Рівні енергії

Тепер ми готові до того, щоб обчислити рівні енергії основного стану водню, розв'язуючи гамільтонові рівняння (10.14). Ми хочемо знайти енергії стаціонарних станів. Це означає, що ми повинні відшукати ті особливі стани | ψ>, для яких кожна з амплітуд, що належать | ψ>, C_i= <i| ψ> має одну й ту саму залежність від часу, а саме е^–iωt. Тоді стан матиме енергію Е=hω. Отже, ми шукаємо сукупність амплітуд, для яких

де четвірка коефіцієнтів a_i не залежить від часу. Щоб побачити, чи можемо ми отримати ці амплітуди, підставимо (10.17) в (10.14) і подивимося, що з цього вийде. Кожне ihdC_i/dt у (10.14) перейде в ЕС_i. І після скорочення на спільний експоненційний множник кожне С_i перетвориться на а_i; отримаємо

Це й потрібно розв'язати для відшукання а₁, а₂, а₃ і a₄. Справді, дуже мило з боку першого рівняння, що воно не залежить від решти, — а це означає, що один розв'язок одразу видно. Якщо обрати Е=A, то

дасть розв'язок. (Звісно, якщо прийняти всі a рівними нулю, то це теж буде розв'язок, але стану він не дасть!) Вважатимемо наш перший розв'язок станом | I>:

Його енергія

Усе це негайно дає ключ до другого  розв'язку, що виходить з останнього рівняння в (10.18):

Цей розв'язок ми назвемо станом |II>:

Далі піде трохи важче; два рівняння, що залишилися, (10.18) переплетені одне з одним. Але ми все це вже робили. Склавши їх, отримаємо

Оглядаючи це поглядом і пригадуючи вже знайомий нам аміак, ми бачимо, що тут є два розв'язки:

Це суміші станів |2> і |3>. Позначаючи їх |III> і |IV> і вставляючи для правильного нормування множник 1/√2, маємо

Ми знайшли четвірку стаціонарних станів і їхні енергії. Зауважте, до речі, що наші чотири стани ортогональні один одному, тож їх теж можна за бажання вважати базисними станами. Наша задача повністю розв'язана.
 
У трьох станів енергія дорівнює A, а в останнього —3А. Середнє дорівнює нулю, а це означає, що коли в (10.5) ми обрали Е₀=0, то тим самим ми вирішили відлічувати всі енергії від їхнього середнього значення. Діаграма рівнів енергії основного стану водню виглядатиме так, як на фіг. 10.2.
 
Різниця в енергіях між станом | IV> і будь-яким з інших дорівнює 4A. Атом, який випадково опиниться в стані |I>, може звідти впасти в стан | IV> і випустити світло: не оптичне світло, бо енергія дуже мала, а мікрохвильовий квант. Або, якщо освітити водневий газ мікрохвилями, ми помітимо поглинання енергії, тому що атоми в стані | IV> будуть його перехоплювати і переходити в один з вищих станів, але все це тільки на частоті ω=4A/h Ця частота була виміряна експериментально; найкращий результат, отриманий порівняно недавно, такий:

Похибка становить лише три стомільярдних! Ймовірно, жодна з фундаментальних фізичних величин не виміряна краще, ніж ця; це один з найвидатніших за точністю вимірювань у фізиці. Теоретики були дуже щасливі, коли їм вдалося обчислити енергію з точністю до 3·10^–5;але на той час вона була виміряна з точністю до 2·10^–11,тобто в мільйон разів точніше, ніж у теорії. Тож експериментатори йдуть далеко попереду теоретиків. У теорії основного стану атома водню і ви, і ми перебуваємо в однаковому становищі. Ви ж теж можете взяти значення A з досліду — і кожному, зрештою, доводиться робити те саме.
 
Ви, ймовірно, вже чули раніше про «21-см лінію» водню. Це і є довжина хвилі спектральної лінії в 1420 МГц між надтонкими станами. Випромінювання з такою довжиною хвилі випускається або поглинається атомарним водневим газом у галактиках. Отже, за допомогою радіотелескопів, налаштованих на хвилі 21 см (або приблизно на 1420 МГц), можна спостерігати швидкості й розташування згущень атомарного водню. Вимірюючи інтенсивність, можна оцінити його кількість. Вимірюючи зсув у частоті, викликаний ефектом Доплера, можна з'ясувати рух газу в галактиці. Це одна з великих програм радіоастрономії. Тож ми з вами зараз ведемо мову про щось дуже реальне, це зовсім не якась штучна задача.