Стани з n бозе-частинками

Поширимо наш результат на той випадок, коли є n частинок. Уявімо собі випадок, зображений на фіг. 2.4. Є n частинок а, b, с, . . . , які розсіюються в напрямках 1, 2, 3, . . . , n. Усі n напрямків дивляться в невеликий лічильник, що стоїть десь осторонь. Як і в попередньому параграфі, виберемо нормування всіх амплітуд так, щоб імовірність того, що кожна частинка, діючи окремо, потрапить в елемент поверхні dS лічильника, дорівнювала

Спершу припустимо, що всі частинки розрізнювані, тоді ймовірність того, що n частинок будуть одночасно зареєстровані в n різних елементах поверхні, дорівнюватиме

Знову приймемо, що амплітуди не залежать від того, де в лічильнику розташований елемент dS (він вважається малим), і позначимо їх просто а, b, с, ... . Імовірність (2.15) перетвориться на

Прогнавши кожен елемент dS по всій поверхні ΔS лічильника, дістаємо, що Р_n(різні)— імовірність одночасно зареєструвати n різних частинок — дорівнює

Це просто добуток імовірностей влучень у лічильник кожної з частинок окремо. Усі вони діють незалежно — імовірність влучити для однієї з них не залежить від того, скільки інших туди влучило.
 
Тепер припустимо, що всі ці частинки — ідентичні бозе-частинки. Для кожної сукупності напрямків 1, 2, 3, ... існує багато нерозрізнюваних можливостей. Якби, скажімо, частинок було лише три, з'явилися б такі можливості:

Виникає шість різних комбінацій. А якщо частинок n, то буде n! різних, хоча й не відмінних одна від одної, комбінацій; їхні амплітуди належить складати. Імовірність того, що n частинок будуть зареєстровані в n елементах поверхні, тоді дорівнюватиме

І знову ми припустимо, що всі напрямки настільки близькі один до одного, що можна буде покласти a₁ = а₂ = . . . . . . =а_n = а  і те саме зробити з b, с, . . . ; імовірність (2.18) перетвориться на

Коли кожен елемент dS прогонюють по площі ΔS лічильника, то будь-який мислимий добуток елементів поверхні враховується n! разів; урахуємо це, поділивши на n!, і отримаємо

Порівнюючи це з (2.17), бачимо, що ймовірність спільної реєстрації n бозе-частинок у n!  разів більша, ніж вийшло б за припущення, що всі частинки розрізнювані. Усе це можна підсумувати так:

Отже, ймовірність у випадку бозе-частинок у n! разів більша, ніж ви отримали б, вважаючи, що частинки діяли незалежно. Ми краще зрозуміємо, що це означає, якщо запитаємо: чому дорівнює ймовірність того, що бозе-частинка перейде в деякий стан, у якому вже перебувають n інших частинок? Позначимо додану частинку буквою w. Якщо всього, включно з w, є (n + 1) частинок, то (2.20) перетворюється на

Цей результат можна витлумачити так. Число | w | ²ΔS — це ймовірність отримати в лічильник частинку w, якщо жодних інших частинок немає; Р_n(бозе) — це шанс того, що там уже є n інших бозе-частинок. Отже, (2.23) каже нам, що коли у нас уже є n інших ідентичних одна одній бозе-частинок, то ймовірність того, що ще одна частинка прийде в той самий стан, посилюється в (n + 1) разів. Імовірність отримати ще один бозон там, де вже є їх n штук, у (n + 1) разів більша за ту, яка була б, якби там раніше нічого не було. Наявність інших частинок збільшує ймовірність отримати ще одну.