А тепер ми хотіли б з'ясувати питання про те, що буває, коли енергія частинки може змінюватися. Почнемо з міркування про частинку, яка рухається в силовому полі, що описується потенціалом. Розглянемо спочатку вплив сталого потенціалу. Нехай у нас є великий металевий ящик, який ми зарядили до якогось електростатичного потенціалу φ (фіг. 5.2). Якщо всередині ящика є заряджені об'єкти, то їхня потенціальна енергія дорівнюватиме qφ; ми позначимо це число буквою V. Воно за умовою зовсім не залежить від положення самого об'єкта. Від накладання потенціалу жодних фізичних змін усередині ящика не станеться, бо сталий потенціал нічого не змінює в тому, що відбувається всередині ящика. Отже, закон, за яким тепер змінюватиметься амплітуда, вивести жодним чином не можна. Можна тільки вгадати. Ось вона, правильна відповідь — вона виглядає приблизно так, як і слід було очікувати: замість енергії потрібно поставити суму потенціальної енергії V і енергії Еp, яка сама є сумою внутрішньої і кінетичної енергій. Амплітуда тоді буде пропорційнаЗображення
Загальний принцип полягає в тому, що коефіцієнт при t, який можна було б назвати ω, завжди дається повною енергією системи: внутрішньою енергією («енергією маси») плюс кінетична енергія плюс потенціальна енергія:
Зображення
Або в нерелятивістському випадку
Зображення
Ну, а що можна сказати про фізичні явища всередині ящика? Якщо фізичний стан не один, а кілька, то що ми отримаємо? В амплітуду кожного стану ввійде один і той самий додатковий множник
Зображення
понад те, що було при V=0. Це нічим не відрізняється від зсуву нуля нашої енергетичної шкали. Вийде однаковий зсув усіх фаз усіх амплітуд, а це, як ми раніше переконалися, не змінює жодних ймовірностей. Усі фізичні явища залишаються тими самими. (Ми припустили, що йдеться про різні стани одного й того самого зарядженого об'єкта, так що qφ в них усіх однакове. Якби об'єкт міг змінювати свій заряд, переходячи від одного стану до іншого, то ми прийшли б до зовсім іншого результату, але збереження заряду захищає нас від цього.)
Досі наше припущення узгоджувалося з тим, чого слід було очікувати від простої зміни рівня відліку енергії. Але якщо воно насправді справедливе, то повинно виконуватися і для потенціальної енергії, яка не є просто сталою. У загальному випадку V може змінюватися довільним чином і в часі, і в просторі, і остаточний результат для амплітуди повинен виражатися мовою диференціальних рівнянь. Але ми не хочемо відразу братися за загальний випадок, а обмежимося деяким уявленням про те, що відбувається. Тож наразі ми розглянемо лише потенціал, який сталий у часі й повільно змінюється в просторі. Тоді ми зможемо порівняти між собою класичні й квантові уявлення.
Припустімо, що ми розмірковуємо про випадок, зображений на фіг. 5.3, де два ящики підтримуються при сталих потенціалах φ1 і φ2, а в області між ними потенціал плавно змінюється від φ1 до φ2. Уявімо, що в деякої частинки є амплітуда опинитися в одній із цих областей. Припустімо також, що імпульс достатньо великий, так що в будь-якій малій області, в якій вміщується багато довжин хвиль, потенціал майже сталий. Тоді ми маємо право вважати, що в будь-якій частині простору амплітуда повинна виглядати так, як (5.18), тільки V у кожній частині простору буде свій.
Розглянемо частковий випадок, коли φ1=0, так що потенціальна енергія в першому ящику дорівнює нулю, а в другому нехай qφ2 буде від'ємним, так що класично частинка в ньому матиме більшу кінетичну енергію. У класичному сенсі вона в другому ящику рухатиметься швидше, у неї буде, отже, і більший імпульс. Подивимося, як це може виходити з квантової механіки.
За наших припущень амплітуда в першому ящику повинна була бути пропорційна
Досі наше припущення узгоджувалося з тим, чого слід було очікувати від простої зміни рівня відліку енергії. Але якщо воно насправді справедливе, то повинно виконуватися і для потенціальної енергії, яка не є просто сталою. У загальному випадку V може змінюватися довільним чином і в часі, і в просторі, і остаточний результат для амплітуди повинен виражатися мовою диференціальних рівнянь. Але ми не хочемо відразу братися за загальний випадок, а обмежимося деяким уявленням про те, що відбувається. Тож наразі ми розглянемо лише потенціал, який сталий у часі й повільно змінюється в просторі. Тоді ми зможемо порівняти між собою класичні й квантові уявлення.
Припустімо, що ми розмірковуємо про випадок, зображений на фіг. 5.3, де два ящики підтримуються при сталих потенціалах φ1 і φ2, а в області між ними потенціал плавно змінюється від φ1 до φ2. Уявімо, що в деякої частинки є амплітуда опинитися в одній із цих областей. Припустімо також, що імпульс достатньо великий, так що в будь-якій малій області, в якій вміщується багато довжин хвиль, потенціал майже сталий. Тоді ми маємо право вважати, що в будь-якій частині простору амплітуда повинна виглядати так, як (5.18), тільки V у кожній частині простору буде свій.Розглянемо частковий випадок, коли φ1=0, так що потенціальна енергія в першому ящику дорівнює нулю, а в другому нехай qφ2 буде від'ємним, так що класично частинка в ньому матиме більшу кінетичну енергію. У класичному сенсі вона в другому ящику рухатиметься швидше, у неї буде, отже, і більший імпульс. Подивимося, як це може виходити з квантової механіки.
За наших припущень амплітуда в першому ящику повинна була бути пропорційна
Зображення
а в другому
Зображення
(Будемо вважати, що внутрішня енергія не змінюється, а залишається в обох областях однаковою.) Питання полягає в наступному: як ці дві амплітуди узгоджуються одна з одною в області між ящиками?
Ми будемо вважати, що всі потенціали в часі сталі, так що в умовах нічого не змінюється. Далі ми припустимо, що зміни амплітуди (тобто її фази) всюди мають одну й ту саму частоту, тому що в «середовищі» між ящиками немає, так би мовити, нічого, що залежало б від часу. Якщо в просторі нічого не змінюється, то можна вважати, що хвиля в одній області «генерує» в усьому просторі допоміжні хвилі, які всі коливаються з однаковою частотою і, подібно до світлових хвиль, що проходять через речовину в стані спокою, не змінюють своєї частоти. Якщо частоти в (5.21) і (5.22) однакові, то повинна виконуватися рівність
Ми будемо вважати, що всі потенціали в часі сталі, так що в умовах нічого не змінюється. Далі ми припустимо, що зміни амплітуди (тобто її фази) всюди мають одну й ту саму частоту, тому що в «середовищі» між ящиками немає, так би мовити, нічого, що залежало б від часу. Якщо в просторі нічого не змінюється, то можна вважати, що хвиля в одній області «генерує» в усьому просторі допоміжні хвилі, які всі коливаються з однаковою частотою і, подібно до світлових хвиль, що проходять через речовину в стані спокою, не змінюють своєї частоти. Якщо частоти в (5.21) і (5.22) однакові, то повинна виконуватися рівність
Зображення
Тут з обох боків стоять просто класичні повні енергії, так що (5.23) є твердженням про збереження енергії. Іншими словами, класичне твердження про збереження енергії цілком рівноцінне квантовомеханічному твердженню про те, що частоти в частинки всюди однакові, якщо умови в часі не змінюються. Усе це узгоджується з уявленням про те, що hω = E.
У тому частковому випадку, коли V1= 0, a V2 від'ємне, (5.23) означає, що р2 більше за р1, тобто в області 2 хвилі коротші. Поверхні однакової фази показано на фіг. 5.3 пунктиром. Там ще накреслено графік дійсної частини амплітуди, з якого теж видно, як зменшується довжина хвилі при переході з області 1 в область 2. Групова швидкість хвиль, що дорівнює р/М, теж зростає так, як і слід було очікувати з класичного збереження енергії, тому що воно просто збігається з (5.23).
Існує цікавий частковий випадок, коли V2 стає настільки великим, що V2–V1 уже перевищує р12/2М. Тоді p22, що дається формулою
У тому частковому випадку, коли V1= 0, a V2 від'ємне, (5.23) означає, що р2 більше за р1, тобто в області 2 хвилі коротші. Поверхні однакової фази показано на фіг. 5.3 пунктиром. Там ще накреслено графік дійсної частини амплітуди, з якого теж видно, як зменшується довжина хвилі при переході з області 1 в область 2. Групова швидкість хвиль, що дорівнює р/М, теж зростає так, як і слід було очікувати з класичного збереження енергії, тому що воно просто збігається з (5.23).
Існує цікавий частковий випадок, коли V2 стає настільки великим, що V2–V1 уже перевищує р12/2М. Тоді p22, що дається формулою
Зображення
стає від'ємним. А це означає, що р2— уявне число, скажімо ip′ Класично ми б сказали, що частинка ніколи не потрапить в область 2, їй не вистачить енергії, щоб піднятися на потенціальний горб. Однак у квантовій механіці амплітуда й далі представляється рівнянням (5.22); її зміни в просторі й далі підпорядковуються закону
Зображення
Але оскільки р2— уявне число, то просторова залежність перетворюється на дійсну експоненту. Якщо, скажімо, частинка спершу рухалася в напрямку +x, то амплітуда почне змінюватися, як
Зображення
Зі зростанням x вона швидко спадає.Уявімо, що обидві області з різними потенціалами розташовані дуже тісно одна до одної, так що потенціальна енергія раптово змінюється від V1 до V, (фіг. 5.4, а). Накресливши графік дійсної частини амплітуди ймовірності, ми отримаємо залежність, показану на фіг. 5.4, б. Хвиля в області 1 відповідає частинці, яка намагається потрапити в область 2, але там амплітуда швидко спадає. Є якийсь шанс, що її помітять в області 2, де класично вона ніяк би не опинилася, але амплітуда цього дуже мала (крім місця поблизу самої межі). Стан речей дуже схожий на те, що ми виявили для повного внутрішнього відбиття світла. Зазвичай світло не виходить, але його все ж можна помітити, якщо поставити щось на відстані в одну-дві довжини хвилі від поверхні.
Пригадайте, що якщо розмістити другу поверхню впритул до межі, де світло повністю відбивалося, то можна домогтися того, щоб у другому шматку речовини все ж поширювалося якесь світло. Те саме відбувається і з частинками в квантовій механіці. Якщо є вузька область з таким високим потенціалом V, що класична кінетична енергія там від'ємна, то частинка ніколи не пройде крізь неї. Але в квантовій механіці амплітуда, що експоненційно спадає, може пробитися крізь цю область і дати слабку ймовірність того, що частинку виявлять з іншого боку — там, де кінетична енергія знову позитивна. Усе це зображено на фіг. 5.5. Ефект називається квантовомеханічним «проникненням крізь бар'єр».
Проникнення квантовомеханічної амплітуди крізь бар'єр дає пояснення (або опис) α-розпаду ядра урану. Крива залежності потенціальної енергії α-частинки від відстані від центра показана на фіг. 5.6, а. Якби спробувати вистрілити α-частинкою з енергією E в ядро, то вона відчула б електростатичне відштовхування від ядерного заряду z і за класичними канонами не підійшла б до ядра ближче, ніж на таку відстань r1, при якій її повна енергія зрівняється з потенціальною V. Але десь усередині ядра потенціальна енергія виявиться набагато нижчою через сильне притягання короткодіючих ядерних сил. Як же тоді пояснити, чому при радіоактивному розпаді ми виявляємо α-частинки, які, спочатку перебуваючи всередині ядра, виявляються потім поза ним з енергією E? Тому що вони із самого початку мали енергію E і «просочилися» крізь потенціальний бар'єр. Схематичний нарис амплітуди ймовірності дано на фіг. 5.6, б, хоча насправді експоненційний спад набагато сильніший, ніж показано. Дуже примітно, що середній час життя α-частинки в ядрі урану досягає 4 1/2 мільярда років, тоді як природні коливання всередині ядра надзвичайно швидкі, їх за секунду буває 1022! Як же можна з 10-22 с отримати число порядку 109 років? Відповідь полягає в тому, що експонента дає неймовірно малий множник порядку 10-45, що й приводить до дуже малої, хоч і цілком визначеної, ймовірності просочування. Якщо вже α-частинка потрапила в ядро, то майже немає ніякої амплітуди виявити її не в ядрі; якщо, однак, взяти таких ядер більше й почекати довше, то вам, можливо, повезе, і ви побачите, як частинка вискочить назовні.