Ми з'ясували, що в станах, які описуються хвильовою функцією ψn (r), амплітуда ймовірності виявити електрон сферично симетрична; вона залежить тільки від r — відстані до протона. Момент кількості руху таких станів дорівнює нулю. Тепер займемося станами, у яких якийсь момент кількості руху є.
Можна було б, звичайно, просто дослідити суто математичну задачу відшукання функцій від r, θ і φ, що задовольняють диференціальному рівнянню (17.7), додавши тільки фізичну умову, що єдино прийнятні для нас функції — це такі, які при великих r прямують до нуля. Так майже завжди і роблять. Але ми спробуємо трохи скоротити наш шлях і скористатися тим, що ми вже знаємо, а саме тим, що нам відомо, як амплітуди залежать від просторових кутів.
Атом водню в тому чи іншому стані — це частинка з певним «спіном» j— квантовим числом повного моменту кількості руху. Частина цього спіна виникає від власного спіна електрона, інша — від руху електрона. Оскільки кожна з цих частин діє (у дуже гарному наближенні) незалежно, то ми, як і раніше, ігноруватимемо спінову частину і врахуємо тільки «орбітальний» момент. Утім, цей орбітальний рух точнісінько подібний до спіна. Скажімо, якщо орбітальне квантове число є l, то z-компонента моменту кількості руху може бути l, l — 1, l — 2, . . ., — l. (Ми, як завжди, вимірюємо все в одиницях h.) Крім того, як і раніше, годяться всі наші матриці повороту та інші відомі властивості. (Починаючи з цього місця, ми дійсно почнемо нехтувати спіном електрона; говорячи про «момент кількості руху», ми матимемо на увазі тільки орбітальну його частину.)
Оскільки поле з потенціалом V, у якому рухається електрон, залежить тільки від r, а не від θ і не від φ, то гамільтоніан симетричний відносно поворотів. Звідси випливає, що і момент кількості руху, і всі його проекції зберігаються. Це не є особлива властивість кулонівського потенціалу е2/r; вона справедлива при русі в будь-якому «центральному полі» — полі, що залежить тільки від r.
Уявімо собі якийсь можливий стан електрона; внутрішня кутова структура цього стану визначатиметься квантовим числом l. Залежно від «орієнтації» повного моменту кількості руху відносно осі z його проекція m на вісь z може дорівнювати одному з 2l+1 чисел між +l і —l. Нехай, наприклад, m=1. З якою амплітудою електрон опиниться на осі z на відстані r від початку? З нульовою. Електрон на осі z не може мати якогось орбітального моменту відносно цієї осі. Але нехай тоді m=0. Ось це інша справа; тепер уже може з'явитися не рівна нулю амплітуда того, що електрон опиниться на осі z на такій-то відстані від протона. Позначимо цю амплітуду Fl (r). Це — амплітуда того, що електрон буде виявлений на відстані r по осі z, коли атом перебуває в стані | l, 0>, тобто в стані з орбітальним моментом l і його z-компонентою m=0.
А якщо нам відомо Fl (r), то відомо все. Тепер уже в будь-якому стані | l, m> ми можемо дізнатися амплітуду ψl,m (r) того, що електрон виявиться в довільному місці атома. Як ми це дізнаємося? А ось стежте. Нехай у нас є атом у стані | l, m>. Якою є амплітуда того, що електрон виявиться під кутом θ, φ і на відстані r від початку? Проведіть нову вісь z, скажімо z′, під цим кутом (фіг. 17.3) і поставте запитання: якою є амплітуда того, що електрон опиниться на новій осі z′ на відстані r? Ми знаємо, що він не зможе опинитися на осі z′, якщо тільки m′— його z′ -компонента моменту кількості руху — не дорівнює нулю. Коли ж m′ =0, то амплітуда того, що електрон виявиться на осі z′ , є Fl (r). Отже, результат вийде перемноженням двох амплітуд. Перша — це амплітуда того, що атом, який перебуває в стані | l, m> відносно осі z, опиниться в стані | l, m′=0> відносно осі z′ . Помножте цю амплітуду на Fl (r) і ви отримаєте амплітуду ψl,m (r) того, що електрон виявиться в точці (r, θ, φ) відносно первісної системи осей.
Розпишімо все це. Матриці перетворення для поворотів ми вже обчислили. Щоб перейти від системи х, y, z до системи х′, y′, z′ (див. фіг. 17.3), можна спершу зробити поворот навколо осі z на кут φ, а потім зробити поворот навколо нової осі y (осі y′) на кут θ. Спільний поворот виразиться добутком
Можна було б, звичайно, просто дослідити суто математичну задачу відшукання функцій від r, θ і φ, що задовольняють диференціальному рівнянню (17.7), додавши тільки фізичну умову, що єдино прийнятні для нас функції — це такі, які при великих r прямують до нуля. Так майже завжди і роблять. Але ми спробуємо трохи скоротити наш шлях і скористатися тим, що ми вже знаємо, а саме тим, що нам відомо, як амплітуди залежать від просторових кутів.
Атом водню в тому чи іншому стані — це частинка з певним «спіном» j— квантовим числом повного моменту кількості руху. Частина цього спіна виникає від власного спіна електрона, інша — від руху електрона. Оскільки кожна з цих частин діє (у дуже гарному наближенні) незалежно, то ми, як і раніше, ігноруватимемо спінову частину і врахуємо тільки «орбітальний» момент. Утім, цей орбітальний рух точнісінько подібний до спіна. Скажімо, якщо орбітальне квантове число є l, то z-компонента моменту кількості руху може бути l, l — 1, l — 2, . . ., — l. (Ми, як завжди, вимірюємо все в одиницях h.) Крім того, як і раніше, годяться всі наші матриці повороту та інші відомі властивості. (Починаючи з цього місця, ми дійсно почнемо нехтувати спіном електрона; говорячи про «момент кількості руху», ми матимемо на увазі тільки орбітальну його частину.)
Оскільки поле з потенціалом V, у якому рухається електрон, залежить тільки від r, а не від θ і не від φ, то гамільтоніан симетричний відносно поворотів. Звідси випливає, що і момент кількості руху, і всі його проекції зберігаються. Це не є особлива властивість кулонівського потенціалу е2/r; вона справедлива при русі в будь-якому «центральному полі» — полі, що залежить тільки від r.
Уявімо собі якийсь можливий стан електрона; внутрішня кутова структура цього стану визначатиметься квантовим числом l. Залежно від «орієнтації» повного моменту кількості руху відносно осі z його проекція m на вісь z може дорівнювати одному з 2l+1 чисел між +l і —l. Нехай, наприклад, m=1. З якою амплітудою електрон опиниться на осі z на відстані r від початку? З нульовою. Електрон на осі z не може мати якогось орбітального моменту відносно цієї осі. Але нехай тоді m=0. Ось це інша справа; тепер уже може з'явитися не рівна нулю амплітуда того, що електрон опиниться на осі z на такій-то відстані від протона. Позначимо цю амплітуду Fl (r). Це — амплітуда того, що електрон буде виявлений на відстані r по осі z, коли атом перебуває в стані | l, 0>, тобто в стані з орбітальним моментом l і його z-компонентою m=0.
А якщо нам відомо Fl (r), то відомо все. Тепер уже в будь-якому стані | l, m> ми можемо дізнатися амплітуду ψl,m (r) того, що електрон виявиться в довільному місці атома. Як ми це дізнаємося? А ось стежте. Нехай у нас є атом у стані | l, m>. Якою є амплітуда того, що електрон виявиться під кутом θ, φ і на відстані r від початку? Проведіть нову вісь z, скажімо z′, під цим кутом (фіг. 17.3) і поставте запитання: якою є амплітуда того, що електрон опиниться на новій осі z′ на відстані r? Ми знаємо, що він не зможе опинитися на осі z′, якщо тільки m′— його z′ -компонента моменту кількості руху — не дорівнює нулю. Коли ж m′ =0, то амплітуда того, що електрон виявиться на осі z′ , є Fl (r). Отже, результат вийде перемноженням двох амплітуд. Перша — це амплітуда того, що атом, який перебуває в стані | l, m> відносно осі z, опиниться в стані | l, m′=0> відносно осі z′ . Помножте цю амплітуду на Fl (r) і ви отримаєте амплітуду ψl,m (r) того, що електрон виявиться в точці (r, θ, φ) відносно первісної системи осей.Розпишімо все це. Матриці перетворення для поворотів ми вже обчислили. Щоб перейти від системи х, y, z до системи х′, y′, z′ (див. фіг. 17.3), можна спершу зробити поворот навколо осі z на кут φ, а потім зробити поворот навколо нової осі y (осі y′) на кут θ. Спільний поворот виразиться добутком
Зображення
Амплітуда того, що після повороту виявиться стан | l, m′ = 0>, є
Зображення
Зображення
Орбітальний рух може мати тільки цілі значення l. (Якщо електрон може бути виявлений будь-де, де r≠0, то є деяка амплітуда того, що в цьому напрямку буде m=0. А стани з m=0 бувають тільки при цілих спінах.) Матриці повороту для l = 1 наведені в табл.15.2 (стор. 129). Для великих l ви можете скористатися загальними формулами, виведеними в розд. 16. Матриці Rz (φ) і Ry (θ) написані окремо, але як їх комбінувати, ви знаєте. У загальному випадку ви почнете зі стану | l, m> і подієте на нього оператором Rz (φ), отримавши новий стан Rz (φ) | l, m> (який просто дорівнює eimφ | l, m>). Потім ви подієте на цей стан оператором Ry (θ) і отримаєте стан Ry (θ) Rz (φ) | l, m>. Множення на <l, 0 | дасть вам матричний елемент (17.31).
Матричні елементи операції повороту — це алгебраїчні функції від θ і φ. Ті окремі види функцій, які з'являються в (17.31), виникають і в багатьох інших задачах, пов'язаних з хвилями на сфері. Їм присвоїли особливу назву. Щоправда, не у всіх авторів позначення однакові; найчастіше все ж пишуть
Функції Yl,m (θ, φ) називають сферичними гармоніками, а а — просто числовий множник, який залежить від того, як визначено Yl,m. При звичайному визначенні
Матричні елементи операції повороту — це алгебраїчні функції від θ і φ. Ті окремі види функцій, які з'являються в (17.31), виникають і в багатьох інших задачах, пов'язаних з хвилями на сфері. Їм присвоїли особливу назву. Щоправда, не у всіх авторів позначення однакові; найчастіше все ж пишуть
Функції Yl,m (θ, φ) називають сферичними гармоніками, а а — просто числовий множник, який залежить від того, як визначено Yl,m. При звичайному визначенні
Зображення
У цих позначеннях хвильові функції водню записуються так:
Зображення
Кутові функції Yl,m (θ, φ) важливі не тільки в багатьох квантовомеханічних задачах, а й у багатьох галузях класичної фізики, у яких зустрічається оператор ∇2, наприклад в електромагнетизмі. Як інший приклад їх застосування в квантовій механіці розглянемо розпад збудженого стану Ne20 (про який говорилося в попередньому розділі), який випускає α-частинку і перетворюється на О16:
Зображення
Припустимо, що збуджений стан має спін l (обов'язково цілий), а z-компонента моменту кількості руху є m. Запитаємо ось про що: якщо дано l і m, то якою є амплітуда того, що α-частинка вилетить у напрямку, що становить з віссю z кут θ і з площиною xz кут φ (фіг. 17.4)?Розв'язати цю задачу нам допоможе таке спостереження. Розпад, у якому α-частинка вилітає прямо вздовж осі z, повинен відбуватися зі стану з m=0. Це тому, що в самих О16 і α-частинки спін дорівнює нулю, а за рахунок руху вздовж осі z момент навколо цієї осі не створиш. Позначимо цю амплітуду a (на одиницю тілесного кута). Тоді, щоб знайти амплітуду розпаду під довільним кутом (див. фіг. 17.4), залишається тільки дізнатися, з якою амплітудою даний початковий стан матиме нульовий момент відносно напрямку розпаду. Амплітуда того, що розпад буде в напрямку (θ, φ), тоді дорівнюватиме добутку a на амплітуду того, що стан | l, m> відносно осі z опиниться в стані | l, 0> відносно z (напрямку розпаду). Ця остання амплітуда якраз і є те, що ми писали в (17.31). Ймовірність побачити α-частинку під кутом (θ, φ), отже, дорівнює
Зображення
Для прикладу розглянемо початковий стан з l = 1 і різними m. Із табл. 15.2 (стор. 129) ми знаємо всі потрібні амплітуди:
Зображення
Це і є три можливі амплітуди кутових розподілів, залежно від того, яке m у початкового ядра.
Такі амплітуди, як (17.36), зустрічаються так часто і такі важливі, що їм дали кілька назв. Якщо амплітуда кутового розподілу пропорційна будь-якій з цих трьох функцій або будь-якій їхній лінійній комбінації, то ми говоримо: «орбітальний момент системи дорівнює одиниці». Або можна сказати: «Ne20* випускає р-хвилю». Або кажуть: «α-частинка випускається в стані з l=1». Виразів так багато, що навіть варто скласти словничок. Якщо ви хочете розуміти розмову фізиків, то вам просто треба вивчити їхню мову. У табл. 17.1 наведено словник орбітальних моментів кількості руху.
Такі амплітуди, як (17.36), зустрічаються так часто і такі важливі, що їм дали кілька назв. Якщо амплітуда кутового розподілу пропорційна будь-якій з цих трьох функцій або будь-якій їхній лінійній комбінації, то ми говоримо: «орбітальний момент системи дорівнює одиниці». Або можна сказати: «Ne20* випускає р-хвилю». Або кажуть: «α-частинка випускається в стані з l=1». Виразів так багато, що навіть варто скласти словничок. Якщо ви хочете розуміти розмову фізиків, то вам просто треба вивчити їхню мову. У табл. 17.1 наведено словник орбітальних моментів кількості руху.
Зображення
Якщо орбітальний момент дорівнює нулю, то повороти системи координат нічого не змінюють і залежності від кута немає: «залежність» від кута має вигляд сталої, скажімо 1. Це називають «s-станом». Існує тільки один такий стан, оскільки йдеться лише про залежність від кута. Якщо орбітальний момент дорівнює 1, то амплітуда залежності від кутів може бути однією з трьох наведених функцій, залежно від того, чому дорівнює m, або їхньою лінійною комбінацією. Їх називають «р-станами». Таких станів три. Якщо орбітальний момент дорівнює 2, то подібних функцій п'ять (див. таблицю). Будь-яка їхня лінійна комбінація називається «l =2»-амплітудою, або амплітудою «d-хвилі». Тепер ви одразу здогадаєтеся, яка буде наступна буква. Що повинно йти після s, p, d? Ну, звичайно ж, f,g,h і т. д. за алфавітом. Ці букви нічого не означають. [Колись вони щось означали: «різка» (sharp), «головна» (principal), «дифузна» (diffuse) і «фундаментальна» (fundamental) серії ліній оптичного спектра атомів. Але це було тоді, коли ще не було відомо, звідки ці серії ліній беруться. Після f особливих назв уже не було, тож ми зараз просто продовжуємо g, h і т. д.]
Кутові функції в таблиці проходять під кількома іменами і визначаються часом з невеликими варіаціями в числових множниках, що стоять попереду. Іноді їх називають «сферичні гармоніки» і позначають Yl,m (θ, φ). Іноді їх пишуть Рml (cos θ) eimφ, а при m=0 просто Pl (cos θ). Функції Pl (cos θ) називаються «поліномами Лежандра» по cos θ, а функції Рml (cos θ) іменують «приєднаними функціями Лежандра». Таблиці цих функцій зустрічаються в багатьох книгах.
Зверніть, до речі, увагу, що всі функції з даним l мають одну й ту саму парність — при непарних l вони від інверсії змінюють свій знак, при парних l — ні. Тому можна написати, що парність стану з орбітальним моментом l дорівнює (—1)l.
Як ми бачили, одні й ті самі кутові розподіли можуть стосуватися різних речей: ядерного розпаду, інших ядерних процесів, розподілу амплітуд спостереження електрона в тому чи іншому місці атома водню. Наприклад, якщо електрон перебуває в р-стані (l=1), то амплітуда того, що він виявиться в якомусь місці, залежить від кута певним чином, але завжди являє собою лінійну комбінацію трьох функцій для l=1 з табл. 17.1. Візьмемо дуже цікавий випадок cos θ. Він означає, що амплітуда, скажімо, додатна у верхній частині (θ<π/2), від'ємна в нижній (θ>π/2) і дорівнює нулю при θ=90°. Підносячи її до квадрата, бачимо, що ймовірність зустріти електрон змінюється з θ так, як показано на фіг. 17.5, і не залежить від φ. Такий кутовий розподіл відповідальний за те, що в молекулярному зв'язку притягання електрона в стані l=1 до іншого атома залежить від напрямку. Звідси бере свій початок напрямлена валентність хімічного притягання.
Кутові функції в таблиці проходять під кількома іменами і визначаються часом з невеликими варіаціями в числових множниках, що стоять попереду. Іноді їх називають «сферичні гармоніки» і позначають Yl,m (θ, φ). Іноді їх пишуть Рml (cos θ) eimφ, а при m=0 просто Pl (cos θ). Функції Pl (cos θ) називаються «поліномами Лежандра» по cos θ, а функції Рml (cos θ) іменують «приєднаними функціями Лежандра». Таблиці цих функцій зустрічаються в багатьох книгах.
Зверніть, до речі, увагу, що всі функції з даним l мають одну й ту саму парність — при непарних l вони від інверсії змінюють свій знак, при парних l — ні. Тому можна написати, що парність стану з орбітальним моментом l дорівнює (—1)l.
Як ми бачили, одні й ті самі кутові розподіли можуть стосуватися різних речей: ядерного розпаду, інших ядерних процесів, розподілу амплітуд спостереження електрона в тому чи іншому місці атома водню. Наприклад, якщо електрон перебуває в р-стані (l=1), то амплітуда того, що він виявиться в якомусь місці, залежить від кута певним чином, але завжди являє собою лінійну комбінацію трьох функцій для l=1 з табл. 17.1. Візьмемо дуже цікавий випадок cos θ. Він означає, що амплітуда, скажімо, додатна у верхній частині (θ<π/2), від'ємна в нижній (θ>π/2) і дорівнює нулю при θ=90°. Підносячи її до квадрата, бачимо, що ймовірність зустріти електрон змінюється з θ так, як показано на фіг. 17.5, і не залежить від φ. Такий кутовий розподіл відповідальний за те, що в молекулярному зв'язку притягання електрона в стані l=1 до іншого атома залежить від напрямку. Звідси бере свій початок напрямлена валентність хімічного притягання.