Два роди імпульсів

Рівняння для струму досить цікаве, хоча часом завдає чимало клопоту. Струм можна було б вважати чимось на кшталт добутку густини частинок на швидкість. Густина виглядала б як ψψ*, так що тут усе гаразд. Кожен член у (19.12) нагадує типовий вираз для середнього значення оператора

Тому, можливо, слід було б розглядати його як швидкість потоку? Але тоді виходить, що швидкість з імпульсом можна пов'язати двояким чином, адже з рівним правом можна було б вважати, що швидкістю має бути відношення імпульсу до маси P/m. Ці дві можливості різняться на вектор-потенціал.
 
Виявляється, ті самі дві можливості були ще в класичній фізиці, і в ній теж було знайдено, що імпульс можна визначити двома шляхами. Один можна назвати «кінематичним імпульсом», але для абсолютної ясності я в цій лекції буду називати його «mv-імпульсом». Це імпульс, що отримується від перемноження маси на швидкість. Інший, більш математичний, більш відсторонений імпульс, іменований іноді «динамічним імпульсом», а я його буду називати «р-імпульс». Отже, у нас є дві можливості:

І от виявляється, що в квантовій механіці, яка включає магнітні поля, з оператором градієнта p пов'язаний саме р-імпульс, так що оператор швидкості це (19.13).
 
Тут я хотів би трохи відхилитися від теми і пояснити, чому так виходить — чому в квантовій механіці має бути щось схоже на (19.15). Хвильова функція змінюється з часом, слідуючи рівнянню Шредінгера (19.3). Якби я раптово змінив векторний потенціал, то в першу мить хвильова функція не змінилася б, а змінилася б тільки швидкість її зміни. Тепер уявіть собі, що станеться за таких обставин. Нехай є довгий соленоїд, у якому я створюю потік магнітного поля (поля В), як показано на фіг. 19.2. А поблизу сидить заряджена частинка. Припустимо, що цей потік майже миттєво з нуля зростає до якогось значення. Спочатку векторний потенціал дорівнює нулю, а потім я його вмикаю. Це означає, що я раптово створюю круговий вектор-потенціал А. Ви пам'ятаєте, що криволінійний інтеграл від А вздовж петлі це те саме, що потік поля В крізь петлю [див. розд. 14, § 1 (вип. 5)]. І що ж відбувається, коли я миттєво вмикаю векторний потенціал? Згідно з квантовомеханічним рівнянням, раптова зміна А не викликає раптової зміни ψ; хвильова функція поки та сама. Значить, і градієнт не змінився.
 
Але згадайте, що відбувається електрично, коли я раптово вмикаю потік. Протягом короткого часу, поки потік зростає, виникає електричне поле, контурний інтеграл від якого  дорівнює швидкості зміни потоку в часі

Якщо потік різко змінюється, то електричне поле досягає величезної величини і чинить сильний вплив на частинку. Ця сила дорівнює добутку заряду на електричне поле; отже, в момент появи потоку частинка отримує повний імпульс (тобто зміну в mv), що дорівнює —qА. Іншими словами, якщо ви подієте на заряд векторним потенціалом, увімкнувши його раптово, то цей заряд негайно схопить mv-імпульс, що дорівнює —qA. Але є щось, що не змінюється негайно, — це різниця між mv і —qA. Отже, сума p=mv + qA і є те, що не змінюється, якщо ви піддаєте вектор-потенціал раптовій зміні. Саме цю величину ми називаємо р-імпульсом, саме вона відіграє важливу роль у класичній динаміці; вона ж виявляється істотною і в квантовій механіці. Ця величина залежить від характеру хвильової функції і є спадкоємцем оператора

за наявності магнітного поля.