Силы. Классический предел

Предположим, что частица движется сквозь область, где есть потенциал, меняющийся поперек движения. Классически мы бы описали этот случай так, как показано на фиг. 5.7. Если частица движется в направлении x и вступает в область, где имеется потенциал, изменяющийся вдоль y, то частица получит поперечное ускорение от силы F= –∂V/∂y. Если сила присутствует только в ограниченной области шириной w, то она будет действовать только в течение времени w/v. Частица получит поперечный импульс

Тогда угол отклонения  δθ будет равен

где р — начальный импульс. Подставляя вместо F число —∂V/∂y, получаем

Теперь нам предстоит выяснить, удастся ли получить этот результат с помощью представления о том, что волны подчиняются уравнению (5.20). Мы рассмотрим то же самое явление квантовомеханически, предполагая, что все масштабы в нем намного превосходят длины волн наших амплитуд вероятности. В любой маленькой области можно считать, что амплитуда меняется как

В состоянии ли мы увидеть, как отсюда получится отклонение частиц, когда у V будет поперечный градиент? На фиг. 5.8 мы прикинули, как будут выглядеть волны амплитуды вероятности Мы начертили ряд «узлов волн», которые вы можете считать,  скажем,   поверхностями,   где  фаза  амплитуды  равна нулю. В любой небольшой области длина волны (расстояние между соседними узлами) равна

где p связано с V формулой

В области, где V больше, там p меньше, а волны длиннее. Поэтому направление линий узлов волн постепенно меняется, как показано на рисунке.
 
Чтобы найти изменение наклона линий узлов волн, заметим, что на двух путях a и b имеется разность потенциалов ΔV=(∂V/∂y) D, а значит, и разница Δp между импульсами. Эту разность можно получить из (5.28):

Волновое число p/h поэтому тоже на разных путях различно, что означает, что фазы растут вдоль них с разной скоростью. Разница в скорости роста фазы есть Δk = Δp/h, и накопленная на всем пути w разность фаз будет равна

Это число показывает, на сколько к моменту выхода из полосы фаза вдоль пути b «опережает» фазу вдоль пути a. Но на выходе из полосы такое опережение фаз отвечает опережению узла  волны на  величину

или

Обращаясь к фиг. 5.8, мы видим, что новый фронт волны повернется  на угол δθ, даваемый формулой

А это совпадает с (5.26), если заменить p/М на v, a ΔV/D на ∂V/∂y.
 
Результат, который мы только что получили, верен лишь, когда потенциал меняется медленно и плавно — в так называемом классическом пределе. Мы показали, что при этих условиях получим те же движения частиц, что получились бы и из F =ma, если предположить, что потенциал дает вклад в фазу амплитуды вероятности, равный Vt/h. В классическом пределе квантовая механика оказывается в согласии с ньютоновской механикой.