Коли Шредінгер вперше відкрив своє рівняння, він відкрив заразом, що закон збереження (19.8) є наслідком цього рівняння. Але він неправильно вирішив, що P це густина електричного заряду електрона, a J — густина електричного струму, тобто він думав, що електрони взаємодіють з електромагнітним полем через ці заряди і струми. Розв'язуючи свої рівняння для атома водню і обчислюючи ψ, він не обчислював жодної амплітуди (у той час ще не було амплітуд), а тлумачив це зовсім інакше. Атомне ядро було стаціонарним, навколо ж нього текли струми; заряди P і струми J генерували електромагнітні поля, і все разом це випромінювало світло. Але незабаром, розв'язуючи задачу за задачею, він зрозумів, що міркує не зовсім правильно. І саме в цей момент Борн висунув вельми нетривіальну ідею. Саме Борн правильно (наскільки нам відомо) ототожнив ψ в рівнянні Шредінгера з амплітудою ймовірності, припустивши, що квадрат амплітуди — це не густина заряду, а лише ймовірність (на одиницю об'єму) виявити там електрон і що якщо ви знаходите електрон у якомусь місці, то там опиниться і весь його заряд. Уся ця ідея належить Борну.
Хвильова функція ψ(r) електрона в атомі не описує, отже, розмазаного електрона з плавно змінюваною густиною заряду. Електрон може бути або тут, або там, або десь-інде, але де б він не був, він завжди — точковий заряд. Але, з іншого боку, уявімо собі випадок, коли величезне число частинок перебуває в одному й тому самому стані, дуже велике їх число з однією й тією самою хвильовою функцією. Що тоді? Одна з них буде тут, інша — там, і ймовірність виявити будь-яку з них у даному місці пропорційна ψψ*. Але оскільки частинок так багато, то, якщо я подивлюся в якийсь об'єм dxdydz, я, взагалі кажучи, виявлю там приблизно ψψ*dxdydz частинок. Отже, коли ψ — хвильова функція кожної з величезної кількості частинок, які всі поголовно перебувають в одному й тому самому стані, то в цьому випадку ψψ* можна ототожнювати з густиною частинок. Якщо за цих умов усі частинки несуть однакові заряди q, то ми можемо піти далі і ототожнити ψ*ψ з густиною електрики. Зазвичай, якщо ψψ* має розмірність густини ймовірності, то ψψ* треба помножити на q, щоб отримати розмірність густини заряду. Для наших теперішніх цілей ми можемо включити цей постійний множник у ψ і прийняти за густину електричного заряду саме ψψ*. Якщо пам'ятати про це, то J (той струм ймовірності, який я обчислив) можна буде вважати просто густиною електричного струму.
Отже, коли в одному й тому самому стані може перебувати дуже багато частинок, можливе інше фізичне тлумачення хвильових функцій. Густина заряду і електричний струм можуть бути обчислені прямо з хвильових функцій, і хвильові функції набувають фізичного сенсу, який поширюється на класичні, макроскопічні ситуації.
Щось подібне може статися і з нейтральними частинками. Якщо у нас є хвильова функція окремого фотона, то це — амплітуда того, що він буде виявлений десь. Хоча ми його й не писали, однак існує рівняння для фотонної хвильової функції, аналогічне рівнянню Шредінгера для електрона. Фотонне рівняння просто збігається з рівняннями Максвелла для електромагнітного поля, а хвильова функція — з векторним потенціалом А. Хвильова функція виявляється звичайним векторним потенціалом. Фізика квантів світла збігається з класичною фізикою, тому що фотони суть невзаємодіючі бозе-частинки і багато хто з них можуть перебувати в однаковому стані; більш того, як ви знаєте, вони люблять бувати в однаковому стані. У момент, коли міріади їх опиняться в одному й тому самому стані (тобто в одній і тій самій електромагнітній хвилі), ви зможете безпосередньо виміряти хвильову функцію (тобто векторний потенціал). Звичайно, історично все йшло іншим шляхом. Перші спостереження були проведені за таких обставин, коли було багато фотонів в однаковому стані, і тим самим вдалося відкрити правильні рівняння для окремого фотона, спостерігаючи безпосередньо своїми очима природу хвильової функції на макроскопічному рівні.
Труднощі з електроном полягають у тому, що ви не можете помістити в один і той самий стан більше одного електрона. Тому дуже довго вважалося, що хвильова функція рівняння Шредінгера ніколи не матиме макроскопічного представлення, подібного до макроскопічного представлення амплітуди для фотонів. Але тепер стало ясно, що явище надпровідності становить саме такий випадок.
Хвильова функція ψ(r) електрона в атомі не описує, отже, розмазаного електрона з плавно змінюваною густиною заряду. Електрон може бути або тут, або там, або десь-інде, але де б він не був, він завжди — точковий заряд. Але, з іншого боку, уявімо собі випадок, коли величезне число частинок перебуває в одному й тому самому стані, дуже велике їх число з однією й тією самою хвильовою функцією. Що тоді? Одна з них буде тут, інша — там, і ймовірність виявити будь-яку з них у даному місці пропорційна ψψ*. Але оскільки частинок так багато, то, якщо я подивлюся в якийсь об'єм dxdydz, я, взагалі кажучи, виявлю там приблизно ψψ*dxdydz частинок. Отже, коли ψ — хвильова функція кожної з величезної кількості частинок, які всі поголовно перебувають в одному й тому самому стані, то в цьому випадку ψψ* можна ототожнювати з густиною частинок. Якщо за цих умов усі частинки несуть однакові заряди q, то ми можемо піти далі і ототожнити ψ*ψ з густиною електрики. Зазвичай, якщо ψψ* має розмірність густини ймовірності, то ψψ* треба помножити на q, щоб отримати розмірність густини заряду. Для наших теперішніх цілей ми можемо включити цей постійний множник у ψ і прийняти за густину електричного заряду саме ψψ*. Якщо пам'ятати про це, то J (той струм ймовірності, який я обчислив) можна буде вважати просто густиною електричного струму.
Отже, коли в одному й тому самому стані може перебувати дуже багато частинок, можливе інше фізичне тлумачення хвильових функцій. Густина заряду і електричний струм можуть бути обчислені прямо з хвильових функцій, і хвильові функції набувають фізичного сенсу, який поширюється на класичні, макроскопічні ситуації.
Щось подібне може статися і з нейтральними частинками. Якщо у нас є хвильова функція окремого фотона, то це — амплітуда того, що він буде виявлений десь. Хоча ми його й не писали, однак існує рівняння для фотонної хвильової функції, аналогічне рівнянню Шредінгера для електрона. Фотонне рівняння просто збігається з рівняннями Максвелла для електромагнітного поля, а хвильова функція — з векторним потенціалом А. Хвильова функція виявляється звичайним векторним потенціалом. Фізика квантів світла збігається з класичною фізикою, тому що фотони суть невзаємодіючі бозе-частинки і багато хто з них можуть перебувати в однаковому стані; більш того, як ви знаєте, вони люблять бувати в однаковому стані. У момент, коли міріади їх опиняться в одному й тому самому стані (тобто в одній і тій самій електромагнітній хвилі), ви зможете безпосередньо виміряти хвильову функцію (тобто векторний потенціал). Звичайно, історично все йшло іншим шляхом. Перші спостереження були проведені за таких обставин, коли було багато фотонів в однаковому стані, і тим самим вдалося відкрити правильні рівняння для окремого фотона, спостерігаючи безпосередньо своїми очима природу хвильової функції на макроскопічному рівні.
Труднощі з електроном полягають у тому, що ви не можете помістити в один і той самий стан більше одного електрона. Тому дуже довго вважалося, що хвильова функція рівняння Шредінгера ніколи не матиме макроскопічного представлення, подібного до макроскопічного представлення амплітуди для фотонів. Але тепер стало ясно, що явище надпровідності становить саме такий випадок.