У попередньому розділі ми почали розглядати особливі правила, за якими відбувається інтерференція в процесах із двома тотожними частинками. Тотожними ми вважаємо такі частинки, які, подібно до електронів, ніяк неможливо відрізнити одну від одної. Якщо в процесі є дві тотожні частинки, то заміна тієї, яка повернула до лічильника, на іншу — це невідрізнювана альтернатива, яка, як і в усіх випадках невідрізнюваних альтернатив, інтерферує з початковим випадком, коли обміну не було. Амплітудою події тоді слугує сума двох амплітуд, що інтерферують, і суттєво, що в одних випадках інтерференція відбувається у фазі, а в інших —у протифазі.
Уявімо, що стикаються дві частинки a і b, причому частинка а розсіюється в напрямку 1, а частинка b — у напрямку 2 (фіг. 2.1, а). Нехай f (θ) буде амплітудою цього процесу; тоді ймовірність Р1 спостереження такої події пропорційна | f (θ)| 2. Звісно, могло статися, що частинка b розсіялася в лічильник 1, а частинка a спрямувалася в лічильник 2 (фіг. 2.1, б). Якщо вважати, що жодних особливих напрямків, визначених спіном чи чимось подібним, у досліді немає, то ймовірність Р2 цієї події можна просто записати у вигляді | f (π — θ) | 2, тому що цей процес попросту еквівалентний першому процесу, в якому лічильник 1 поставили під кутом (π — θ). І вам могло б здатися, що амплітуда другого процесу дорівнює просто f (π — θ). Але це не обов'язково так, тому що в ній міг стояти довільний фазовий множник. Іншими словами, амплітуда могла б бути такою:
Уявімо, що стикаються дві частинки a і b, причому частинка а розсіюється в напрямку 1, а частинка b — у напрямку 2 (фіг. 2.1, а). Нехай f (θ) буде амплітудою цього процесу; тоді ймовірність Р1 спостереження такої події пропорційна | f (θ)| 2. Звісно, могло статися, що частинка b розсіялася в лічильник 1, а частинка a спрямувалася в лічильник 2 (фіг. 2.1, б). Якщо вважати, що жодних особливих напрямків, визначених спіном чи чимось подібним, у досліді немає, то ймовірність Р2 цієї події можна просто записати у вигляді | f (π — θ) | 2, тому що цей процес попросту еквівалентний першому процесу, в якому лічильник 1 поставили під кутом (π — θ). І вам могло б здатися, що амплітуда другого процесу дорівнює просто f (π — θ). Але це не обов'язково так, тому що в ній міг стояти довільний фазовий множник. Іншими словами, амплітуда могла б бути такою:Зображення
Адже й така амплітуда все ж приводить до ймовірності Р2 , що дорівнює |f (π — θ) | 2.
Подивимося тепер, що станеться, якщо частинки a i b виявляться ідентичними. Тоді два різні процеси, показані на двох частинах фіг. 2.1, уже не можна відрізнити один від одного. Існує амплітуда того, що a або b потрапляє в лічильник 1, тоді як частинка, що залишилася, потрапляє в лічильник 2. Ця амплітуда є сумою амплітуд двох процесів, показаних на фіг. 2.1.
Якщо першу ми позначимо f(θ), то друга буде е¡δf (π — θ), і тепер уже фазовий множник дуже важливий, тому що ми збираємося додавати амплітуди. Припустимо, що ми зобов'язані множити амплітуду на певний фазовий множник щоразу, коли дві частинки обмінюються ролями. Якщо вони ще раз обміняються ними, то множник з'явиться ще раз. Але при цьому ми знову повернемося до першого процесу. Фазовий множник, узятий двічі, повинен повернути нас до того, з чого ми почали,— його квадрат повинен дорівнювати одиниці. Є лише дві можливості: е¡δ дорівнює або +1, або —1. Обмін приводить до внеску в амплітуду з тим самим знаком або до внеску з протилежним знаком. І обидва випадки трапляються в природі, кожен для свого класу частинок. Частинки, що інтерферують із додатним знаком, називаються бозе-частинками, а ті, що інтерферують із від'ємним знаком, іменуються фермі-частинками. Фермі-частинки — це електрон, мюон, обидва нейтрино, нуклони й баріони. Отже, амплітуда розсіяння тотожних частинок має вигляд
Подивимося тепер, що станеться, якщо частинки a i b виявляться ідентичними. Тоді два різні процеси, показані на двох частинах фіг. 2.1, уже не можна відрізнити один від одного. Існує амплітуда того, що a або b потрапляє в лічильник 1, тоді як частинка, що залишилася, потрапляє в лічильник 2. Ця амплітуда є сумою амплітуд двох процесів, показаних на фіг. 2.1.
Якщо першу ми позначимо f(θ), то друга буде е¡δf (π — θ), і тепер уже фазовий множник дуже важливий, тому що ми збираємося додавати амплітуди. Припустимо, що ми зобов'язані множити амплітуду на певний фазовий множник щоразу, коли дві частинки обмінюються ролями. Якщо вони ще раз обміняються ними, то множник з'явиться ще раз. Але при цьому ми знову повернемося до першого процесу. Фазовий множник, узятий двічі, повинен повернути нас до того, з чого ми почали,— його квадрат повинен дорівнювати одиниці. Є лише дві можливості: е¡δ дорівнює або +1, або —1. Обмін приводить до внеску в амплітуду з тим самим знаком або до внеску з протилежним знаком. І обидва випадки трапляються в природі, кожен для свого класу частинок. Частинки, що інтерферують із додатним знаком, називаються бозе-частинками, а ті, що інтерферують із від'ємним знаком, іменуються фермі-частинками. Фермі-частинки — це електрон, мюон, обидва нейтрино, нуклони й баріони. Отже, амплітуда розсіяння тотожних частинок має вигляд
Зображення
Для частинок зі спіном (скажімо, електронів) виникає додаткове ускладнення. Потрібно вказувати не лише місцезнаходження частинок, а й напрямок їхніх спінів. Лише в тому випадку, коли частинки ідентичні і їхні спінові стани теж ідентичні, лише тоді при обміні частинками амплітуди інтерферують. А якщо вас цікавить розсіяння неполяризованих пучків, що є сумішшю різних спінових станів, то потрібні ще й додаткові викладки понад це.
Цікава проблема виникає за наявності двох або більше тісно зв'язаних частинок. Наприклад, в α-частинці сидять чотири частинки: два нейтрони і два протони. І коли розсіюються дві α-частинки, може виникнути кілька можливостей. Може статися, що при розсіянні виявиться скінченна амплітуда того, що один із нейтронів перескочить від однієї α-частинки до іншої, а нейтрон з іншої α-частинки перейде до першої, так що дві α-частинки після розсіяння виявляються не первісними частинками — відбувся обмін парою нейтронів (фіг. 2.2). Амплітуда розсіяння з обміном парою нейтронів інтерферуватиме з амплітудою розсіяння без такого обміну, і інтерференція повинна мати знак мінус, тому що відбувся обмін фермі-частинками. З іншого боку, якщо відносна енергія двох α-частинок настільки мала, що вони перебувають порівняно далеко одна від одної (скажімо, через кулонівське відштовхування) і ймовірність обміну будь-якими внутрішніми частинками виявляється незначною, у цьому випадку α-частинку можна вважати найпростішим об'єктом, не замислюючись про деталі її внутрішньої будови. За цих умов в амплітуду розсіяння увійдуть лише два члени. Або обміну взагалі немає, або при розсіянні відбувається обмін усіма чотирма нуклонами. Оскільки і протони, і нейтрони в α-частинці — це фермі-частинки, обмін будь-якою парою змінює знак амплітуди розсіяння. Поки всередині α-частинок немає жодних змін, обмін двома α-частинками означає те саме, що обмін чотирма парами фермі-частинок. Кожна пара змінює знак, і в підсумку амплітуди додаються зі знаком плюс. Тож α-частинка поводиться як бозе-частинка.
Цікава проблема виникає за наявності двох або більше тісно зв'язаних частинок. Наприклад, в α-частинці сидять чотири частинки: два нейтрони і два протони. І коли розсіюються дві α-частинки, може виникнути кілька можливостей. Може статися, що при розсіянні виявиться скінченна амплітуда того, що один із нейтронів перескочить від однієї α-частинки до іншої, а нейтрон з іншої α-частинки перейде до першої, так що дві α-частинки після розсіяння виявляються не первісними частинками — відбувся обмін парою нейтронів (фіг. 2.2). Амплітуда розсіяння з обміном парою нейтронів інтерферуватиме з амплітудою розсіяння без такого обміну, і інтерференція повинна мати знак мінус, тому що відбувся обмін фермі-частинками. З іншого боку, якщо відносна енергія двох α-частинок настільки мала, що вони перебувають порівняно далеко одна від одної (скажімо, через кулонівське відштовхування) і ймовірність обміну будь-якими внутрішніми частинками виявляється незначною, у цьому випадку α-частинку можна вважати найпростішим об'єктом, не замислюючись про деталі її внутрішньої будови. За цих умов в амплітуду розсіяння увійдуть лише два члени. Або обміну взагалі немає, або при розсіянні відбувається обмін усіма чотирма нуклонами. Оскільки і протони, і нейтрони в α-частинці — це фермі-частинки, обмін будь-якою парою змінює знак амплітуди розсіяння. Поки всередині α-частинок немає жодних змін, обмін двома α-частинками означає те саме, що обмін чотирма парами фермі-частинок. Кожна пара змінює знак, і в підсумку амплітуди додаються зі знаком плюс. Тож α-частинка поводиться як бозе-частинка.
Зображення
Отже, правило полягає в тому, що складні об'єкти за тих обставин, коли їх можна вважати неподільними об'єктами, поводяться як бозе- або фермі-частинки, залежно від того, чи міститься в них парне чи непарне число фермі-частинок.
Усі елементарні фермі-частинки, про які ми згадували (такі, як електрон, протон, нейтрон і т. д.), мають спін j = 1/2. Якщо кілька таких фермі-частинок утворюють складний об'єкт, їхній сумарний спін може бути або цілим, або напівцілим. Наприклад, у найпоширенішого ізотопу гелію Не4, в якому два протони і два нейтрони, спін дорівнює нулю, а в Li7, в якому протонів три, а нейтронів чотири, спін дорівнює 3/2. Пізніше ми вивчимо правила додавання моментів кількості руху, а поки просто зазначимо, що всякий складний об'єкт із напівцілим спіном імітує фермі-частинку, тоді як усякий складний об'єкт із цілим спіном імітує бозе-частинку.
Цікаво, чому так виходить? Чому частинки з напівцілим спіном суть фермі-частинки, чиї амплітуди додаються зі знаком мінус, а частинки з цілим спіном суть бозе-частинки, чиї амплітуди додаються з додатним знаком? Ми просимо вибачення за те, що не здатні пояснити вам це елементарно. Але пояснення існує, його знайшов Паулі, спираючись на складні доводи квантової теорії поля і теорії відносності. Він показав, що ці факти неодмінно пов'язані одне з одним; але ми не в змозі знайти спосіб відтворити його аргументи на елементарному рівні. Це, вочевидь, одне з небагатьох місць у фізиці, коли правило формулюється дуже просто, хоча настільки ж простого пояснення йому не знайдено. Пояснення коріниться глибоко в релятивістській квантовій механіці. Схоже, це означає, що ми до кінця не розуміємо принципу, який лежить у його основі. Вважатимемо його поки одним із законів Всесвіту.
Усі елементарні фермі-частинки, про які ми згадували (такі, як електрон, протон, нейтрон і т. д.), мають спін j = 1/2. Якщо кілька таких фермі-частинок утворюють складний об'єкт, їхній сумарний спін може бути або цілим, або напівцілим. Наприклад, у найпоширенішого ізотопу гелію Не4, в якому два протони і два нейтрони, спін дорівнює нулю, а в Li7, в якому протонів три, а нейтронів чотири, спін дорівнює 3/2. Пізніше ми вивчимо правила додавання моментів кількості руху, а поки просто зазначимо, що всякий складний об'єкт із напівцілим спіном імітує фермі-частинку, тоді як усякий складний об'єкт із цілим спіном імітує бозе-частинку.
Цікаво, чому так виходить? Чому частинки з напівцілим спіном суть фермі-частинки, чиї амплітуди додаються зі знаком мінус, а частинки з цілим спіном суть бозе-частинки, чиї амплітуди додаються з додатним знаком? Ми просимо вибачення за те, що не здатні пояснити вам це елементарно. Але пояснення існує, його знайшов Паулі, спираючись на складні доводи квантової теорії поля і теорії відносності. Він показав, що ці факти неодмінно пов'язані одне з одним; але ми не в змозі знайти спосіб відтворити його аргументи на елементарному рівні. Це, вочевидь, одне з небагатьох місць у фізиці, коли правило формулюється дуже просто, хоча настільки ж простого пояснення йому не знайдено. Пояснення коріниться глибоко в релятивістській квантовій механіці. Схоже, це означає, що ми до кінця не розуміємо принципу, який лежить у його основі. Вважатимемо його поки одним із законів Всесвіту.