображення
то видно, що Е′p = E0/√1—v2/c2. Це енергія, обчислена за класичними правилами для частинки з енергією спокою Е0, що рухається зі швидкістю v; p′= Е′pv/c2 — відповідний імпульс частинки.
Ви знаєте, що хμ = (t, x, у, z) і pμ= (Е, рx, рy , pz) — чотиривектори, а рμхμ = Et – р·х — скалярний інваріант. У системі спокою частинки рμх просто дорівнює Et; отже, при перетворенні в іншу систему Et слід замінити на
Ви знаєте, що хμ = (t, x, у, z) і pμ= (Е, рx, рy , pz) — чотиривектори, а рμхμ = Et – р·х — скалярний інваріант. У системі спокою частинки рμх просто дорівнює Et; отже, при перетворенні в іншу систему Et слід замінити на
Зображення
Отже, амплітуда ймовірності для частинки, імпульс якої є р, буде пропорційна
Зображення
де Еp— енергія частинки з імпульсом p, тобто
Зображення
а Е0, як і раніше,—енергія спокою. У нерелятивістських задачах можна писати
Зображення
де Wp— надлишок (або нестача) енергії порівняно з енергією спокою Мsс2 частин атома. У загальному випадку до Wp повинні були б увійти і кінетична енергія атома, і його енергія зв'язку або збудження, які можна назвати «внутрішньою» енергією. Тоді ми писали б
Зображення
Ми збираємося всі розрахунки вести нерелятивістськи, тож саме таким виглядом амплітуд ймовірностей ми й будемо користуватися.
Зауважте, що наше релятивістське перетворення дало нам формулу для зміни амплітуди атома, що рухається в просторі, не вимагаючи жодних додаткових припущень. Хвильове число її змін у просторі, як це випливає з (5.9), дорівнює
Зауважте, що наше релятивістське перетворення дало нам формулу для зміни амплітуди атома, що рухається в просторі, не вимагаючи жодних додаткових припущень. Хвильове число її змін у просторі, як це випливає з (5.9), дорівнює
Зображення
Це та сама довжина хвилі, яку ми раніше використовували для частинок з імпульсом p. Саме таким шляхом де Бройль уперше прийшов до цієї формули. Для рухомої частинки частота зміни амплітуди й далі дається формулою
Зображення
Абсолютна величина (5.9) дорівнює просто одиниці, так що для частинки, яка рухається з визначеною енергією, ймовірність виявити її де б то не було — та сама всюди і з часом не змінюється. (Важливо зазначити, що амплітуда — це комплексна хвиля. Якби ми користувалися дійсною синусоїдою, то її квадрат від точки до точки змінювався б, що було б неправильно.)
Звісно, ми знаємо, що бувають випадки, коли частинки рухаються з одного місця в інше, так що ймовірність залежить від положення і змінюється з часом. Як же потрібно описувати такі випадки? Це можна зробити, розглядаючи амплітуди, які є суперпозицією двох або більшого числа амплітуд для станів з визначеною енергією. Таке положення ми вже обговорювали в розд. 48 (вип. 4), причому саме для амплітуд ймовірності! Ми знайшли тоді, що сума двох амплітуд з різними хвильовими числами k (тобто імпульсами) і частотами ω (тобто енергіями) приводить до інтерференційних горбів, або биттів, так що квадрат амплітуди змінюється і в просторі, і в часі. Ми знайшли також, що ці биття рухаються з так званою «груповою швидкістю», яка визначається формулою
Звісно, ми знаємо, що бувають випадки, коли частинки рухаються з одного місця в інше, так що ймовірність залежить від положення і змінюється з часом. Як же потрібно описувати такі випадки? Це можна зробити, розглядаючи амплітуди, які є суперпозицією двох або більшого числа амплітуд для станів з визначеною енергією. Таке положення ми вже обговорювали в розд. 48 (вип. 4), причому саме для амплітуд ймовірності! Ми знайшли тоді, що сума двох амплітуд з різними хвильовими числами k (тобто імпульсами) і частотами ω (тобто енергіями) приводить до інтерференційних горбів, або биттів, так що квадрат амплітуди змінюється і в просторі, і в часі. Ми знайшли також, що ці биття рухаються з так званою «груповою швидкістю», яка визначається формулою
Зображення
де Δk і Δω — різниці хвильових чисел і частот двох хвиль. У складніших хвилях, складених із суми багатьох амплітуд з близькими частотами, групова швидкість дорівнює
Зображення
а це якраз класична швидкість частинки. Навіть застосовуючи нерелятивістські вирази, ми матимемо
Зображення
Зображення
тобто знову класичну швидкість.
Наш результат, отже, полягає в тому, що якщо є кілька амплітуд для чистих енергетичних станів із майже однаковою енергією, то їхня інтерференція приводить до «спалахів» ймовірності, які рухаються крізь простір зі швидкістю, що дорівнює швидкості класичної частинки з такою самою енергією. Але слід, однак, зауважити, що, коли ми говоримо, що можемо складати дві амплітуди з різними хвильовими числами, щоб отримувати пакети, які відповідають рухомій частинці, ми при цьому вносимо щось нове — щось, не виведене з теорії відносності. Ми сказали, як змінюється амплітуда в нерухомої частинки, а потім вивели з цього, як вона повинна була б змінюватися, якби частинка рухалася. Але з цих міркувань ми не в змозі вивести, що сталося б, якби були дві хвилі, що рухаються з різними швидкостями. Якщо ми зупинимо одну з них, ми не зможемо зупинити іншу. Тож ми потайки додали ще одну гіпотезу: крім того, що (5.9) є можливим розв'язком, ми допускаємо, що в тієї самої системи можуть бути ще розв'язки з усіма можливими p і що різні члени будуть інтерферувати.
Наш результат, отже, полягає в тому, що якщо є кілька амплітуд для чистих енергетичних станів із майже однаковою енергією, то їхня інтерференція приводить до «спалахів» ймовірності, які рухаються крізь простір зі швидкістю, що дорівнює швидкості класичної частинки з такою самою енергією. Але слід, однак, зауважити, що, коли ми говоримо, що можемо складати дві амплітуди з різними хвильовими числами, щоб отримувати пакети, які відповідають рухомій частинці, ми при цьому вносимо щось нове — щось, не виведене з теорії відносності. Ми сказали, як змінюється амплітуда в нерухомої частинки, а потім вивели з цього, як вона повинна була б змінюватися, якби частинка рухалася. Але з цих міркувань ми не в змозі вивести, що сталося б, якби були дві хвилі, що рухаються з різними швидкостями. Якщо ми зупинимо одну з них, ми не зможемо зупинити іншу. Тож ми потайки додали ще одну гіпотезу: крім того, що (5.9) є можливим розв'язком, ми допускаємо, що в тієї самої системи можуть бути ще розв'язки з усіма можливими p і що різні члени будуть інтерферувати.