Динаміка надпровідності

Ефект Мейснера і квантування потоку підтверджують наші загальні уявлення. Для повноти варто ще показати, як з цієї точки зору виглядали б повні рівняння надпровідної рідини,— виходить доволі цікаво. Досі я підставляв вираз для ψ тільки в рівняння густини заряду і струму. Але якщо я підставлю їх у повне рівняння Шредінгера, то отримаю рівняння для ρ і θ. Цікаво поглянути, що з цього вийде, бо перед нами зараз «рідина» електронних пар з густиною заряду ρ і таємничою θ; ми можемо подивитися, як виглядають рівняння такої «рідини»! Отже, підставимо хвильову функцію (19.17) у рівняння Шредінгера (19.3) і згадаймо, що ρ і θ це дійсні функції від х, у і z. Якщо ми відокремимо дійсну частину від уявної, то рівнянь стане два. Щоб запис був коротшим, я, керуючись рівнянням (19.19), напишу

Тоді одне з двох рівнянь набуде вигляду

Оскільки ρv це і є J [див. (19.18)], то ми просто ще раз отримали рівняння неперервності. Друге ж рівняння говорить про зміну θ:

Ті з вас, хто добре знайомий з гідродинамікою (гадаю, дуже небагато хто), впізнають у цьому рівнянні рівняння руху електрично зарядженої рідини, якщо тільки ототожнити hθ з «потенціалом швидкостей»; але тільки в останньому члені, який має бути енергією стиснення рідини, є доволі дивна залежність від густини ρ. У всякому разі це рівняння стверджує, що швидкість зміни величини hθ дається членом з кінетичною енергією (m/2) v² плюс член з потенціальною енергією qφ плюс додатковий член із множником h², який ми назвемо «квантовомеханічною енергією». Ми бачили, що всередині надпровідника електростатичні сили підтримують ρ дуже однорідною, тому в усіх практичних застосуваннях цим членом майже напевно можна знехтувати за умови, що є лише одна надпровідна область. Якщо між двома надпровідниками є межа (або є інші обставини, через які ρ може почати різко змінюватися), то цей член може стати істотним. Для тих, хто не так уже знайомий з рівняннями гідродинаміки, я спробую переписати (19.33) у тому вигляді, який дозволить ясніше бачити фізику. Я використаю (19.31), щоб θ виразити через v. Взявши від усього рівняння (19.33) градієнт і виразивши за допомогою (19.31) ∇θ через А і v, я отримаю

Що ж означає це рівняння? Згадаймо, по-перше, що

Далі зауважимо, що якщо взяти ротор від рівняння  (19.19), то отримаємо

оскільки ротор  градієнта завжди нуль. Але VxA — це магнітне поле В, тож два перших члени можна записати у вигляді

Нарешті, ви повинні усвідомити собі, що ∂v/∂t означає швидкість зміни швидкості рідини в даній точці. Якщо ж вас цікавить окрема частинка, то її прискорення виразиться повною похідною від v (або, як іноді кажуть у динаміці рідин, «супутнім прискоренням»), пов'язаною з ∂v/∂t формулою [див. розд. 40, § 2 (вип. 7)]

У правій частині (19.34) стоїть той самий член (v ·∇)v. Якщо перенести його ліворуч, то (19.34) перепишеться так:

Це і є рівняння руху надпровідної електронної рідини. Перше рівняння — це просто закон Ньютона для зарядженої рідини в електромагнітному полі. Воно стверджує, що прискорення кожної частинки рідини із зарядом q викликається дією звичайної лоренцевої сили q(E+vxB) плюс додаткова сила, яка є градієнтом якогось таємничого квантовомеханічного потенціалу; ця сила зазвичай мала і стає помітною тільки при контакті двох різних надпровідників. Друге рівняння стверджує, що рідина «ідеальна» — ротор має нульову дивергенцію (у В дивергенція завжди нуль). Це означає, що швидкість може бути виражена через потенціал швидкостей. Зазвичай для ідеальної рідини пишуть ∇ X v =0, але для ідеальної зарядженої рідини в магнітному полі це рівняння перетворюється на   (19.39).
 
Отже, рівняння Шредінгера для електронних пар у надпровіднику дає нам рівняння руху електрично зарядженої ідеальної рідини. Теорія надпровідності збігається із задачею гідродинаміки зарядженої рідини. Якщо ви хочете розв'язати якусь задачу, що стосується надпровідників, ви берете ці рівняння для рідини [або рівноцінну їм пару (19.32) і (19.33)] і поєднуєте їх з рівняннями Максвелла, щоб отримати поля. (Заряди і струми, якими ви користуєтеся, щоб дізнатися поля, повинні, звісно, включати як заряди і струми від надпровідника, так і заряди і струми від зовнішніх джерел.)
 
До речі, я вважаю, що рівняння (19.38) не зовсім правильне, до нього слід додати член з густиною. Він не визначається квантовою механікою, а випливає зі звичайної енергії, пов'язаної з варіаціями густини, так само як у рівнянні для звичайної рідини повинна стояти густина потенціальної енергії, пропорційна квадрату відхилення ρ від ρ₀ (незбуреної густини, яка в нашому випадку дорівнює також густині заряду кристалічної ґратки). Оскільки мають спостерігатися сили, пропорційні градієнту цієї енергії, то в (19.38) повинен стояти ще один член, пропорційний ∇ (ρ—ρ₀)². У нашому аналізі він не з'явився, тому що виникає він від взаємодії між частинками, якою я, застосовуючи наближення незалежних частинок, знехтував. Але це та сама сила, на яку я посилався, коли робив якісне твердження про те, що електростатичні сили прагнуть зберегти ρ вздовж надпровідника майже незмінною.