Фейнмановские лекции по физике
Если мы предполагаем, что теория относительности верна, то частица, покоящаяся в одной инерциальной системе, в другой инерциальной системе может оказаться в равномерном движении. В системе покоя частицы амплитуда вероятности для всех x, у и z одинакова, но зависит от t. Величина амплитуды для всех t одинакова, а фаза зависит от t. Мы можем получить картину поведения амплитуды, если проведем линии равной фазы (скажем, нулевой) как функций x и t. Для частицы в покое эти линии равной фазы параллельны оси x и расположены по оси t на равных расстояниях (показано пунктирными линиями на фиг. 5.1).В другой системе, x′, у′, z′ , t′, движущейся относительно частицы, скажем, в направлении x, координаты x′ и t′ некоторой частной точки пространства связаны с x и t преобразованием Лоренца. Это преобразование можно изобразить графически, проведя оси x′ и t′ , как показано на фиг. 5.1 [см. гл. 17 (вып. 2), фиг. 17.2]. Вы видите, что в системе x′ –t′ точки равной фазы вдоль оси t′ расположены на других расстояниях, так что частота временных изменений уже другая. Кроме того, фаза меняется и по x′ , т. е. амплитуда вероятности должна быть функцией x′.
При преобразовании Лоренца для скорости v, направленной, скажем, вдоль отрицательного направления x, время t связано со временем t′ формулой
Изображение
и теперь наша амплитуда меняется так:
Изображение
В штрихованной системе она меняется в пространстве и во времени. Если амплитуду записать в виде
Изображение
то видно, что Е′p = E0/√1—v2/c2. Это энергия, вычисленная по классическим правилам для частицы с энергией покоя Е0, движущейся со скоростью v; p′= Е′pv/c2 — соответствующий импульс частицы.
Вы знаете, что хμ = (t, x, у, z) и pμ= (Е, рx, рy , pz) — четырехвекторы, а рμхμ = Et – р·х — скалярный инвариант. В системе покоя частицы рμх просто равно Et; значит, при преобразовании в другую систему Et следует заменить на
Вы знаете, что хμ = (t, x, у, z) и pμ= (Е, рx, рy , pz) — четырехвекторы, а рμхμ = Et – р·х — скалярный инвариант. В системе покоя частицы рμх просто равно Et; значит, при преобразовании в другую систему Et следует заменить на
Изображение
Итак, амплитуда вероятности для частицы, импульс которой есть р, будет пропорциональна
Изображение
где Еp— энергия частицы с импульсом p, т. е.
Изображение
а Е0, как и прежде,—энергия покоя. В нерелятивистских задачах можно писать
Изображение
где Wp— избыток (или нехватка) энергии по сравнению с энергией покоя Мsс2 частей атома. В общем случае в Wp должны были бы войти и кинетическая энергия атома, и его энергия связи или возбуждения, которые можно назвать «внутренней» энергией. Тогда мы бы писали
Изображение
Мы собираемся все расчеты вести нерелятивистски, так что именно таким видом амплитуд вероятностей мы и будем пользоваться.
Заметьте, что наше релятивистское преобразование снабдило нас формулой для изменения амплитуды атома, движущегося в пространстве, не требуя каких-либо добавочных допущений. Волновое число ее изменений в пространстве, как это следует из (5.9), равно
Заметьте, что наше релятивистское преобразование снабдило нас формулой для изменения амплитуды атома, движущегося в пространстве, не требуя каких-либо добавочных допущений. Волновое число ее изменений в пространстве, как это следует из (5.9), равно
Изображение
Это та самая длина волны, которую мы раньше использовали для частиц с импульсом p. Именно таким путем де-Бройль впервые пришел к этой формуле. Для движущейся частицы частота изменения амплитуды по-прежнему дается формулой
Изображение
Абсолютная величина (5.9) равна просто единице, так что для частицы, движущейся с определенной энергией, вероятность обнаружить ее где бы то ни было — одна и та же повсюду и со временем не меняется. (Важно отметить, что амплитуда — это комплексная волна. Если бы мы пользовались вещественной синусоидой, то ее квадрат от точки к точке менялся бы, что было бы неверно.)
Конечно, мы знаем, что бывают случаи, когда частицы движутся от одного места к другому, так что вероятность зависит от положения и изменяется со временем. Как же нужно описывать такие случаи? Это можно сделать, рассматривая амплитуды, являющиеся суперпозицией двух или большего числа амплитуд для состояний с определенной энергией. Такое положение мы уже обсуждали в гл. 48 (вып. 4). причем именно для амплитуд вероятности! Мы нашли тогда, что сумма двух амплитуд с разными волновыми числами k (т. е. импульсами) и частотами ω (т. е. энергиями) приводит к интерференционным буграм, или биениям, так что квадрат амплитуды меняется и в пространстве, и во времени. Мы нашли также, что эти биения движутся с так называемой «групповой скоростью», определяемой формулой
Конечно, мы знаем, что бывают случаи, когда частицы движутся от одного места к другому, так что вероятность зависит от положения и изменяется со временем. Как же нужно описывать такие случаи? Это можно сделать, рассматривая амплитуды, являющиеся суперпозицией двух или большего числа амплитуд для состояний с определенной энергией. Такое положение мы уже обсуждали в гл. 48 (вып. 4). причем именно для амплитуд вероятности! Мы нашли тогда, что сумма двух амплитуд с разными волновыми числами k (т. е. импульсами) и частотами ω (т. е. энергиями) приводит к интерференционным буграм, или биениям, так что квадрат амплитуды меняется и в пространстве, и во времени. Мы нашли также, что эти биения движутся с так называемой «групповой скоростью», определяемой формулой
Изображение
где Δk и Δω — разности волновых чисел и частот двух волн. В более сложных волнах, составленных из суммы многих амплитуд с близкими частотами, групповая скорость равна
Изображение
а это как раз классическая скорость частицы. Даже применяя нерелятивистские выражения, мы будем иметь
Изображение
Изображение
т. е. опять классическую скорость.
Результат наш, следовательно, состоит в том, что если имеется несколько амплитуд для чистых энергетических состояний с почти одинаковой энергией, то их интерференция приводит к «всплескам» вероятности, которые движутся сквозь пространство со скоростью, равной скорости классической частицы с такой же энергией. Но нужно, однако, заметить, что, когда мы говорим, что можем складывать две амплитуды с разными волновыми числами, чтобы получать пакеты, отвечающие движущейся частице, мы при этом вносим нечто новое — нечто, не выводимое из теории относительности. Мы сказали, как меняется амплитуда у неподвижной частицы, и затем вывели из этого, как она должна была бы меняться, если бы частица двигалась. Но из этих рассуждений мы не в состоянии вывести, что случилось бы, если бы были две волны, движущиеся с разными скоростями. Если мы остановим одну из них, мы не сможем остановить другую. Так что мы втихомолку добавили еще одну гипотезу: кроме того, что (5.9) есть возможное решение, мы допускаем, что у той же системы могут быть еще решения со всевозможными p и что различные члены будут интерферировать.
Результат наш, следовательно, состоит в том, что если имеется несколько амплитуд для чистых энергетических состояний с почти одинаковой энергией, то их интерференция приводит к «всплескам» вероятности, которые движутся сквозь пространство со скоростью, равной скорости классической частицы с такой же энергией. Но нужно, однако, заметить, что, когда мы говорим, что можем складывать две амплитуды с разными волновыми числами, чтобы получать пакеты, отвечающие движущейся частице, мы при этом вносим нечто новое — нечто, не выводимое из теории относительности. Мы сказали, как меняется амплитуда у неподвижной частицы, и затем вывели из этого, как она должна была бы меняться, если бы частица двигалась. Но из этих рассуждений мы не в состоянии вывести, что случилось бы, если бы были две волны, движущиеся с разными скоростями. Если мы остановим одну из них, мы не сможем остановить другую. Так что мы втихомолку добавили еще одну гипотезу: кроме того, что (5.9) есть возможное решение, мы допускаем, что у той же системы могут быть еще решения со всевозможными p и что различные члены будут интерферировать.