Розглянемо ще одне застосування принципу невизначеності (38.3), але тільки, будь ласка, не сприймайте цей розрахунок надто буквально; загальна думка правильна, але аналіз проведено не дуже акуратно. Ця думка стосується визначення розміру атомів; адже за класичними уявленнями електрони повинні були б випромінювати світло і, крутячись по спіралі, впасти на поверхню ядра. Але, згідно з квантовою механікою, це неможливо, бо інакше ми б знали, де опинився електрон і наскільки швидко він обертається.
Припустімо, є атом водню і ми вимірюємо положення електрона; ми не повинні бути в змозі передбачити точно, де він опиниться, інакше розпливання імпульсу стане нескінченним. Щоразу, коли ми дивимося на електрон, він десь опиняється; у нього є амплітуда ймовірності опинитися в різних місцях, так що є ймовірність знайти його де завгодно. Однак не всі ці місця повинні бути біля самого ядра; припустимо, що існує розкид у відстанях порядку a, тобто відстань від ядра до електрона приблизно в середньому дорівнює a. Визначимо a, вимагаючи, щоб повна енергія атома виявилася мінімальною.
Розкид в імпульсах, згідно із співвідношенням невизначеностей, повинен дорівнювати приблизно h/a; тому, намагаючись виміряти якось імпульс електрона (наприклад, розсіюючи на ньому фотони і спостерігаючи ефект Допплера від рухомого розсіювача), ми не будемо увесь час отримувати нуль (електрон не стоїть на місці), а будемо отримувати імпульси порядку р ≈ h/a. Кінетична енергія електронів приблизно дорівнюватиме 1/2mv2 = p2/2m = h2/2ma2. (Те, що ми зараз робимо, у якомусь сенсі є аналіз розмірностей: ми прикидаємо, як кінетична енергія може залежати від сталої Планка h, маси m і розміру атома a. Відповідь виходить з точністю до числових множників типу 2, π тощо. Ми навіть не визначили як слід а.) Далі, потенціальна енергія дорівнює частці від ділення мінус е2 на відстань від центра, скажімо, —е2/а (як ми пам'ятаємо, е2 — це квадрат заряду електрона, поділений на 4πε0). Тепер дивіться: коли a зменшується, то потенціальна енергія теж зменшується, але чим менше a, тим більший необхідний принципом невизначеності імпульс і тим більша кінетична енергія. Повна енергія дорівнює
Припустімо, є атом водню і ми вимірюємо положення електрона; ми не повинні бути в змозі передбачити точно, де він опиниться, інакше розпливання імпульсу стане нескінченним. Щоразу, коли ми дивимося на електрон, він десь опиняється; у нього є амплітуда ймовірності опинитися в різних місцях, так що є ймовірність знайти його де завгодно. Однак не всі ці місця повинні бути біля самого ядра; припустимо, що існує розкид у відстанях порядку a, тобто відстань від ядра до електрона приблизно в середньому дорівнює a. Визначимо a, вимагаючи, щоб повна енергія атома виявилася мінімальною.
Розкид в імпульсах, згідно із співвідношенням невизначеностей, повинен дорівнювати приблизно h/a; тому, намагаючись виміряти якось імпульс електрона (наприклад, розсіюючи на ньому фотони і спостерігаючи ефект Допплера від рухомого розсіювача), ми не будемо увесь час отримувати нуль (електрон не стоїть на місці), а будемо отримувати імпульси порядку р ≈ h/a. Кінетична енергія електронів приблизно дорівнюватиме 1/2mv2 = p2/2m = h2/2ma2. (Те, що ми зараз робимо, у якомусь сенсі є аналіз розмірностей: ми прикидаємо, як кінетична енергія може залежати від сталої Планка h, маси m і розміру атома a. Відповідь виходить з точністю до числових множників типу 2, π тощо. Ми навіть не визначили як слід а.) Далі, потенціальна енергія дорівнює частці від ділення мінус е2 на відстань від центра, скажімо, —е2/а (як ми пам'ятаємо, е2 — це квадрат заряду електрона, поділений на 4πε0). Тепер дивіться: коли a зменшується, то потенціальна енергія теж зменшується, але чим менше a, тим більший необхідний принципом невизначеності імпульс і тим більша кінетична енергія. Повна енергія дорівнює
Зображення
Ми не знаємо, чому дорівнює a, але зате ми знаємо, що атом, забезпечуючи своє існування, змушений йти на компроміс, з тим щоб повна енергія його була якомога меншою. Щоб знайти мінімум E, продиференціюємо його за a, вимагатимемо рівності похідної нулю і знайдемо a. Похідна E дорівнює
Зображення
Ця відстань називається борівським радіусом, і ми бачимо, що розміри атома — порядку ангстрема. Вийшла правильна цифра. Це дуже добре, це навіть дивовижно добре, адже досі жодних теоретичних міркувань про розмір атома в нас не було. З класичного погляду атоми просто неможливі: електрони повинні впасти на ядра. Підставивши формулу (38.12) для а0 у (38.10), ми знайдемо енергію. Вона виявляється рівною
Зображення
Що означає негативна енергія? А те, що, коли електрон перебуває в атомі, у нього енергії менше, ніж коли він вільний. Інакше кажучи, в атомі він зв'язаний. І потрібна енергія, щоб вирвати його з атома; для іонізації атома водню потрібна енергія 13,6 еВ. Не виключено, звісно, що знадобиться вдвічі чи втричі більше енергії, або в я разів менше, оскільки наш розрахунок був дуже неохайний. Однак ми схитрували і вибрали всі константи так, щоб підсумок вийшов абсолютно правильним! Ця величина —13,6 еВ — називається рідбергом енергії; це енергія іонізації водню.
Тільки тепер стає зрозумілим, чому ми не провалюємося крізь підлогу. Під час ходьби вся маса атомів наших черевиків відштовхується від підлоги, від усієї маси її атомів. Атоми стискаються, електрони змушені тіснитися в меншому об'ємі, і за принципом невизначеності їхні імпульси в середньому збільшуються, а збільшення імпульсів означає зростання енергії. Опір атомів стисненню — це не класичний, а квантовомеханічний ефект. За класичними уявленнями слід було б очікувати, що при зближенні електронів з протонами енергія зменшиться; найвигідніше розташування додатних і від'ємних зарядів у класичній фізиці — це коли вони сидять верхи один на одному. Класичній фізиці це було добре відомо і становило загадку: атоми ж все-таки існували! Звісно, науковці і тоді вигадували різні способи виходу з глухого кута, але правильний (будемо сподіватися!) спосіб став відомий тільки нам!
До речі, коли навколо ядра буває багато електронів, то вони теж намагаються триматися подалі один від одного. Причина цього поки що вам незрозуміла, але це факт, що якщо якийсь електрон зайняв якесь місце, то інший цього місця вже не займе. Точніше, через існування двох напрямків спіна, ці електрони можуть усістися один на одного і обертатися: один — в один бік, інший — в інший. Але вже жодного третього на це місце вам не помістити. Ви повинні їх розміщувати на нових місцях, і саме в цьому справжня причина того, що речовина має пружність. Якби можна було розмістити всі електрони в одному місці, речовина була б навіть щільнішою, ніж зазвичай. І саме завдяки тому, що електрони не можуть сидіти один на одному, існують і столи, і інші тверді предмети.
Тому природно, що, бажаючи зрозуміти властивості речовини, потрібно користуватися квантовою механікою; класичної для цього явно недостатньо.
Тільки тепер стає зрозумілим, чому ми не провалюємося крізь підлогу. Під час ходьби вся маса атомів наших черевиків відштовхується від підлоги, від усієї маси її атомів. Атоми стискаються, електрони змушені тіснитися в меншому об'ємі, і за принципом невизначеності їхні імпульси в середньому збільшуються, а збільшення імпульсів означає зростання енергії. Опір атомів стисненню — це не класичний, а квантовомеханічний ефект. За класичними уявленнями слід було б очікувати, що при зближенні електронів з протонами енергія зменшиться; найвигідніше розташування додатних і від'ємних зарядів у класичній фізиці — це коли вони сидять верхи один на одному. Класичній фізиці це було добре відомо і становило загадку: атоми ж все-таки існували! Звісно, науковці і тоді вигадували різні способи виходу з глухого кута, але правильний (будемо сподіватися!) спосіб став відомий тільки нам!
До речі, коли навколо ядра буває багато електронів, то вони теж намагаються триматися подалі один від одного. Причина цього поки що вам незрозуміла, але це факт, що якщо якийсь електрон зайняв якесь місце, то інший цього місця вже не займе. Точніше, через існування двох напрямків спіна, ці електрони можуть усістися один на одного і обертатися: один — в один бік, інший — в інший. Але вже жодного третього на це місце вам не помістити. Ви повинні їх розміщувати на нових місцях, і саме в цьому справжня причина того, що речовина має пружність. Якби можна було розмістити всі електрони в одному місці, речовина була б навіть щільнішою, ніж зазвичай. І саме завдяки тому, що електрони не можуть сидіти один на одному, існують і столи, і інші тверді предмети.
Тому природно, що, бажаючи зрозуміти властивості речовини, потрібно користуватися квантовою механікою; класичної для цього явно недостатньо.