Тепер ми хотіли б застосувати наші знання про атом водню до однієї спеціальної задачі. У розд. 3 ми говорили про те, що частинка зі спіном 1, яка перебуває в одному з базисних станів (+, 0, —) стосовно приладу Штерна — Герлаха з якоюсь окремою орієнтацією (скажімо, стосовно приладу S), матиме певну амплітуду перебування в одному з трьох станів стосовно приладу T, орієнтованому в просторі по-іншому. Є дев'ять таких амплітуд <jT |iS>, які разом утворюють проєкційну матрицю. У розд. 3, § 7, ми без доведення виписали елементи цієї матриці для різних орієнтацій T стосовно S. Тепер ми хочемо показати вам один зі способів їх виведення.
В атомі водню ми з вами відшукали систему зі спіном 1, складену з двох частинок зі спіном 1/2. У розд. 4 ми вже навчилися перетворювати амплітуди для спіна 1/2. Ці знання можна застосувати до того, щоб отримати перетворення для спіна 1. Ось як це робиться: є система (атом водню з енергією +А) зі спіном 1. Нехай ми пропустили її крізь фільтр S Штерна — Герлаха так, що знаємо тепер, що вона перебуває в одному з базисних станів стосовно S, скажімо в| +Sy. Яка амплітуда того, що вона опиниться в одному з базисних станів, скажімо | +T>, стосовно приладу T? Якщо ви назвете систему координат приладу S системою х, y, z, то стан | +S> — це те, що недавно називалося станом | + +>. Але уявіть, що якийсь ваш приятель провів свою вісь z уздовж осі T. Він свої стани відноситиме до якоїсь системи х′ , у′, z′ . Його стани «вгору» і «вниз» для електрона і протона відрізнялися б від ваших. Його стан «плюс — плюс», який можна записати | +′ + ′ >, позначаючи «штрихованість» системи, є станом | + T > частинки зі спіном 1. А вас цікавить <+Т | +S>, що є просто іншим способом запису амплітуди <+′ + ′ | + +>.
Амплітуду <+′ + ′ | + +> можна знайти таким чином. У вашій системі спін електрона зі стану | + +> напрямлений угору. Це означає, що в нього є певна амплітуда <+′ | + >e опинитися в системі вашого приятеля спіном угору і певна амплітуда <–′ | + >e опинитися в цій системі спіном униз. Так само, протон у стані ++>. У має спін угору у вашій системі і амплітуди <+′ | + >P і <–′ | + >P опинитися спіном угору або вниз у «штрихованій» системі. Оскільки ми говоримо про дві різні частинки, то амплітуда того, що обидві частинки разом у його системі опиняться спінами вгору, дорівнює добутку амплітуд
В атомі водню ми з вами відшукали систему зі спіном 1, складену з двох частинок зі спіном 1/2. У розд. 4 ми вже навчилися перетворювати амплітуди для спіна 1/2. Ці знання можна застосувати до того, щоб отримати перетворення для спіна 1. Ось як це робиться: є система (атом водню з енергією +А) зі спіном 1. Нехай ми пропустили її крізь фільтр S Штерна — Герлаха так, що знаємо тепер, що вона перебуває в одному з базисних станів стосовно S, скажімо в| +Sy. Яка амплітуда того, що вона опиниться в одному з базисних станів, скажімо | +T>, стосовно приладу T? Якщо ви назвете систему координат приладу S системою х, y, z, то стан | +S> — це те, що недавно називалося станом | + +>. Але уявіть, що якийсь ваш приятель провів свою вісь z уздовж осі T. Він свої стани відноситиме до якоїсь системи х′ , у′, z′ . Його стани «вгору» і «вниз» для електрона і протона відрізнялися б від ваших. Його стан «плюс — плюс», який можна записати | +′ + ′ >, позначаючи «штрихованість» системи, є станом | + T > частинки зі спіном 1. А вас цікавить <+Т | +S>, що є просто іншим способом запису амплітуди <+′ + ′ | + +>.
Амплітуду <+′ + ′ | + +> можна знайти таким чином. У вашій системі спін електрона зі стану | + +> напрямлений угору. Це означає, що в нього є певна амплітуда <+′ | + >e опинитися в системі вашого приятеля спіном угору і певна амплітуда <–′ | + >e опинитися в цій системі спіном униз. Так само, протон у стані ++>. У має спін угору у вашій системі і амплітуди <+′ | + >P і <–′ | + >P опинитися спіном угору або вниз у «штрихованій» системі. Оскільки ми говоримо про дві різні частинки, то амплітуда того, що обидві частинки разом у його системі опиняться спінами вгору, дорівнює добутку амплітуд
Зображення
Ми поставили значки е і р під амплітудами <+′ | +>, щоб було зрозуміло, що ми робимо. Але обидві вони — це просто амплітуди перетворень для частинки зі спіном 1/2, так що насправді — це одні й ті самі числа. Фактично — це ті самі амплітуди, які ми в розд. 4 називали <+T | +S> і які ми навели в табл. 4.1 і 4.2.
Але тепер, однак, нам загрожує плутанина в позначеннях. Треба вміти розрізняти амплітуду < +Т | +S> для частинки зі спіном 1/2 від того, що ми також назвали < +Т | +S>, але для спіна 1—між ними немає нічого спільного! Сподіваюсь, вас не дуже зіб'є з пантелику, якщо ми на деякий час введемо інші позначення амплітуд для спіна 1/2,. Вони наведені в табл. 10.4. Для станів частинок спіна 1 ми, як і раніше, будемо вдаватися до позначень | +S>, | 0 S> і | — S>.
Але тепер, однак, нам загрожує плутанина в позначеннях. Треба вміти розрізняти амплітуду < +Т | +S> для частинки зі спіном 1/2 від того, що ми також назвали < +Т | +S>, але для спіна 1—між ними немає нічого спільного! Сподіваюсь, вас не дуже зіб'є з пантелику, якщо ми на деякий час введемо інші позначення амплітуд для спіна 1/2,. Вони наведені в табл. 10.4. Для станів частинок спіна 1 ми, як і раніше, будемо вдаватися до позначень | +S>, | 0 S> і | — S>.
Зображення
У наших нових позначеннях (10.44) просто перетворюється на
Зображення
Це якраз амплітуда <+T | +S> для спіна 1. Тепер давайте, наприклад, припустимо, що у вашого приятеля система координат, тобто «штрихований» прилад T, повернута навколо вашої осі z на кут φ; тоді з табл. 4.2 отримуємо
Зображення
Отже, з (10.44) амплітуда для спіна 1 виявиться рівною
Зображення
Тепер вам зрозуміло, як ми діятимемо далі.
Але добре було б провести викладки в загальному випадку для всіх станів. Якщо протон і електрон у нашій системі (системі S) обидва дивляться вгору, то амплітуди того, що в іншій системі (системі T) вони будуть в одному з чотирьох можливих станів, дорівнюють
Але добре було б провести викладки в загальному випадку для всіх станів. Якщо протон і електрон у нашій системі (системі S) обидва дивляться вгору, то амплітуди того, що в іншій системі (системі T) вони будуть в одному з чотирьох можливих станів, дорівнюють
Зображення
Потім ми можемо записати стан | ++ > у вигляді такої лінійної комбінації:
Зображення
Але тепер ми помічаємо, що | +′+′> —це стан |+T>, що {| +′–′> + | –′+′>} — це якраз √2, помножений на стан |0T> [див. (10.41)], і що |–′–′>= |–T>. Іншими словами, (10.47) переписується у вигляді
Зображення
S |0 S> справа стоїть трохи складніше, тому що
Зображення
Але кожен зі станів | +– > і | –+ > можна виразити через «штриховані» стани і підставити в суму:
Зображення
Тепер у нас є всі необхідні амплітуди. Коефіцієнти в (10.48), (10.49) і (10.52) — це матричні елементи <jT | iS>. Зведемо їх в одну матрицю:
Зображення
Ми виразили перетворення спіна 1 через амплітуди а, b, с і d перетворення спіна 1/2.
Якщо, наприклад, система T повернута стосовно S на кут α навколо осі y (див. фіг. 3.6, стор. 64), то амплітуди в табл. 10.4 —це просто матричні елементи Ry (α) в табл. 4.2:
Якщо, наприклад, система T повернута стосовно S на кут α навколо осі y (див. фіг. 3.6, стор. 64), то амплітуди в табл. 10.4 —це просто матричні елементи Ry (α) в табл. 4.2:
Зображення
Підставивши їх у (10.53), отримаємо формули (3.38), які наведені на стор. 80 без доведення.
Але що ж сталося зі станом | /V>?! Це система зі спіном нуль; отже, у неї є лише один стан — він у всіх системах координат той самий. Можна перевірити, що все так і виходить, якщо взяти різницю (10.50) і (10.51); отримаємо
Але що ж сталося зі станом | /V>?! Це система зі спіном нуль; отже, у неї є лише один стан — він у всіх системах координат той самий. Можна перевірити, що все так і виходить, якщо взяти різницю (10.50) і (10.51); отримаємо
Зображення
Але (ad — bc) — це визначник матриці для спіна 1/2, він просто дорівнює одиниці. Виходить
Зображення
за будь-якої відносної орієнтації двох систем координат.