Найвизначнішим успіхом в історії квантової механіки було пояснення всіх деталей спектрів найпростіших атомів, а також періодичностей, виявлених у таблиці хімічних елементів. У цьому розділі нашого курсу квантової механіки ми нарешті підійдемо до цього найважливішого досягнення і розповімо про пояснення спектра атомів водню. Крім того, тут ми розповімо і про якісне пояснення таємничих властивостей хімічних елементів. Для цього ми детально вивчимо поведінку електрона в атомі водню: у першу чергу ми розрахуємо його розподіл у просторі, дотримуючись тих уявлень, які були розвинуті в розд. 14.
Для повного опису атома водню слід було б врахувати рух обох частинок — як протона, так і електрона. У квантовій механіці в цій задачі йдуть за класичною ідеєю про опис руху кожної з частинок відносно їхнього центру ваги. Однак ми не будемо цього робити. Ми просто скористаємося наближенням, у якому протон вважається дуже важким, настільки важким, що він ніби закріплений у центрі атома.
Ми зробимо ще й інше наближення: забудемо, що електрон має спін і що його належить описувати законами релятивістської механіки. Це вимагатиме внесення невеликих поправок у наші викладки, оскільки ми користуватимемося нерелятивістським рівнянням Шредінгера і знехтуємо магнітними ефектами. Невеликі магнітні ефекти виникають через те, що протон з погляду електрона є зарядом, що циркулює по колу і створює магнітне поле. У цьому полі енергія електрона буде різною залежно від того, спрямований його спін вгору чи вниз уздовж поля. Енергія атома повинна трохи зміститися відносно тієї величини, яку ми обчислимо. Але ми знехтуємо цим слабким зсувом енергії, тобто уявимо, що електрон точнісінько подібний до дзиґи, яка рухається в просторі по колу і увесь час зберігає однаковий напрямок спіна. Оскільки йтиметься про вільний атом у просторі, повний момент кількості руху буде зберігатися. У нашому наближенні вважатиметься, що момент кількості руху, зумовлений спіном електрона, залишається незмінним, так що момент кількості руху атома, який залишився (те, що зазвичай називають «орбітальним» моментом кількості руху), теж не буде змінюватися. У дуже гарному наближенні можна вважати, що електрон рухається в атомі водню як частинка без спіна — його орбітальний момент кількості руху сталий.
У цих наближеннях амплітуда того, що електрон буде виявлений у тому чи іншому місці простору, може бути представлена як функція положення електрона в просторі й часі. Позначимо амплітуду того, що електрон буде виявлений у точці х, у, z у момент t через ψ (х, у, z, t). Згідно з квантовою механікою, швидкість зміни цієї амплітуди з часом визначається гамільтоновим оператором, який діє на ту саму функцію. З розд. 14 ми знаємо, що
Для повного опису атома водню слід було б врахувати рух обох частинок — як протона, так і електрона. У квантовій механіці в цій задачі йдуть за класичною ідеєю про опис руху кожної з частинок відносно їхнього центру ваги. Однак ми не будемо цього робити. Ми просто скористаємося наближенням, у якому протон вважається дуже важким, настільки важким, що він ніби закріплений у центрі атома.
Ми зробимо ще й інше наближення: забудемо, що електрон має спін і що його належить описувати законами релятивістської механіки. Це вимагатиме внесення невеликих поправок у наші викладки, оскільки ми користуватимемося нерелятивістським рівнянням Шредінгера і знехтуємо магнітними ефектами. Невеликі магнітні ефекти виникають через те, що протон з погляду електрона є зарядом, що циркулює по колу і створює магнітне поле. У цьому полі енергія електрона буде різною залежно від того, спрямований його спін вгору чи вниз уздовж поля. Енергія атома повинна трохи зміститися відносно тієї величини, яку ми обчислимо. Але ми знехтуємо цим слабким зсувом енергії, тобто уявимо, що електрон точнісінько подібний до дзиґи, яка рухається в просторі по колу і увесь час зберігає однаковий напрямок спіна. Оскільки йтиметься про вільний атом у просторі, повний момент кількості руху буде зберігатися. У нашому наближенні вважатиметься, що момент кількості руху, зумовлений спіном електрона, залишається незмінним, так що момент кількості руху атома, який залишився (те, що зазвичай називають «орбітальним» моментом кількості руху), теж не буде змінюватися. У дуже гарному наближенні можна вважати, що електрон рухається в атомі водню як частинка без спіна — його орбітальний момент кількості руху сталий.
У цих наближеннях амплітуда того, що електрон буде виявлений у тому чи іншому місці простору, може бути представлена як функція положення електрона в просторі й часі. Позначимо амплітуду того, що електрон буде виявлений у точці х, у, z у момент t через ψ (х, у, z, t). Згідно з квантовою механікою, швидкість зміни цієї амплітуди з часом визначається гамільтоновим оператором, який діє на ту саму функцію. З розд. 14 ми знаємо, що
Зображення
Тут m — маса електрона, а V (r)— потенціальна енергія електрона в електростатичному полі протона. Вважаючи, що на великих відстанях від протона V = 0, можна написати
Зображення
Хвильова функція ψ повинна тоді задовольняти рівнянню
Зображення
Ми хочемо знайти стани з певною енергією, тому спробуємо пошукати розв'язки, які мали б вигляд
Зображення
Тоді функція ψ (r) повинна бути розв'язком рівняння
Зображення
де E— деяке стале число (енергія атома).
Оскільки потенціальна енергія залежить тільки від радіуса, то це рівняння краще розв'язувати в полярних координатах.
Лапласіан у прямокутних координатах визначався так:
Оскільки потенціальна енергія залежить тільки від радіуса, то це рівняння краще розв'язувати в полярних координатах.
Лапласіан у прямокутних координатах визначався так:
Зображення
Замість цього ми хочемо скористатися координатами r, θ, φ, зображеними на фіг. 17.1. Вони пов'язані з х, у, z формуламиЗображення
На вас чекають досить нудні алгебраїчні викладки, але зрештою ви повинні будете прийти до того, що для довільної функції f(r) = f(r, θ, φ):
Зображення
Отже, у полярних координатах рівняння, якому повинна задовольняти функція ψ(r, θ, φ), набуває вигляду
Зображення
