Загальний розв'язок для водню

У рівнянні (17.35) ми записали хвильові функції атома водню у вигляді

Ці хвильові функції мають бути розв'язками диференціального рівняння (17.7). Подивимося, що це означає. Підставимо (17.37) в (17.7); отримаємо

Помножимо все на r²/F_l і переставимо члени; результат буде такий:

Ліва частина цього рівняння залежить від θ і φ, а від r не залежить. Яке б значення r ми не взяли, від цього ліва частина не зміниться. Отже, те саме повинно виконуватися і для правої частини. Хоча у виразі в квадратних дужках там і сям трапляються різні r, весь вираз від r залежати не може, інакше не вийшло б рівняння, яке годиться для всіх r. Крім того, як ви бачите, ця дужка не залежить ні від θ, ні від φ. Вона повинна бути сталим числом. Його величина натомість має право залежати від значення l того стану, який ми вивчаємо, оскільки цьому стану належить функція F_l, тому стале число ми позначимо К_l. Рівняння (17.35), виходить, рівнозначне двом рівнянням

Тепер погляньмо на те, що ми зробили. Для кожного стану, що описується числами l і m, ми знаємо функції Y_l,m; тоді з рівняння (17.40) можна визначити K_l. Потім, підставивши К_l в (17.41), ми отримаємо диференціальне рівняння для функції F_l (r). Якщо ми зможемо його розв'язати, то всі множники, що входять в (17.37), стануть нам відомі, і ми дізнаємося ψ (r).
 
Чому ж дорівнює K_l? Ну, по-перше, зауважте, що при всіх m (що входять у дане l) воно повинно бути одним і тим самим, тому ми маємо право вибрати в Y_l,m те m, яке нам подобається, і підставити його в (17.40). Мабуть, найпростіше взяти Y_l,l. З рівняння (16.24)

Матричний елемент R_y (θ) теж зовсім простий;

де b — деяке число. Об'єднуючи їх, отримуємо

Підстановка цієї функції в (17.40) дасть

Тепер, коли ми визначили K_l, рівняння (17.41) дасть нам радіальну функцію F_l (r). Перед нами звичайне рівняння Шредінгера, у якого кутова частина замінена її еквівалентом K_lF_l /r². Перепишемо (17.41) у тій формі, у якій ми писали рівняння (17.8):

У потенціальної енергії з'явилася якась таємнича добавка. Хоча вона з'явилася на світ після довгої серії математичних кроків, проте вона має просте фізичне походження. Ми візьмемося розповісти про її походження за допомогою напівкласичних аргументів. Після цього вона вже не здасться вам такою таємничою.
 
Уявімо класичну частинку, що обертається навколо деякого силового центру. Повна енергія зберігається і є сумою потенціальної та кінетичної енергій

У загальному випадку v розкладається на радіальну компоненту v_r і на дотичну компоненту   rθ, тобто

Момент кількості руху  mr²θ теж  зберігається;  нехай він дорівнює L. Тоді можна написати

Якби моменту кількості руху не було, у нас залишилися б тільки два перших члени. Додавання моменту кількості руху L змінює енергію якраз так, ніби до потенціальної енергії додався член L²/2mr². Але він майже точно збігається з добавкою (17.46). Єдина різниця в тому, що замість очікуваного чисельника l²h²(цього можна було б очікувати) з'являється комбінація l (l+1) h². Але ми ще раніше бачили [наприклад, у розд. 34, § 7 (вип. 7)], що це звичайна заміна, до якої завжди доводиться вдаватися, якщо хочуть, щоб квазікласичні міркування збіглися з правильним квантовомеханічним розрахунком. Тому новий член можна розуміти як свого роду «потенціал», що визначає «відцентрову силу» і виникає в рівняннях радіального руху системи, яка обертається [див. розд. 12, § 5 (вип. 1)].
 
Тепер ми вже можемо розв'язати рівняння (17.46) відносно F_l (r). Воно дуже схоже на (17.8), тож вдамося до тієї самої техніки. Все повторюється аж до рівняння (17.19), у якому з'явиться додатковий член

Його можна записати ще й так:

(Ми виокремили перший член, а потім поточний індекс k зсунули на одиницю.) Замість (17.20) з'явиться

Оскільки член з ρ^–1 лише один, то він повинен перетворитися на нуль. Коефіцієнт а₁ повинен дорівнювати нулю (хіба що l не дорівнює нулю, але тоді ми приходимо до нашого попереднього розв'язку). А коли всі квадратні дужки при будь-яких k перетворяться на нуль, то й усі наступні члени стануть рівними нулю. Через це умова (17.21) переходить у

Це єдина суттєва видозміна порівняно зі сферично симетричним випадком.
 
Як і раніше, ряд повинен обірватися, якщо ми хочемо, щоб розв'язки представляли зв'язані електрони. Якщо αn=1, то ряд обірветься на k=n. Умова на α виходить такою самою: α повинно дорівнювати 1/n, де n — ціле число. Однак (17.50) приводить і до нового обмеження. Індекс k не може дорівнювати l, інакше знаменник перетвориться на нуль, а а_l+1 — на нескінченність. Інакше кажучи, оскільки а₁=0, то (17.50) означає, що всі послідовні a_k перетворюються на нуль, поки ми не прийдемо до а_l+1, яке може бути й не нулем. Це означає, що k повинно починатися з l+1 і закінчуватися на n.
 
Остаточний підсумок такий: при будь-якому l є набір можливих розв'язків, які ми позначимо F_n,l, де n>l+1. Кожен розв'язок має енергію

Хвильова функція стану з такою енергією і з кутовими квантовими числами l і m має вигляд

де

Коефіцієнти a_k отримуються з (17.50). Нарешті в наших руках повний опис станів атома водню.