В аміачному мазері пучок молекул у стані |I> і з енергією EI пропускається через резонансну порожнину, як показано на фіг. 7.4. Інший пучок відводиться геть. Усередині порожнини існує електричне поле, що змінюється в часі, тож нашим наступним завданням буде вивчення поведінки молекули в електричному полі, яке змінюється в часі. Це зовсім новий рід задач — задача з гамільтоніаном, що змінюється в часі. Оскільки Hij залежить від E, то й Hij змінюється в часі, і нам належить визначити поведінку системи за цих обставин.Для початку випишемо рівняння, які потрібно розв'язати:
Зображення
Для визначеності покладемо, що електричне поле змінюється синусоїдально; тоді можна написати
Зображення
Насправді частота ω береться завжди дуже близькою до резонансної частоти молекулярного переходу ω0=2А/h, але поки що ми для загальності вважатимемо ω довільною. Найкращий спосіб розв'язати наші рівняння — це, як і раніше, скласти з C1 і С2 лінійні комбінації. Складемо тому обидва рівняння, поділимо на √2 і згадаємо визначення СI і СII з (7.13). Отримаємо
Зображення
Ви бачите, що це схоже на (7.9), але з'явився додатковий член від електричного поля. Так само, віднімаючи рівняння (7.36), дістаємо
Зображення
Питання тепер у тому, як розв'язати ці рівняння. Це важче, ніж раніше, тому що E залежить від t; і справді, при загальному E(t) розв'язок не подається в елементарних функціях. Однак, поки електричне поле мале, можна досягти хорошого наближення. Спершу напишемо
Зображення
Якби електричного поля не було, то, взявши як γI і γII дві комплексні сталі, ми отримали б правильний розв'язок. Адже оскільки ймовірність бути в стані |I> є квадрат модуля СI, а ймовірність бути в стані |II> є квадрат модуля СII, то ймовірність бути в стані |I> або в стані |II> дорівнює просто | γI|2 або | γII|2. Наприклад, якби система починала розвиватися зі стану |II> так, що γI було б нулем, а | γII|2— одиницею, то ці умови зберігалися б назавжди. Молекула зі стану |II> ніколи б не перейшла в стан |I>.
Користь запису розв'язків у формі (7.40) полягає в тому, що воно зберігає свій вигляд і тоді, коли є електричне поле, якщо тільки μE менше за A, тільки γI і γII при цьому стануть повільно змінюваними функціями часу. «Повільно змінювані» означає повільно порівняно з експоненційними функціями. У цьому весь фокус. Для отримання наближеного розв'язку використовується той факт, що γI і γII змінюються повільно.
Підставимо тепер СI з (7.40) у диференціальне рівняння (7.39), але пригадаємо, що γI теж залежить від t. Маємо
Користь запису розв'язків у формі (7.40) полягає в тому, що воно зберігає свій вигляд і тоді, коли є електричне поле, якщо тільки μE менше за A, тільки γI і γII при цьому стануть повільно змінюваними функціями часу. «Повільно змінювані» означає повільно порівняно з експоненційними функціями. У цьому весь фокус. Для отримання наближеного розв'язку використовується той факт, що γI і γII змінюються повільно.
Підставимо тепер СI з (7.40) у диференціальне рівняння (7.39), але пригадаємо, що γI теж залежить від t. Маємо
Зображення
Диференціальне рівняння перетворюється на
Зображення
Так само рівняння для dCII/dt перетворюється на
Зображення
Зверніть тепер увагу, що в обох частинах кожного рівняння є однакові члени. Скоротимо їх і помножимо перше рівняння на e +iEIt/h, а друге на e+iEIIt/h. Пригадуючи, що (EI—EII) = 2А = hω0, ми зрештою дістаємо
Зображення
Вийшла досить проста пара рівнянь — і поки ще точна. Похідна від однієї змінної є функція від часу μE(t)eiω0t, помножена на другу змінну; похідна від другої — така сама функція від часу, помножена на першу. Хоча ці прості рівняння загалом не розв'язуються, але в деяких окремих випадках ми розв'яжемо їх.
Нас, принаймні зараз, цікавить тільки випадок коливного електричного поля. Взявши E(t) у формі (7.37), ми побачимо, що рівняння для γI і γII перетворяться на
Нас, принаймні зараз, цікавить тільки випадок коливного електричного поля. Взявши E(t) у формі (7.37), ми побачимо, що рівняння для γI і γII перетворяться на
Зображення
І от якщо E0 досить мале, то швидкості зміни γI і γII теж будуть малі. Обидві γ не будуть сильно змінюватися з t, особливо порівняно зі швидкими варіаціями, викликаними експоненційними членами. У цих експоненційних членів є дійсні та уявні частини, які коливаються з частотою ω+ω0 або ω—ω0. Члени з частотою ω+ω0 коливаються навколо середнього значення (нуля) дуже швидко і тому не дадуть значного вкладу в швидкість зміни γ. Отже, можна зробити цілком розумне наближення, замінивши ці члени їхнім середнім значенням, тобто нулем. Їх просто відкидають і як наближення беруть
Зображення
Але навіть і решта членів з показниками, пропорційними (ω—ω0), змінюються швидко, якщо тільки ω не близьке до ω0. Тільки тоді права сторона буде змінюватися досить повільно для того, щоб набігло велике число, поки інтегруєш ці рівняння за t. Іншими словами, при слабкому електричному полі з-поміж усіх частот важливі лише ті, що близькі до ω0.
При тих наближеннях, які були зроблені для того, щоб отримати (7.45), ці рівняння можна розв'язати й точно; але робота ця все ж таки трудомістка, і ми відкладемо її на інший час, коли звернемося до іншої задачі того самого типу. Поки ж ми їх просто розв'яжемо приблизно, або, краще сказати, знайдемо точний розв'язок для випадку ідеального резонансу ω = ω0 і приблизний — для частот поблизу резонансу.
При тих наближеннях, які були зроблені для того, щоб отримати (7.45), ці рівняння можна розв'язати й точно; але робота ця все ж таки трудомістка, і ми відкладемо її на інший час, коли звернемося до іншої задачі того самого типу. Поки ж ми їх просто розв'яжемо приблизно, або, краще сказати, знайдемо точний розв'язок для випадку ідеального резонансу ω = ω0 і приблизний — для частот поблизу резонансу.