У цьому розділі ми займемося «надтонким розщепленням» водню — цікавим прикладом того, що ми вже здатні робити за допомогою квантової механіки. Тут у нас будуть уже не два стани, а більше. Повчальність цього прикладу в тому, що він познайомить нас із методами квантової механіки, які застосовуються у складніших задачах. Сам по собі цей приклад достатньо складний, і щойно ви зрозумієте, як із ним упоратися, вам одразу стане зрозуміло, як узагальнити його на інші можливі задачі.
Як відомо, атом водню складається з електрона і протона; електрон сидить неподалік від протона і може перебувати в одному з багатьох дискретних енергетичних станів, у кожному з яких його картина руху інша. Так, перший збуджений стан лежить на 3/4 рідберга, або на 10 еВ, вище основного стану. Але навіть так званий основний стан водню насправді не є окремим станом з визначеною енергією, бо в електрона і в протона є спіни. Саме ці спіни й відповідальні за «надтонку структуру» в рівнях енергії, яка розщеплює всі рівні енергії на декілька майже однакових рівнів.
Спін електрона може бути спрямований або вгору, або вниз; у протона теж його власний спін може дивитися вгору або вниз. Тому на кожен динамічний стан атома припадають чотири можливих спінових стани. Інакше кажучи, коли фізик говорить про «основний стан» водню, він насправді має на увазі «чотири основних стани», а не просто найнижчий з них. У чотирьох спінових станів енергія не зовсім однакова; є невеликі зсуви стосовно того, що спостерігалося б за відсутності спінів. Ці зсуви, однак, у багато-багато разів менші, ніж ті 10 еВ, що лежать між основним станом і наступним, вищим станом.
У підсумку енергія кожного динамічного стану розщеплена на низку дуже тісних рівнів — це так зване надтонке розщеплення.
Різниці енергій чотирьох спінових станів — це і є те, що ми хочемо розрахувати в цьому розділі. Надтонке розщеплення викликається взаємодією магнітних моментів електрона і протона; воно приводить для кожного спінового стану до трохи відмінних магнітних енергій. Ці зсуви енергії становлять лише близько десятимільйонної частки електрон-вольта, що й справді набагато менше 10 еВ!
Саме через такий великий проміжок основний стан водню ми вправі вважати «чотирирівневою системою», не переймаючись тим, що насправді при вищих енергіях станів набагато більше. Ми маємо намір обмежитися тут вивченням надтонкої структури тільки основного стану атома водню.
Для наших цілей нам не важливі різні деталі розташування електрона і протона, тому що всі вони, так би мовити, вже вироблені атомом, усі вони вийшли самі собою, коли атом потрапив в основний стан. Досить знати лише, що електрон і протон перебувають неподалік один від одного, у якомусь певному просторовому співвідношенні. Крім того, у них можуть бути всілякі взаємні орієнтації спінів. І ми хочемо розглянути тільки спінові ефекти.
Перше запитання, на яке треба відповісти: якими є базисні стани для цієї системи? Але це запитання поставлене неправильно. Такої речі, як єдиний базис, не існує, і будь-яка система базисних станів, яку ви оберете, не буде єдиною. Завжди можна скласти нові системи з лінійних комбінацій старої. Для базисних станів завжди є безліч виборів, і всі вони однаково законні.
Отже, треба запитувати не «який базис?», а «яким його можна обрати?». І обрати ви вправі будь-який, аби вам було зручно.
Зазвичай найкраще починати з базису, який фізично найбільш очевидний. Він не обов'язково має розв'язувати якусь задачу чи бути безпосередньо важливим у якомусь відношенні, ні, він загалом повинен лише полегшувати розуміння того, що відбувається.
Ми обираємо такі базисні стани:
Стан 1. І в електрона, і в протона спіни дивляться вгору.
Стан 2. В електрона спін дивиться вгору, а в протона— вниз.
Стан 3. В електрона спін дивиться вниз, а в протона — вгору.
Стан 4. І в електрона, і в протона спіни дивляться вниз.
Для короткого запису цих чотирьох станів введемо такі позначення:
Як відомо, атом водню складається з електрона і протона; електрон сидить неподалік від протона і може перебувати в одному з багатьох дискретних енергетичних станів, у кожному з яких його картина руху інша. Так, перший збуджений стан лежить на 3/4 рідберга, або на 10 еВ, вище основного стану. Але навіть так званий основний стан водню насправді не є окремим станом з визначеною енергією, бо в електрона і в протона є спіни. Саме ці спіни й відповідальні за «надтонку структуру» в рівнях енергії, яка розщеплює всі рівні енергії на декілька майже однакових рівнів.
Спін електрона може бути спрямований або вгору, або вниз; у протона теж його власний спін може дивитися вгору або вниз. Тому на кожен динамічний стан атома припадають чотири можливих спінових стани. Інакше кажучи, коли фізик говорить про «основний стан» водню, він насправді має на увазі «чотири основних стани», а не просто найнижчий з них. У чотирьох спінових станів енергія не зовсім однакова; є невеликі зсуви стосовно того, що спостерігалося б за відсутності спінів. Ці зсуви, однак, у багато-багато разів менші, ніж ті 10 еВ, що лежать між основним станом і наступним, вищим станом.
У підсумку енергія кожного динамічного стану розщеплена на низку дуже тісних рівнів — це так зване надтонке розщеплення.
Різниці енергій чотирьох спінових станів — це і є те, що ми хочемо розрахувати в цьому розділі. Надтонке розщеплення викликається взаємодією магнітних моментів електрона і протона; воно приводить для кожного спінового стану до трохи відмінних магнітних енергій. Ці зсуви енергії становлять лише близько десятимільйонної частки електрон-вольта, що й справді набагато менше 10 еВ!
Саме через такий великий проміжок основний стан водню ми вправі вважати «чотирирівневою системою», не переймаючись тим, що насправді при вищих енергіях станів набагато більше. Ми маємо намір обмежитися тут вивченням надтонкої структури тільки основного стану атома водню.
Для наших цілей нам не важливі різні деталі розташування електрона і протона, тому що всі вони, так би мовити, вже вироблені атомом, усі вони вийшли самі собою, коли атом потрапив в основний стан. Досить знати лише, що електрон і протон перебувають неподалік один від одного, у якомусь певному просторовому співвідношенні. Крім того, у них можуть бути всілякі взаємні орієнтації спінів. І ми хочемо розглянути тільки спінові ефекти.
Перше запитання, на яке треба відповісти: якими є базисні стани для цієї системи? Але це запитання поставлене неправильно. Такої речі, як єдиний базис, не існує, і будь-яка система базисних станів, яку ви оберете, не буде єдиною. Завжди можна скласти нові системи з лінійних комбінацій старої. Для базисних станів завжди є безліч виборів, і всі вони однаково законні.
Отже, треба запитувати не «який базис?», а «яким його можна обрати?». І обрати ви вправі будь-який, аби вам було зручно.
Зазвичай найкраще починати з базису, який фізично найбільш очевидний. Він не обов'язково має розв'язувати якусь задачу чи бути безпосередньо важливим у якомусь відношенні, ні, він загалом повинен лише полегшувати розуміння того, що відбувається.
Ми обираємо такі базисні стани:
Стан 1. І в електрона, і в протона спіни дивляться вгору.
Стан 2. В електрона спін дивиться вгору, а в протона— вниз.
Стан 3. В електрона спін дивиться вниз, а в протона — вгору.
Стан 4. І в електрона, і в протона спіни дивляться вниз.
Для короткого запису цих чотирьох станів введемо такі позначення:
Зображення
Пам'ятайте, що перший знак плюс або мінус стосується електрона, другий — протона. Щоб ці позначення були у вас під рукою, вони зведені на фіг. 10.1. Часом буде зручніше позначати ці стани |1>, | 2>, |3> і | 4>.Ви можете сказати: «Але частинки взаємодіють, і, можливо, ці стани зовсім не є правильними базисними станами. Виходить, ніби ви розглядаєте обидві частинки незалежно». Так, справді! Взаємодія ставить перед нами запитання: який гамільтоніан системи? Але запитання про те, як описати систему, не стосується взаємодії. Що б ми не обрали як базис, це ніяк не пов'язано з тим, що станеться потім. Може виявитися, що атом не здатний залишатися в одному з цих базисних станів, навіть якщо з нього все й почалося. Але це інше запитання. Це запитання про те, як з часом змінюються амплітуди в обраному (фіксованому) базисі. Обираючи базисні стани, ми просто обираємо «одиничні вектори» для нашого опису.
Раз уже ми торкнулися цього, кинемо погляд на загальну проблему відшукання сукупності базисних станів, коли є не одна частинка, а більше. Ви знаєте базисні стани для однієї частинки. Електрон, наприклад, повністю описується в реальному житті (не в наших спрощених випадках, а в реальному житті) заданням амплітуд перебування в одному з таких станів:
I Електрон зі спіном угору з імпульсом р>
або
|Електрон зі спіном униз з імпульсом р>.
Насправді існують дві нескінченні сукупності станів, по одній на кожне значення р. Отже, сказати, що електронний стан | ψ> описано повністю, можна лише тоді, коли ви знаєте всі амплітуди
Зображення
де + і — представляють компоненти моменту кількості руху вздовж якоїсь осі, зазвичай осі z, а p — вектор імпульсу. Отже, для кожного мислимого імпульсу мають бути дві амплітуди (двічі нескінченна сукупність базисних станів). Оце й усе, що потрібно для опису окремої частинки.
Таким же чином можуть бути написані базисні стани, коли частинок не одна, а більше. Наприклад, якщо треба було б розглянути електрон і протон у складнішому, ніж у нас, випадку, то базисні стани могли б бути такими:
Таким же чином можуть бути написані базисні стани, коли частинок не одна, а більше. Наприклад, якщо треба було б розглянути електрон і протон у складнішому, ніж у нас, випадку, то базисні стани могли б бути такими:
Зображення
І так далі для інших спінових комбінацій. Якщо частинок більше двох, ідея залишається та сама. Тож ви бачите, що розписати можливі базисні стани насправді дуже легко. Питання лише в тому, який гамільтоніан.
Нам для вивчення основного стану водню немає потреби застосовувати повні сукупності базисних станів для різних імпульсів. Ми обумовлюємо і фіксуємо певні імпульсні стани протона й електрона, коли вимовляємо слова «основний стан». Деталі конфігурації — амплітуди для всіх імпульсних базисних станів — можна розрахувати, але це вже інша задача. А ми зараз торкаємося лише впливу спіна, тож обмежимося тільки чотирма базисними станами (10.1). Чергове запитання таке: який гамільтоніан для цієї сукупності станів?
Нам для вивчення основного стану водню немає потреби застосовувати повні сукупності базисних станів для різних імпульсів. Ми обумовлюємо і фіксуємо певні імпульсні стани протона й електрона, коли вимовляємо слова «основний стан». Деталі конфігурації — амплітуди для всіх імпульсних базисних станів — можна розрахувати, але це вже інша задача. А ми зараз торкаємося лише впливу спіна, тож обмежимося тільки чотирма базисними станами (10.1). Чергове запитання таке: який гамільтоніан для цієї сукупності станів?