Рівняння неперервності для ймовірностей

Переходжу тепер до другого пункту. Важливу сторону рівняння Шредінгера окремої частинки становить ідея про те, що ймовірність виявити частинку в якомусь місці визначається квадратом абсолютної величини хвильової функції. Для квантової механіки характерне також те, що ймовірність зберігається локально (тобто в кожному окремому місці). Коли ймовірність виявити електрон у такому-то місці спадає, а ймовірність виявити його в якомусь іншому місці зростає (так що повна ймовірність не змінюється), то щось у проміжку між цими місцями повинно було відбутися. Іншими словами, електрон має неперервність у тому сенсі, що якщо ймовірність спадає в одному місці і зростає в іншому, то між цими місцями має щось протікати. Так, якщо ви між ними поставите стінку, то це позначиться на ймовірностях і вони стануть не такими, якими були. Отже, саме тільки збереження ймовірності не є повним формулюванням закону збереження, так само як саме тільки збереження енергії не має такої глибини і не становить такої важливості, як локальне збереження енергії [див. розд. 27, § 1 (вип. 6)]. Якщо енергія зникає, то цьому має відповідати відтік енергії від цього місця. От і в ймовірності хотілося б виявити такий самий «струм». Хотілося б, щоб було так: якщо десь зміниться густина ймовірності (ймовірність виявити щось таке в одиниці об'єму), то щоб можна було вважати, що ймовірність звідкись сюди притекла (або витекла звідси кудись ще). Такий струм був би вектором, який можна було б тлумачити таким чином: його х-компонента була б чистою ймовірністю (за секунду і на одиницю об'єму) того, що частинка пройде в напрямку x через площину, паралельну площині yz. Прохід у напрямку +x вважається додатним потоком, а прохід у зворотний бік — від'ємним потоком.
 
Чи існує такий струм? Ви знаєте, що густина ймовірності P(r, t) виражається  через хвильову функцію

І от я запитую: чи існує такий струм J, що

Якщо я продиференціюю (19.7) за часом, то отримаю два доданки

Тепер для ∂ψ/∂t візьміть рівняння Шредінгера — рівняння (19.3); крім того, комплексно його спряжіть, тобто змініть знак при   кожному i, щоб   отримати  ∂ψ*/∂t. У вас вийде

Члени з потенціальною енергією і багато інших членів взаємно знищаться. А те, що залишиться, виявляється, справді можна записати у вигляді повної дивергенції. Усе рівняння цілком еквівалентне рівнянню

Не так уже й складно, як здається на перший погляд. Це симетрична комбінація з ψ*, помноженого на певну операцію над ψ, плюс ψ, помножене на комплексно спряжену операцію над ψ*. Це просто якась величина плюс комплексно спряжена їй величина, так що все разом (як і належить бути) дійсне. Операція запам'ятовується так: це просто оператор імпульсу P мінус qА. Струм з (19.8) я можу записати у вигляді

Тоді це і є той струм J, що задовольняє рівнянню (19.8).
 
Рівняння (19.8) показує, що ймовірність зберігається локально. Якщо частинка зникає з однієї області, то вона не може опинитися в іншій без того, щоб щось не протекло в проміжку між областями. Уявіть, що перша область оточена замкненою поверхнею, яка проведена так далеко, що є нульова ймовірність виявити на ній електрон. Повна ймовірність виявити електрон десь усередині поверхні дорівнює об'ємному інтегралу від P. Але, згідно з теоремою Гаусса, об'ємний інтеграл від дивергенції J дорівнює поверхневому інтегралу від J. Якщо ψ на поверхні дорівнює нулю, то (19.12) стверджує, що і J є нуль; отже, повна ймовірність відшукати частинку всередині поверхні не може змінитися. Тільки тоді, коли частина ймовірності досягає межі, якась її частина може витекти назовні. Ми маємо право казати, що вона вибирається назовні тільки через поверхню — це і є локальна збережуваність.