Зеємановське розщеплення

Хоча ми і впорались із задачею відшукання рівнів енергії основного стану водню, ми все ж продовжимо вивчення цієї цікавої системи. Щоб сказати про неї ще щось, наприклад щоб підрахувати швидкість, з якою атом водню поглинає або випускає радіохвилі довжиною 21 см, треба знати, що з ним відбувається, коли він збурений. Треба зробити те, що ми зробили з молекулою аміаку,— після того як ми знайшли рівні енергії, ми пішли далі і з'ясували, що відбувається, коли молекула перебуває в електричному полі. І після цього неважко виявилось уявити собі вплив електричного поля радіохвилі. У випадку атома водню електричне поле нічого з рівнями не робить, хіба що зсуває їх усі на якусь сталу величину, пропорційну квадрату поля, а нам це нецікаво, тому що це не змінює різниць енергій. Цього разу важливе вже магнітне поле. Отже, наступним кроком буде написати гамільтоніан для складнішого випадку, коли атом сидить у зовнішньому магнітному полі.
 
Яким же є цей гамільтоніан? Ми просто повідомимо вам відповідь, тому що ніякого «доведення» дати не можемо, хіба що сказати, що саме так влаштований атом.
 
Гамільтоніан має вигляд

Тепер він складається з трьох частин. Перший член A(σ^e ·σ^p) являє магнітну взаємодію між електроном і протоном; вона така сама, як якби магнітного поля не було. Вплив зовнішнього магнітного поля проявляється в решті двох членах. Другий член (—μ_eσ^e ·В)— це та енергія, якою електрон володів би в магнітному полі, якби він там був один. Точно так само останній член (— μ_pσ^p·В) був би енергією протона-одинака. Згідно з класичною фізикою, енергія їх обох разом була б сумою їхніх енергій; за квантовою механікою це теж правильно. Енергія взаємодії, що виникає через наявність магнітного поля, дорівнює просто сумі енергій взаємодії електрона з магнітним полем і протона з тим самим полем, виражених через оператори сигма. У квантовій механіці ці члени насправді не є енергіями, але звернення до класичних формул для енергії допомагає запам'ятовувати правила написання гамільтоніана. Хай там як, (10.27) — це правильний гамільтоніан.
 
Тепер треба повернутися до початку і розв'язувати всю задачу спочатку. Але більша частина роботи вже зроблена, треба тільки додати ефекти, викликані новими членами. Приймемо, що магнітне поле В стале і напрямлене вздовж z. Тоді до нашого старого гамільтонового оператора H треба додати два нових шматки; позначимо їх H′:

Дивіться, як зручно! Оператор H′, діючи на кожен стан, дає просто число, помножене на цей самий стан. У матриці <i|H′| j> тому є лише діагональні елементи, і можна просто додати коефіцієнти з (10.28) до відповідних діагональних членів у (10.13), так що гамільтонові рівняння (10.14) перетворюються на

Форма рівнянь не змінилася, змінилися тільки коефіцієнти. І поки B не змінюється з часом, можна все робити так  само, як і раніше.
Підставляючи С_i = a_ie^–(i/h)Et, ми отримуємо

На  щастя, перше і четверте рівняння, як і раніше, не залежать від решти, так що знову піде в хід та сама техніка. Один розв'язок — це стан |I>, для якого

Для решти двох рівнянь знадобиться більше роботи, тому що коефіцієнти при а₂ і а₃ вже не рівні один одному. Але зате вони дуже схожі на ту пару рівнянь, яку ми писали для молекули аміаку. Озираючись на рівняння (7.20) і (7.21), можна провести таку аналогію (пам'ятайте, що тамтешні індекси 1 і 2 відповідають тут індексам 2 і 3):

Раніше енергії давалися формулою (7.25), яка мала вигляд

У розд.7 ми звикли називати ці енергії Е_I і E_II, тепер ми їх позначимо Е_III і E_IV

Отже, ми знайшли енергії чотирьох стаціонарних станів атома водню в сталому магнітному полі. Перевіримо наші викладки, для чого спрямуємо B до нуля і подивимось, чи вийдуть ті самі енергії, що й у попередньому параграфі. Ви бачите, що все гаразд. При B=0 енергії Е_I, Е_II і Е_III перетворюються на +A, a E_IV — на –3А. Навіть наша нумерація станів узгоджується з попередньою. Але коли ми ввімкнемо магнітне поле, то кожна енергія почне змінюватися по-своєму. Подивимось, як це відбувається.
 
По-перше, нагадаємо, що в електрона μ_e від'ємне і майже в 1000 разів більше за μ_p, яке додатне. Отже, і μ_e+μ_p, і μ_e–μ_p обидва від'ємні і майже рівні один одному. Позначимо їх  –μ і  –μ′:

(І μ, і μ′ додатні і за величиною майже збігаються з μ_e, яке приблизно дорівнює одному магнетону Бора.) Наша четвірка енергій тоді перетвориться на

Енергія E_I спочатку дорівнює A і лінійно зростає зі зростанням B зі швидкістю μ. Енергія Е_II теж спочатку дорівнює A, але зі зростанням B лінійно спадає, нахил її кривої дорівнює —μ. Зміна цих рівнів з B показана на фіг.10.3. На малюнку показані також графіки енергій Е_III і E_IV. Їхня залежність від B інша. При малих B вони залежать від  B  квадратично; спочатку нахил їх дорівнює нулю, а потім вони починають викривлятися і при великих B наближаються до прямих з нахилом ±μ′, близьким до нахилу E_I і Е_II.
Зсув рівнів енергії атома, викликаний дією магнітного поля, називається ефектом Зеємана. Ми кажемо, що криві на фіг. 10.3 показують зеємановське розщеплення основного стану водню. Коли магнітного поля немає, то просто виходить одна спектральна лінія від надтонкої структури водню. Переходи між станом | IV> і будь-яким із решти трьох відбуваються з поглинанням або випусканням фотона, частота якого дорівнює 1420 Мгц: 1/h, помноженій на різницю енергій 4A. Але коли атом перебуває в магнітному полі В, то ліній виходить набагато більше. Можуть відбуватися переходи між будь-якими двома з чотирьох станів. Отже, якщо ми маємо атоми в усіх чотирьох станах, то енергія може поглинатися (або випромінюватися) у будь-якому з шести переходів, показаних на фіг. 10.4 вертикальними стрілками. Багато з цих переходів можна спостерігати за допомогою техніки молекулярних пучків Рабі, яку ми описували в розд. 35, § 3 (вип.7).
 
Що ж є причиною переходів? Вони виникають, якщо поряд із сильним сталим полем B прикласти мале збурювальне магнітне поле, яке змінюється в часі. Те саме ми спостерігали і при дії змінного електричного поля на молекулу аміаку. Тільки тут винуватець переходів — це магнітне поле, що діє на магнітні моменти. Але теоретичні викладки ті самі, що й у випадку аміаку. Найпростіше вони виходять, якщо взяти збурювальне магнітне поле, що обертається в площині ху, хоча те саме буде від будь-якого осцилювального горизонтального поля. Якщо ви вставите це збурювальне поле як додатковий член у гамільтоніан, то отримаєте розв'язки, в яких амплітуди змінюються в часі, як це було і з молекулою аміаку. Отже, ви зможете легко і акуратно розрахувати ймовірність переходу з одного стану в інший. І виявите, що все це узгоджується з дослідом.