Щоб зрозуміти, чому в квантовій механіці виникає невизначеність у положенні і (або) в імпульсі, розглянемо два приклади. Ми вже бачили раніше, що якби цього не було, якби можна було одночасно вимірювати і місцезнаходження, і імпульс якогось тіла, то виник би парадокс. На щастя, парадокс не виникає, а та обставина, що невизначеність природним чином випливає з хвильової картини, свідчить, що тут усе взаємопов'язано.Ось перший приклад, що показує зв'язок імпульсу й координати за умов, які легко собі уявити. Нехай крізь єдину щілину в екрані проникають частинки, що прийшли здалеку і мають певну енергію. Рухаються вони всі горизонтально (фіг. 38.2). Зосередимо нашу увагу на вертикальній складовій імпульсу. У кожної з цих частинок є (у звичайному класичному сенсі) горизонтальна складова імпульсу певної величини р0. Вертикальна складова імпульсу рy (до того, як частинка пройде крізь щілину) теж у класичному сенсі добре відома: частинки не рухаються ні вгору, ні вниз, тому що їхнє джерело дуже віддалене, отже, вертикальна складова імпульсу частинки точно дорівнює нулю. А тепер припустимо, що ширина щілини дорівнює В. Коли частинка пройде крізь щілину, то її вертикальна координата у визначиться з хорошою точністю ± В. Це означає, що невизначеність у положенні частинки Δу буде порядку В. Може, ви захочете сказати, що Δрy = 0, тому що імпульс частинок, мовляв, точно горизонтальний? Але це не так. Раніше ми знали, що імпульс має лише горизонтальну складову, а тепер ми цього вже не знаємо. Перед тим як частинка проникла крізь щілину, ми не знали її вертикальної координати. Після того як частинка проникла крізь щілину, ми дізналися її вертикальну координату, але втратили інформацію про її вертикальну складову імпульсу! Чому? Та тому, що, згідно з хвильовою теорією, відбувається відхилення, або дифракція, хвиль, які проникли крізь щілину, подібно до того, як це буває зі світлом. Тому є скінченна ймовірність того, що частинки, пройшовши крізь щілину, не підуть прямо вперед. Уся картина поширення розпливається за рахунок дифракції, і кут цього розширення (кут, під яким видно перший мінімум) є мірою невизначеності напрямку частинки.
Яким чином відбувається розпливання зображення завширшки? Розпливання означає, що існує певна ймовірність того, що частинка вирушить вгору або вниз, тобто набуде компоненту імпульсу, спрямовану вгору або вниз. (Ми говоримо і про ймовірність, і про частинку, тому що дифракційну картину можна виявити за допомогою лічильника частинок, а коли лічильник реєструє частинку, скажімо, в точці С на фіг. 38.2, то він реєструє частинку цілком. А це означає в класичному сенсі, що частинка має вертикальний імпульс, який спрямовує її зі щілини прямо в точку С.)
Щоб приблизно уявити собі ступінь розпливання імпульсу, напишемо, що вертикальний імпульс рy розмазаний на р0Δθ, де р0 — горизонтальний імпульс. Чому ж дорівнює Δθ на розмазаній картині? Відомо, що перший мінімум спостерігається при куті Δθ такому, що в цьому напрямку хвиля від дальнього краю щілини повинна відстати на одну свою довжину від хвилі від ближнього краю (ми про це вже говорили в розд. 30). Отже, Δθ дорівнює λ/В, а отже, Δрy в цьому експерименті дорівнює р0λ/В. Чим меншим буде В, чим точніше визначатиметься положення частинки, тим ширшою буде дифракційна картина. Згадайте, що коли ми закривали щілини в експерименті з мікрохвилями, то інтенсивність збоку від щілини зростала. Отже, чим вужча щілина, тим ширшою стає картина дифракції, тим правдоподібніше, що ми виявимо у частинки імпульс, спрямований убік. І невизначеність у вертикальному імпульсі справді обернено пропорційна невизначеності в у, тому що їхній добуток дорівнює р0λ.
Але λ — це довжина хвилі, а р0 — імпульс, і відповідно до квантової механіки їхній добуток — це стала Планка h. Виходить, що добуток невизначеностей у вертикальному імпульсі та у вертикальній координаті є величина порядку h:
Зображення
Ми не можемо підготувати систему, в якій положення частинки по вертикалі було б відоме, і водночас передбачати з визначеністю, що перевищує h/Δy, наскільки її рух відхилиться від вертикалі. Невизначеність у вертикальному імпульсі завжди більша за h/Δy, якщо Δy — невизначеність, з якою ми знаємо положення частинки.Дехто стверджує, що в квантовій механіці все неправильно. Коли, кажуть вони, частинка наближалася зліва, її вертикальний імпульс дорівнював нулю. А коли вона пройшла крізь щілину, стало відоме її положення. І те, і інше може бути визначене з будь-якою точністю.
Цілком правильно. Ми можемо зареєструвати частинку і визначити, яким було її положення і яким мав бути її імпульс, щоб вона потрапила туди, куди вона потрапила. Це все правильно. Але співвідношення невизначеностей (38.3) не має до цього жодного стосунку. Рівняння (38.3) стосується можливості передбачення, а не зауважень про те, що сталося в минулому. Яка користь у тому, що ми скажемо: «Я знав, яким був імпульс до проходу частинки крізь щілину, а тепер дізнався до того ж і координату»? Адже тепер-то знання про імпульс частинки вже втрачено. Раз вона пройшла крізь щілину, то ми вже не можемо більше передбачати її вертикальний імпульс. Йдеться про теорію, здатну до передбачень, а не про вимірювання після того, як усе завершилося. Ми й обговорюємо питання про те, що можна передбачити.
Спробуємо тепер по-іншому підійти до цих речей. Наведемо інший приклад того самого явища, цього разу з докладнішими кількісними оцінками. Раніше ми вимірювали імпульс класичним способом: ми розглядали напрямок, швидкість, кути тощо; у цьому й полягав спосіб отримання імпульсу шляхом класичного аналізу. Але оскільки імпульс пов'язаний з хвильовим числом, то в природі існує й інший, зовсім інакший шлях вимірювання імпульсу частинок (байдуже, фотона чи будь-якого іншого), що не має класичного аналога. У ньому використовується рівняння (38.2) і просто вимірюється довжина хвилі. Спробуймо таким способом виміряти імпульс.
Нехай є ґратка з безліччю ліній (фіг. 38.3), на яку спрямований пучок частинок. Ми неодноразово розглядали цю задачу: коли у частинок є певний імпульс, то внаслідок інтерференції в деякому напрямку виникає дуже різкий максимум. Ми також говорили про те, наскільки точно можна визначити цей імпульс, тобто яка розділювальна здатність ґратки. Ми не будемо заново це все виводити, а пошлемося на розд. 30; там ми з'ясували, що відносна невизначеність у довжині хвилі, пов'язана з даною ґраткою, дорівнює 1/Nm, де N — кількість ліній ґратки, a m — порядок дифракційного максимуму. Інакше кажучи,
Зображення
де відстань L показано на фіг. 38.3. Це — різниця двох відстаней: відстані, яку повинна пройти хвиля (або частинка), відбившись від нижньої частини ґратки, і відстані, яку потрібно пройти, відбившись від верху ґратки. Іншими словами, хвилі, що утворюють дифракційний максимум,—це хвилі, що приходять від різних частин ґратки. Першими прибувають хвилі, що вийшли знизу—це початок цуга хвиль, а потім ідуть подальші частини цуга, від середніх частин ґратки, поки не прийдуть хвилі від верху: точка цуга, віддалена від його початку на відстань L. Отже, щоб отримати в спектрі різку лінію, що відповідає певному імпульсу [з невизначеністю, яку дає формула (38.4)], для цього потрібен цуг хвиль довжиною L. Якщо цуг занадто короткий (коротший за L), то не вся ґратка буде діяти. Хвилі, що утворюють спектр, будуть відбиватися при цьому лише від невеликого шматка ґратки, і ґратка не буде добре працювати — вийде сильне розмиття за кутом. Щоб його звузити, треба використати всю ширину ґратки так, щоб хоча б на одну мить весь цуг хвиль ліг одночасно на ґратці й розсіявся від усіх її частин. Тому-то довжина цуга повинна дорівнювати L; тоді тільки невизначеність у довжині хвилі виявиться меншою, ніж указано формулою (38.5). Зауважимо, що
Зображення
Це означає, що коли цуг хвиль коротший за L, то невизначеність у хвильовому числі перевищує 2π/L. Інакше кажучи, невизначеність у хвильовому числі, помножена на довжину хвильового цуга (назвемо її на хвилинку Δх), більша за 2π. Ми назвали її Δх тому, що це якраз невизначеність у положенні частинки. Якщо цуг хвиль тягнеться лише на скінченному проміжку, то лише там ми і можемо виявити частинку з невизначеністю Δх. Ця властивість хвиль (той факт, що добуток довжини цуга хвиль на невизначеність у хвильовому числі, пов'язаному з цим цугом, не менший за 2π) знову-таки добре знайома всім, хто мав справу з хвилями. І жодного стосунку до хвильової механіки вона не має. Просто не можна дуже точно підрахувати число хвиль у скінченній їх низці.
Пояснити це можна й по-іншому. Нехай довжина цуга хвиль L. Оскільки на кінцях цуга хвилі спадають (як на фіг. 38.1), то кількість хвиль на довжині L відома з точністю порядку ± 1. Але число хвиль на довжині L дорівнює kL2π. Значить, невизначеність у k дорівнює 2π/L. Знову вийшла формула (38.7) як проста властивість усіляких хвиль. Це залишається правильним завжди: і для хвиль у просторі, коли к є кількість радіан на 1 см, a L — довжина цуга, і для хвиль у часі, коли ω є число коливань за 1 с, а T— «довжина» в часі того самого цуга. Інакше кажучи, якщо цуг хвиль триває лише скінченний час Т, то невизначеність у частоті дається формулою
Пояснити це можна й по-іншому. Нехай довжина цуга хвиль L. Оскільки на кінцях цуга хвилі спадають (як на фіг. 38.1), то кількість хвиль на довжині L відома з точністю порядку ± 1. Але число хвиль на довжині L дорівнює kL2π. Значить, невизначеність у k дорівнює 2π/L. Знову вийшла формула (38.7) як проста властивість усіляких хвиль. Це залишається правильним завжди: і для хвиль у просторі, коли к є кількість радіан на 1 см, a L — довжина цуга, і для хвиль у часі, коли ω є число коливань за 1 с, а T— «довжина» в часі того самого цуга. Інакше кажучи, якщо цуг хвиль триває лише скінченний час Т, то невизначеність у частоті дається формулою
Зображення
Ми весь час намагалися підкреслити, що це властивість самих хвиль, що все це добре відомо, наприклад, у теорії звуку. А квантовомеханічні застосування цих властивостей спираються на тлумачення хвильового числа як міри імпульсу частинки за правилом р = hk, так що (38.7) уже стверджує, що Δр ≈ h/Δx. Це встановлює межу класичному уявленню про імпульс. (Природно, воно і повинно бути якось обмежене, якщо ми збираємося зображати частинки як хвилі!) І дуже добре, що ми знайшли правило, яке якимось чином береться вказати, де порушуються класичні уявлення.