Стани з двома бозе-частинками

Тепер ми хотіли б обговорити цікавий наслідок із правила додавання для бозе-частинок. Він стосується поведінки цих частинок, коли їх не одна, а декілька. Почнемо з розгляду випадку розсіяння двох бозе-частинок на двох різних розсіювачах. Нас цікавлять не деталі механізму розсіяння, а лише одне: що відбувається з розсіяними частинками. Нехай перед нами випадок, показаний на фіг. 2.3. Частинка a, розсіявшись, опинилася в стані 1. Під станом ми розуміємо даний напрямок і енергію або якісь інші задані умови. Частинка b розсіялася в стан 2. Припустимо, що стани 1 і 2 майже однакові. (Насправді ж ми хотіли б отримати амплітуду того, що дві частинки розсіялися в одному й тому самому напрямку або в один і той самий стан, але краще буде, якщо ми спершу подумаємо над тим, що станеться, якщо стани будуть майже однаковими, а потім виведемо звідси, що буває при їхньому повному збігу.)
 
Нехай у нас була б тільки частинка a; тоді в неї була б певна амплітуда розсіяння в напрямку 1, скажімо <1 | a>. А частинка b сама по собі мала б амплітуду <2 | b> того, що приземлення відбудеться в напрямку 2. Якщо частинки не тотожні, то амплітуда того, що в один і той самий час відбудуться обидва розсіяння, дорівнює просто добутку

Імовірність же такої події тоді дорівнює

що також дорівнює

скоротити запис, ми іноді покладатимемо

Тоді ймовірність подвійного розсіяння є

Могло б також статися, що частинка b розсіялася в напрямку 1, а частинка a — у напрямку 2. Амплітуда такого процесу дорівнювала б

а ймовірність такої події дорівнює

Уявімо собі тепер, що є пара крихітних лічильників, які ловлять розсіяні частинки. Ймовірність Р₂ того, що вони зафіксують одразу обидві частинки, дорівнює просто

Покладемо тепер, що напрямки 1 і 2 дуже близькі. Вважатимемо, що a зі зміною напрямку змінюється плавно, тоді a₁і а₂ при зближенні напрямків 1 і 2 повинні наближатися одна до одної. При достатньому зближенні амплітуди a₁ і а₂ зрівняються, і можна буде покласти а₁ = а₂ і позначити кожну з них просто a; так само точно ми покладемо і b₁ = b₂ = b. Тоді отримаємо

Тепер, однак, припустимо, що а і b — тотожні бозе-частинки. Тоді процес переходу a в стан 1, а b у стан 2 не можна буде відрізнити від обмінного процесу, в якому b переходить у 2, а а — в 1. У цьому випадку амплітуди двох різних процесів можуть інтерферувати. Повна амплітуда того, що в кожному з лічильників з'явиться по частинці, дорівнює

і ймовірність того, що ними буде зареєстрована пара, дається квадратом модуля цієї амплітуди:

У підсумку виявляється, що вдвічі ймовірніше виявити дві ідентичні бозе-частинки, розсіяні в один і той самий стан, порівняно з розрахунком, що проводиться в припущенні, що частинки різні.
 
Хоча ми вважали, що частинки спостерігаються двома різними лічильниками,— це несуттєво. У цьому можна переконатися так. Уявімо собі, що обидва напрямки 1 і 2 привели б частинки в один і той самий маленький лічильник, який перебуває на якійсь відстані. Ми визначимо напрямок 1, кажучи, що він дивиться в елемент поверхні dS₁ лічильника. Напрямок же 2 дивиться в елемент поверхні dS₂ лічильника. (Вважається, що лічильник являє собою поверхню, поперечну до лінії розсіяння.) Тепер уже не можна говорити про ймовірність того, що частинка спрямується точно в якомусь напрямку або в певну точку простору. Це неможливо — шанс зареєструвати будь-який фіксований напрямок дорівнює нулю. Якщо вже нам хочеться точності, то потрібно так визначити наші амплітуди, щоб вони давали ймовірність потрапляння на одиницю площі лічильника. Нехай у нас була б лише одна частинка a; вона мала б певну амплітуду розсіяння в напрямку 1. Нехай <1 | a > = а₁ визначається як амплітуда того, що a розсіється в одиницю площі лічильника, розташованого в напрямку 1. Іншими словами, ми обираємо масштаб а₁ і кажемо, що вона «нормована» так, що ймовірність того, що a розсіється в елемент площі dS₁ дорівнює

Якщо вся площа нашого лічильника ΔS і ми змусимо dS₁ мандрувати цією площею, то повна ймовірність того, що частинка a розсіється в лічильник, буде

Як і раніше, ми хочемо вважати лічильник настільки малим, що амплітуда а₁ на його поверхні не дуже змінюється; отже, a₁ буде сталим числом, і ми позначимо його через a. Тоді ймовірність того, що частинка a розсіялася кудись у лічильник, дорівнює

Таким самим способом ми дійдемо висновку, що частинка b (коли вона одна) розсіюється в елемент площі dS₂ з ймовірністю

(Ми говоримо dS₂, а не dS₁ розраховуючи на те, що пізніше частинкам а і b буде дозволено рухатися в різних напрямках.) Знову покладемо b₂ рівним сталій амплітуді b; тоді ймовірність того, що частинка b буде зареєстрована лічильником, дорівнює

Коли ж є дві частинки, то ймовірність розсіяння a в dS₁ і b в dS₂ буде

Якщо нам потрібна ймовірність того, що обидві частинки (і a, і b) потрапили в лічильник, ми повинні будемо проінтегрувати dS₁ і dS₂ по всій площі ΔS; отримаємо

Зазначимо, до речі, що це дорівнює просто р_a·р_b точнісінько так, якби ми припустили, що частинки a і b діють незалежно одна від одної.
 
Однак, коли дві частинки тотожні, є дві невідрізнювані можливості для кожної пари елементів поверхні dS₁ і dS₂. Частинка a, що потрапляє в dS₂, і частинка b, що потрапляє в dS₁, невідрізнювані від а в dS₁ і від b у dS₂, так що амплітуди цих процесів будуть інтерферувати. (Коли в нас були дві різні частинки, то, хоча ми насправді не дбали про те, яка з них куди потрапляє в лічильнику, ми все ж у принципі могли це дізнатися; тому інтерференції не було. А для тотожних частинок ми й у принципі не можемо цього зробити.) Ми повинні тоді записати, що ймовірність того, що пара частинок опиниться в dS₁ і dS₂, є

Однак зараз, інтегруючи по поверхні лічильника, потрібно бути обережним. Пустивши dS₁ і dS₂ мандрувати всією площею ΔS, ми порахували б кожну частину площі двічі, оскільки в (2.13) входить усе, що може статися  з кожною парою елементів поверхні dS₁ і dS₂. Але інтеграл можна все ж підрахувати, якщо врахувати подвійний рахунок, поділивши результат навпіл. Тоді ми отримаємо, що Р₂  для тотожних бозе-частинок є

І знову це рівно вдвічі більше того, що ми отримали в (2.12) для різних частинок.
 
Якщо уявити на мить, що ми звідкись знали, що канал b уже надіслав свою частинку у своєму напрямку, то можна сказати, що ймовірність того, що друга частинка спрямується в той самий бік, удвічі більша за те, чого можна було б очікувати, якби ми вважали цю подію незалежною. Така вже властивість бозе-частинок, що якщо є одна частинка за якихось умов, то ймовірність помістити за тих самих умов другу вдвічі більша, ніж якби першої там не було. Цей факт часто формулюють так: якщо вже є одна бозе-частинка в даному стані, то амплітуда того, що туди ж, їй на голову, можна буде помістити другу, у √2 раза більша, ніж якби першої там не було. (Це невідповідний спосіб формулювати результат із того фізичного погляду, який ми обрали, але, якщо це правило послідовно застосовувати, воно все ж приводить до правильного результату.)