У цій главі ми хочемо обговорити застосування квантової механіки в одному практичному приладі — в аміачному мазері. Вас, можливо, здивує, чому це ми кидаємо напівдорозі наш виклад формального апарату квантової механіки і звертаємося до окремої задачі. Але пізніше ви побачите, що багато рис цієї окремої задачі раз у раз трапляються і в загальній теорії квантової механіки, тож детальне вивчення задачі багато чого нас навчить. Аміачний мазер — це прилад для генерування електромагнітних хвиль. Його дія ґрунтується на властивостях молекули аміаку, про які коротко йшлося в попередній главі. Тому спочатку ми підсумуємо те, що нам уже відомо.
Молекула аміаку має багато станів. Але ми будемо вважати її системою з двома станами (дворівневою); зараз нас цікавить лише те, що буває, коли молекула перебуває в будь-якому заданому стані обертання або поступального руху. Фізичну модель цих двох станів можна наочно уявити собі так. Якщо обертати молекулу аміаку навколо осі, проведеної через атом азоту перпендикулярно до площини атомів водню, як показано на фіг. 7.1, ми виявимо, що існують два сорти станів, які не переходять один в інший при таких поворотах і відрізняються положенням атома азоту. Азот може бути або по одну сторону площини атомів водню, або по іншу. Ці два стани ми позначаємо |1> і |2>. Їх ми виберемо як сукупність базисних станів у нашому аналізі поведінки молекули аміаку.
У системі з двома базисними станами будь-який стан |ψ> системи завжди може бути описаний лінійною комбінацією двох базисних станів; це означає, що існує певна амплітуда С1 бути в одному базисному стані й амплітуда С2 бути в іншому. Вектор стану |ψ> можна записати у вигляді
Молекула аміаку має багато станів. Але ми будемо вважати її системою з двома станами (дворівневою); зараз нас цікавить лише те, що буває, коли молекула перебуває в будь-якому заданому стані обертання або поступального руху. Фізичну модель цих двох станів можна наочно уявити собі так. Якщо обертати молекулу аміаку навколо осі, проведеної через атом азоту перпендикулярно до площини атомів водню, як показано на фіг. 7.1, ми виявимо, що існують два сорти станів, які не переходять один в інший при таких поворотах і відрізняються положенням атома азоту. Азот може бути або по одну сторону площини атомів водню, або по іншу. Ці два стани ми позначаємо |1> і |2>. Їх ми виберемо як сукупність базисних станів у нашому аналізі поведінки молекули аміаку.У системі з двома базисними станами будь-який стан |ψ> системи завжди може бути описаний лінійною комбінацією двох базисних станів; це означає, що існує певна амплітуда С1 бути в одному базисному стані й амплітуда С2 бути в іншому. Вектор стану |ψ> можна записати у вигляді
Зображення
Ця пара амплітуд змінюється з часом згідно з нашими гамільтоновими рівняннями — рівняннями (6.43). Використовуючи симетрію двох станів молекули аміаку, ми покладаємо H11=H22=E0 і H12= H21= –A і дістаємо такий розв'язок [див. (6.50) і (6.51)] :
Зображення
Кинемо тепер на ці розв'язки уважніший погляд. Нехай спершу молекула була поставлена в стан |ψΙΙ>, для якого коефіцієнт b дорівнював нулю. Тоді при t=0 амплітуди опинитися в станах |1> і |2> однакові й залишаться такими весь час. Обидві їхні фази змінюються в часі однаково, з частотою (Е0—A)/h. І точнісінько так само, якби ми поставили молекулу в стан |ψΙ> для якого а=0, амплітуда C2 дорівнювала б С1 з мінусом, і це співвідношення зберігалося б назавжди — обидві амплітуди тепер змінювалися б у часі з частотою (Е0+A)/h. Це всі стани, для яких зв'язок між C1 і С2 не залежить від часу; інших можливостей немає.
Ми знайшли два часткові розв'язки, в яких амплітуди не змінюються за величиною і, більш того, фази змінюються з однаковою частотою. Це стаціонарні стани за визначенням, даним у розд. 5, § 1, тобто стани з визначеною енергією. Стан |ψΙΙ> має енергію ЕΙΙ=Е0—A, а стан |ψΙ> — енергію EΙ=E0 +A. Крім цих, ніяких стаціонарних станів не існує, тобто ми виявляємо, що в молекули є два рівні енергії, які відрізняються на 2А. (Малися на увазі, звісно, два рівні енергії для заданого стану коливання й обертання, про які йшлося в наших вихідних припущеннях.)
Якби азот не міг перескакувати вгору або вниз, нам довелося б прийняти A рівним нулю, і обидва енергетичні рівні (з енергією Е0) налізли б один на одного. Справжні рівні не такі; їхнє середнє значення Е0, але вони розведені на ±A, тобто проміжок між енергіями двох станів дорівнює 2A. Оскільки A насправді мале, то й різниця в енергіях дуже мала.
Щоб збудити електрон усередині атома, потрібні досить високі енергії, потрібні фотони оптичного або ультрафіолетового діапазону. Щоб збудити коливання молекул, потрібні інфрачервоні фотони. Якщо йдеться про збудження обертань, різниці в енергіях станів відповідають фотонам у далекій інфрачервоній області. Але різниця енергій 2А менша за всі вони, менша за інфрачервоні енергії, вона припадає на мікрохвильовий діапазон. Досвідним шляхом було знайдено, що існує пара рівнів енергії з проміжком 10-4 еВ, що відповідає частоті 24000 МГц. Це, очевидно, означає, що 2А =hf, де f=24 000 МГц (відповідає хвилі довжиною 11/4 см). Отже, перед нами молекула з переходами, які викликають випромінювання мікрохвиль, а не світло у звичному сенсі. Для подальшої роботи нам знадобиться трохи зручніший опис цих двох станів з визначеною енергією. Уявімо, що ми побудували амплітуду СΙΙ із суми двох чисел С1 і С2:
Ми знайшли два часткові розв'язки, в яких амплітуди не змінюються за величиною і, більш того, фази змінюються з однаковою частотою. Це стаціонарні стани за визначенням, даним у розд. 5, § 1, тобто стани з визначеною енергією. Стан |ψΙΙ> має енергію ЕΙΙ=Е0—A, а стан |ψΙ> — енергію EΙ=E0 +A. Крім цих, ніяких стаціонарних станів не існує, тобто ми виявляємо, що в молекули є два рівні енергії, які відрізняються на 2А. (Малися на увазі, звісно, два рівні енергії для заданого стану коливання й обертання, про які йшлося в наших вихідних припущеннях.)
Якби азот не міг перескакувати вгору або вниз, нам довелося б прийняти A рівним нулю, і обидва енергетичні рівні (з енергією Е0) налізли б один на одного. Справжні рівні не такі; їхнє середнє значення Е0, але вони розведені на ±A, тобто проміжок між енергіями двох станів дорівнює 2A. Оскільки A насправді мале, то й різниця в енергіях дуже мала.
Щоб збудити електрон усередині атома, потрібні досить високі енергії, потрібні фотони оптичного або ультрафіолетового діапазону. Щоб збудити коливання молекул, потрібні інфрачервоні фотони. Якщо йдеться про збудження обертань, різниці в енергіях станів відповідають фотонам у далекій інфрачервоній області. Але різниця енергій 2А менша за всі вони, менша за інфрачервоні енергії, вона припадає на мікрохвильовий діапазон. Досвідним шляхом було знайдено, що існує пара рівнів енергії з проміжком 10-4 еВ, що відповідає частоті 24000 МГц. Це, очевидно, означає, що 2А =hf, де f=24 000 МГц (відповідає хвилі довжиною 11/4 см). Отже, перед нами молекула з переходами, які викликають випромінювання мікрохвиль, а не світло у звичному сенсі. Для подальшої роботи нам знадобиться трохи зручніший опис цих двох станів з визначеною енергією. Уявімо, що ми побудували амплітуду СΙΙ із суми двох чисел С1 і С2:
Зображення
Що б це могло означати? Дуже просто: це амплітуда того, що стан |Φ> опиниться в новому стані | ΙΙ>, у якому амплітуди первісних базисних станів рівні між собою. Іншими словами, коли ми пишемо CΙΙ= <ΙΙ |Ф>, то ми маємо право абстрагуватися в рівнянні (7.4) від |Ф>, оскільки воно виконується за будь-яких Ф, і писати
Зображення
це означає те саме, що й
Зображення
Амплітуда того, що стан |ΙΙ> опиниться в стані |1>, дорівнює
Зображення
а це, звичайно, дорівнює просто одиниці, оскільки і |1>, і |2> є базисні стани. А амплітуда виявлення стану |II> у стані |2> також дорівнює одиниці, тож у стану |II> однакові амплітуди опинитися в кожному з базисних станів |1)> і |2>.
Але тут виринає нова трудність. У стану |II> повна ймовірність опинитися чи то в одному базисному стані, чи то в іншому виходить більшою за одиницю. Але це лише означає, що вектор стану невдало «віднормовано». Щоб виправити справу, треба пам'ятати, що завжди для будь-якого стану має бути <II | //> = 1. Скориставшись загальним співвідношенням
Але тут виринає нова трудність. У стану |II> повна ймовірність опинитися чи то в одному базисному стані, чи то в іншому виходить більшою за одиницю. Але це лише означає, що вектор стану невдало «віднормовано». Щоб виправити справу, треба пам'ятати, що завжди для будь-якого стану має бути <II | //> = 1. Скориставшись загальним співвідношенням
Зображення
покладаючи, що і Ф, і x є станом II, і підсумовуючи за базисними станами |1> і |2>, дістаємо
Зображення
Це дасть, як і належить, одиницю, якщо ми змінимо наше визначення СΙΙ [див. рівняння (7.4)] і приймемо
Зображення
Таким самим шляхом можна побудувати й амплітуду
Зображення
Ця амплітуда є проєкцією стану | Φ> на новий стан |I>, що має амплітуди протилежного знака для перебування в станах |1> і |2>. А саме (7.6) означає те саме, що й
Зображення
Навіщо все це потрібно? З якою метою все це робиться? Річ у тім, що стани |I> і |II> можуть бути прийняті за нову сукупність базисних станів, особливо придатну для опису стаціонарних станів молекули аміаку. Ви пам'ятаєте, що вимоги до сукупності базисних станів були такі:
Зображення
Ми вже самі зробили так, щоб було
Зображення
З (7.5) і (7.7) легко вивести, що й
Зображення
Амплітуди СΙ= <I | Φ> і СII=<II |Φ> того, що будь-який стан | Φ> опиниться в одному з наших нових базисних станів |I> і |II>, повинні також задовольняти гамільтонове рівняння вигляду (6.39). І справді, якщо ми просто віднімемо одне від одного два рівняння (7.2) і (7.3) і продиференціюємо за t, то переконаємося, що
Зображення
А взявши суму (7.2) і (7.3), побачимо
Зображення
Якщо за базисні стани взяти |I> і |II>, то гамільтонова матриця дуже проста:
Зображення
Зауважте, що кожне з рівнянь (7.8) і (7.9) виглядає дуже схожим на те, що виходило в розд. 6, § 6, для рівняння системи з одним станом. Вони дають просту експоненційну залежність від часу, що відповідає визначеній енергії. Зі зростанням часу амплітуди перебування в кожному зі станів поводяться незалежно.
Знайдені нами раніше стаціонарні стани | ψI> і | ψII> також є, звісно, розв'язками рівнянь (7.8) і (7.9). У стану | ψI> (для якого С1=—С2)
Знайдені нами раніше стаціонарні стани | ψI> і | ψII> також є, звісно, розв'язками рівнянь (7.8) і (7.9). У стану | ψI> (для якого С1=—С2)
Зображення
А у стану | ψII> (для якого С1 = C2)
Зображення
Нехай ми тепер помножили (7.10) на вектор стану |I >; тоді отримаємо
Зображення
Пригадаймо, однак, що |I > <I | = 1; отже, це одне й те саме, що сказати
Зображення
Іншими словами, вектор стану стаціонарного стану |φI> не відрізняється від вектора стану базисного стану | I> нічим, крім експоненційного множника, пов'язаного з енергією стану. І справді, при t=0
Зображення
фізична конфігурація у стану | I> та сама, що й у стаціонарного стану з енергією Е0 +А. Точнісінько так само для другого стаціонарного стану отримуємо
Зображення
Стан |II> — це просто стаціонарний стан з енергією Е0–А при t=0. Отже, обидва наших нових базисних стани |I > і | II> фізично мають вигляд станів з визначеною енергією, але з вилученим експоненційним часовим множником, тож вони можуть бути прийняті за базисні стани, не залежні від часу. (Надалі нам буде зручно не відрізняти стаціонарні стани |ψI > і | ψII> від їхніх базисних станів |I> і |II>, бо відрізняються вони лише очевидними часовими множниками.)
Підсумуємо. Вектори станів |I> і |II> — це пара базисних векторів, пристосованих для опису станів молекули аміаку з визначеною енергією. Вони пов'язані з нашими вихідними базисними векторами формулами
Підсумуємо. Вектори станів |I> і |II> — це пара базисних векторів, пристосованих для опису станів молекули аміаку з визначеною енергією. Вони пов'язані з нашими вихідними базисними векторами формулами
Зображення
Амплітуди перебування в |I> і |II> пов'язані з С1 і С2 формулами
Зображення
Будь-який стан може бути представлений лінійною комбінацією |1 > і |2 > (з коефіцієнтами С1 і С2) або лінійною комбінацією базисних станів з визначеною енергією |I> і |II> (з коефіцієнтами СI і СII ). Отже,
Зображення
Друга формула дає нам амплітуди виявити стан |Φ> у стані з енергією ЕI = Е0 +А або в стані з енергією ЕII =Е0—А.