За хвилину ви це дізнаєтеся. Але спершу хочу вам нагадати одну річ: будь-який стан завжди можна подати у вигляді лінійної комбінації базисних станів. Для будь-якого стану |ψ> можна написати
Зображення
Нагадаємо, що повні дужки — це просто комплексні числа, тож їх можна позначити звичайним чином через Ci, де i=1, 2, 3 або 4, і записати (10.2) у вигляді
Зображення
Завдання четвірки амплітуд Сi повністю описує спіновий стан | ψ>. Якщо ця четвірка змінюється в часі (як це й буде насправді), то швидкість зміни в часі дається оператором H. Задача в тому, щоб знайти цей оператор H .
Не існує загального правила, як писати гамільтоніан атомної системи, і відшукання правильної формули вимагає більшого мистецтва, ніж відшукання системи базисних станів. Ми змогли дати вам загальне правило, як записувати систему базисних станів для будь-якої задачі, в якій є протон і електрон, але описати загальний гамільтоніан такої комбінації на цьому рівні занадто важко. Натомість ми підведемо вас до гамільтоніана деякими евристичними міркуваннями, і вам доведеться визнати його правильним, бо результати узгоджуватимуться з експериментальними спостереженнями.
Згадайте, що в попередньому розділі ми змогли описати гамільтоніан окремої частинки зі спіном 1/2, застосувавши сигма-матриці або в точності еквівалентні їм сигма-оператори. Властивості операторів зведено в табл. 10.1.
Не існує загального правила, як писати гамільтоніан атомної системи, і відшукання правильної формули вимагає більшого мистецтва, ніж відшукання системи базисних станів. Ми змогли дати вам загальне правило, як записувати систему базисних станів для будь-якої задачі, в якій є протон і електрон, але описати загальний гамільтоніан такої комбінації на цьому рівні занадто важко. Натомість ми підведемо вас до гамільтоніана деякими евристичними міркуваннями, і вам доведеться визнати його правильним, бо результати узгоджуватимуться з експериментальними спостереженнями.
Згадайте, що в попередньому розділі ми змогли описати гамільтоніан окремої частинки зі спіном 1/2, застосувавши сигма-матриці або в точності еквівалентні їм сигма-оператори. Властивості операторів зведено в табл. 10.1.
Зображення
Ці оператори, що є просто зручним, стислим способом запам'ятовування матричних елементів типу < + | σz |+>, були корисні для опису поведінки окремої частинки зі спіном 1/2. Виникає запитання, чи можна відшукати аналогічний засіб для опису системи з двома спінами. Так, і дуже просто. Ось дивіться. Ми винайдемо річ, яку назвемо «електрон-сигма» і яку будемо подавати векторним оператором σe з трьома компонентами σxe, σye і σze. Далі домовимося, що коли один з них діє на якийсь із наших чотирьох базисних станів атома водню, то він діє тільки на спін електрона, причому так, ніби електрон був сам по собі. Приклад: чому дорівнює σye | –+>? Оскільки σy , діючи на електрон зі спіном вниз, дає —i, помножене на стан з електроном, у якого спін вгору, то
Зображення
(Коли σye діє на комбінований стан, він перевертає електрон, не зачіпаючи протон, і множить результат на —i.) Діючи на інші стани, σye дасть
Зображення
Нагадаємо ще раз, що оператор σe діє тільки на перший спіновий символ, тобто на спін електрона.
Тепер визначимо відповідний оператор «протон-сигма» для спіна протона. Три його компоненти σxp, σyp, σzp діють так само, як і σe, але тільки на протонний спін. Наприклад, якщо σxp діятиме на кожен з чотирьох базисних станів, то вийде (знову за допомогою табл. 10.1)
Тепер визначимо відповідний оператор «протон-сигма» для спіна протона. Три його компоненти σxp, σyp, σzp діють так само, як і σe, але тільки на протонний спін. Наприклад, якщо σxp діятиме на кожен з чотирьох базисних станів, то вийде (знову за допомогою табл. 10.1)
Зображення
Як бачите, нічого важкого.
У загальному випадку можуть трапитися речі й складніші. Наприклад, добуток операторів σye σze. Коли є такий добуток, то спершу робиться те, чого хоче правий оператор, а потім — чого вимагає лівий. Наприклад,
У загальному випадку можуть трапитися речі й складніші. Наприклад, добуток операторів σye σze. Коли є такий добуток, то спершу робиться те, чого хоче правий оператор, а потім — чого вимагає лівий. Наприклад,
Зображення
Зауважте, що ці оператори з числами нічого не роблять; ми скористалися цим, коли писали σex (— 1)=(— 1) σex. Ми говоримо, що оператори «комутують» із числами або що числа «можна протягти» крізь оператор. Попрактикуйтеся і покажіть, що добуток σexσpz дає для чотирьох станів такий результат:
Зображення
Якщо перебрати всі допустимі оператори, кожен по разу, то всього може бути 16 можливостей. Так, шістнадцять, якщо включити ще «одиничний оператор» 1. По-перше, є трійка σex, σey, σez, потім трійка σpx, σpy, σpz, разом шість. Крім того, є дев'ять добутків вигляду σex σpy разом 15. І ще одиничний оператор, що залишає всі стани неторкнутими. Оце й усі шістнадцять!
Зауважте тепер, що для системи з чотирма станами матриця Гамільтона має являти собою матрицю коефіцієнтів 4x4, у ній буде 16 чисел. Легко показати, що будь-яка матриця 4x4, і зокрема матриця Гамільтона, може бути записана у вигляді лінійної комбінації шістнадцяти подвійних спінових матриць, що відповідають системі операторів, яку ми щойно склали. Тому для взаємодії між протоном і електроном, у яку входять тільки їхні спіни, ми можемо очікувати, що оператор Гамільтона може бути записаний у вигляді лінійної комбінації тих самих 16 операторів. Питання лише в тому, як.
Але, по-перше, ми знаємо, що взаємодія не залежить від нашого вибору осей для системи координат. Якщо немає зовнішнього збурення — чогось на кшталт магнітного поля, що виділяє якийсь напрямок у просторі,— то гамільтоніан не може залежати від нашого вибору напрямків осей х, у і z. Це означає, що в гамільтоніані не може бути таких членів, як σex сам по собі. Це виглядало б безглуздо, бо хтось в іншій системі координат прийшов би до інших результатів.
Єдино можливі тільки член з одиничною матрицею, скажімо стала a (помножена на 1), і якась комбінація сигм, що не залежить від координат, якась «інваріантна» комбінація. Єдина скалярна інваріантна комбінація з двох векторів — це їхній скалярний добуток, який для наших сигм має вигляд
Зауважте тепер, що для системи з чотирма станами матриця Гамільтона має являти собою матрицю коефіцієнтів 4x4, у ній буде 16 чисел. Легко показати, що будь-яка матриця 4x4, і зокрема матриця Гамільтона, може бути записана у вигляді лінійної комбінації шістнадцяти подвійних спінових матриць, що відповідають системі операторів, яку ми щойно склали. Тому для взаємодії між протоном і електроном, у яку входять тільки їхні спіни, ми можемо очікувати, що оператор Гамільтона може бути записаний у вигляді лінійної комбінації тих самих 16 операторів. Питання лише в тому, як.
Але, по-перше, ми знаємо, що взаємодія не залежить від нашого вибору осей для системи координат. Якщо немає зовнішнього збурення — чогось на кшталт магнітного поля, що виділяє якийсь напрямок у просторі,— то гамільтоніан не може залежати від нашого вибору напрямків осей х, у і z. Це означає, що в гамільтоніані не може бути таких членів, як σex сам по собі. Це виглядало б безглуздо, бо хтось в іншій системі координат прийшов би до інших результатів.
Єдино можливі тільки член з одиничною матрицею, скажімо стала a (помножена на 1), і якась комбінація сигм, що не залежить від координат, якась «інваріантна» комбінація. Єдина скалярна інваріантна комбінація з двох векторів — це їхній скалярний добуток, який для наших сигм має вигляд
Зображення
Цей оператор інваріантний щодо будь-якого повороту системи координат. Отже, єдина можливість для гамільтоніана з відповідною симетрією в просторі — це стала, помножена на одиничну матрицю, плюс стала, помножена на цей скалярний добуток, тобто
Зображення
Це і є наш гамільтоніан. Це єдине, чому, виходячи із симетрії в просторі, він може дорівнювати, поки немає зовнішнього поля. Сталий член нам багато не скаже; він просто залежить від рівня, який ми обрали для відліку енергій. З рівним успіхом можна було прийняти E0=0. А другий член розповість нам про все, що потрібно для того, щоб знайти розщеплення рівнів у водні.
Якщо завгодно, можна міркувати про гамільтоніан інакше. Якщо поблизу один від одного перебувають два магніти з магнітними моментами μe і μp, то їхня взаємна енергія залежить, крім усього іншого, і від μe·μp. А ми, як ви пам'ятаєте, з'ясували, що та річ, яку ми в класичній фізиці називали μe, у квантовій механіці виступає під іменем μeσe. Подібним же чином те, що в класичній фізиці виглядає як μp, у квантовій механіці зазвичай виявляється рівним μрσp (де μp— магнітний момент протона, який майже в 1000 разів менший за μe і має протилежний знак). Отже, (10.5) стверджує, що енергія взаємодії подібна до взаємодії двох магнітів, але не до кінця, бо взаємодія двох магнітів залежить від відстані між ними. Але (10.5) можна вважати (і насправді вона є) своєрідною середньою взаємодією. Електрон якось рухається всередині атома, і наш гамільтоніан дає лише середню енергію взаємодії. Загалом усе це говорить про те, що для приписаного розташування електрона і протона в просторі існує енергія, пропорційна косинусу кута між двома магнітними моментами (виражаючись класично). Така класична якісна картина може допомогти вам зрозуміти, звідки все виходить, але єдине, що важливо при цьому, — те, що (10.5) — це правильна квантовомеханічна формула.
Порядок величини класичної взаємодії між двома магнітами мав би даватися добутком двох магнітних моментів, поділеним на куб відстані між ними. Відстань між електроном і протоном в атомі водню, грубо кажучи, дорівнює половині атомного радіуса, тобто 0,5 Å. Тому можна приблизно прикинути, що стала A повинна дорівнювати добутку магнітних моментів μe і μp, поділеному на куб половини ангстрема. Таке пристрілювання приводить до чисел, що потрапляють якраз у потрібний район. Але виявляється, що A можна підрахувати й точніше, варто лише розібратися в повній теорії атома водню, що нам поки що не під силу. Насправді A було підраховано з точністю до 30 мільйонних. Як бачите, на відміну від сталої перекидання A молекули аміаку, яку за теорією неможливо добре підрахувати, наша стала A для водню може бути розрахована з докладнішої теорії. Але нічого не вдієш, нам для наших теперішніх цілей доведеться вважати A числом, яке може бути визначене з досліду, і аналізувати фізику справи.
Узявши гамільтоніан (10.5), можна підставити його в рівняння
Якщо завгодно, можна міркувати про гамільтоніан інакше. Якщо поблизу один від одного перебувають два магніти з магнітними моментами μe і μp, то їхня взаємна енергія залежить, крім усього іншого, і від μe·μp. А ми, як ви пам'ятаєте, з'ясували, що та річ, яку ми в класичній фізиці називали μe, у квантовій механіці виступає під іменем μeσe. Подібним же чином те, що в класичній фізиці виглядає як μp, у квантовій механіці зазвичай виявляється рівним μрσp (де μp— магнітний момент протона, який майже в 1000 разів менший за μe і має протилежний знак). Отже, (10.5) стверджує, що енергія взаємодії подібна до взаємодії двох магнітів, але не до кінця, бо взаємодія двох магнітів залежить від відстані між ними. Але (10.5) можна вважати (і насправді вона є) своєрідною середньою взаємодією. Електрон якось рухається всередині атома, і наш гамільтоніан дає лише середню енергію взаємодії. Загалом усе це говорить про те, що для приписаного розташування електрона і протона в просторі існує енергія, пропорційна косинусу кута між двома магнітними моментами (виражаючись класично). Така класична якісна картина може допомогти вам зрозуміти, звідки все виходить, але єдине, що важливо при цьому, — те, що (10.5) — це правильна квантовомеханічна формула.
Порядок величини класичної взаємодії між двома магнітами мав би даватися добутком двох магнітних моментів, поділеним на куб відстані між ними. Відстань між електроном і протоном в атомі водню, грубо кажучи, дорівнює половині атомного радіуса, тобто 0,5 Å. Тому можна приблизно прикинути, що стала A повинна дорівнювати добутку магнітних моментів μe і μp, поділеному на куб половини ангстрема. Таке пристрілювання приводить до чисел, що потрапляють якраз у потрібний район. Але виявляється, що A можна підрахувати й точніше, варто лише розібратися в повній теорії атома водню, що нам поки що не під силу. Насправді A було підраховано з точністю до 30 мільйонних. Як бачите, на відміну від сталої перекидання A молекули аміаку, яку за теорією неможливо добре підрахувати, наша стала A для водню може бути розрахована з докладнішої теорії. Але нічого не вдієш, нам для наших теперішніх цілей доведеться вважати A числом, яке може бути визначене з досліду, і аналізувати фізику справи.
Узявши гамільтоніан (10.5), можна підставити його в рівняння
Зображення
і подивитися, що робить спінова взаємодія з рівнями енергії. Для цього треба підрахувати шістнадцять матричних елементів Hij= <i | H | j>, що відповідають будь-якій парі з чотирьох базисних станів (10.1).
Почнемо з того, що підрахуємо, чому дорівнює H | j> для кожного з чотирьох базисних станів. Наприклад,
Почнемо з того, що підрахуємо, чому дорівнює H | j> для кожного з чотирьох базисних станів. Наприклад,
Зображення
Користуючись способом, описаним трохи раніше (згадайте табл. 10.1, вона дуже полегшить справу), ми знайдемо, що кожна пара σ робить з |++ >. Відповідь така:
Зображення
Отже, (10.7) перетворюється в
Зображення
А оскільки всі наші чотири базисних стани ортогональні, то це негайно приводить до
Зображення
Пам'ятаючи, що <j|H | i> = <i |H |j>, ми одразу зможемо написати диференціальне рівняння для амплітуди С1:
Зображення
Оце й усе! Тільки один член.
Щоб тепер отримати рівняння Гамільтона, що залишилися, ми повинні терпляче пройти через ті самі процедури з H, що діє на інші стани. По-перше, попрактикуйтеся в перевірці того, що всі добутки сигм у табл. 10.2 написані правильно. Потім за їхньою допомогою отримайте
Щоб тепер отримати рівняння Гамільтона, що залишилися, ми повинні терпляче пройти через ті самі процедури з H, що діє на інші стани. По-перше, попрактикуйтеся в перевірці того, що всі добутки сигм у табл. 10.2 написані правильно. Потім за їхньою допомогою отримайте
Зображення
Зображення
І тоді, множачи їх усі по черзі зліва на всі інші вектори станів, ми отримуємо таку гамільтонову матрицю Hij:
Зображення
Це, звісно, означає, що диференціальні рівняння для чотирьох амплітуд Сi мають вигляд
Зображення
Але перш ніж перейти до їх розв'язання, важко утриматися від того, щоб не розповісти вам про одне розумне правило, яке вивів Дірак. Воно допоможе вам відчути, як багато ви вже знаєте, хоча нам у нашій роботі воно й не знадобиться. З рівнянь (10.9) і (10.12) ми маємо
Зображення
«Погляньте, — сказав Дірак, — перше і останнє рівняння я можу записати також у вигляді
Зображення
і тоді всі вони стануть схожими. Тепер я вигадаю новий оператор, який позначу Рспін.обмін і який, за визначенням, матиме такі властивості:
Зображення
Цей оператор, як бачите, тільки обмінює напрямки спіна в двох частинок. Тоді всю систему рівнянь (10.15) я можу написати як одне просте операторне рівняння:
Зображення
Це і є формула Дірака. Оператор обміну спінами дає зручне правило для запам'ятовування σe ·σp . (Як бачите, ви тепер уже все вмієте робити. Для вас усі двері відкриті.)