Спектр абсолютно чорного тіла

Ми хочемо тепер використати наші правила для бозе-частинок, щоб ще раз отримати спектр випромінювання абсолютно чорного тіла [див. гл. 42 (вип. 4)]. Ми зробимо це, підрахувавши, скільки фотонів міститься в ящику, якщо випромінювання перебуває в тепловій рівновазі з атомами в ящику. Припустимо, що кожній світловій частоті ω відповідає певна кількість N атомів із двома енергетичними станами, які відрізняються на енергію ΔЕ = hω (фіг. 2.6). Стан з меншою енергією ми назвемо «основним», з більшою — «збудженим». Нехай N_осн і N_збудж — середні числа атомів в основному і збудженому станах; тоді для теплової рівноваги  при  температурі T зі статистичної механіки випливає

Кожен атом в основному стані може поглинути фотон і перейти в збуджений стан, а кожен атом у збудженому стані може випустити фотон і перейти в основний стан. При рівновазі швидкості цих двох процесів мають бути рівні. Швидкості пропорційні ймовірності подій і кількості наявних атомів. Нехай n — середнє число фотонів, що перебувають у даному стані з частотою ω. Тоді швидкість поглинання з цього стану є N_осн n|a|²  а швидкість випускання в цей стан є N_збудж (n + 1)|a|². Прирівнюючи одну до одної ці дві швидкості, ми отримуємо

Це і є середнє число фотонів у будь-якому стані з частотою ω при тепловій рівновазі в порожнині. Оскільки енергія кожного фотона hω, то енергія фотонів у даному стані є nhω, або

До речі, ми вже отримували подібний вираз в іншому зв'язку [див. гл. 41 (вип. 4), формула (41.15)]. Згадайте, що для гармонічного осцилятора (скажімо, вантажика на пружинці) квантовомеханічні рівні енергії розташовані один від одного на рівних відстанях hω, як показано на фіг. 2.7. Позначивши енергію n-го рівня через nhω, ми отримали, що середня енергія такого осцилятора теж давалася виразом (2.33). А зараз цей вираз було виведено для фотонів шляхом підрахунку їхнього числа, і він привів до того самого результату. Перед вами — одне з чудес квантової механіки. Якщо почати з розгляду таких станів чи таких умов для бозе-частинок, коли вони одна з одною не взаємодіють (ми ж припустили, що фотони не взаємодіють одна з одною), а потім вважати, що в ці стани можуть бути поміщені нуль, або одна, або дві і т. д. аж до n частинок, то виявляється, що ця система поводиться в усіх квантовомеханічних відношеннях точнісінько як гармонічний осцилятор. Таким осцилятором вважається динамічна система на кшталт вантажика на пружинці або стоячої хвилі в резонансній порожнині. Ось чому електромагнітне поле можна уявляти фотонними частинками. З одного погляду можна аналізувати електромагнітне поле в ящику чи порожнині в термінах множини гармонічних осциляторів, розглядаючи кожен тип коливань, згідно з квантовою механікою, як гармонічний осцилятор. З іншого, відмінного погляду ту саму фізику можна аналізувати в термінах тотожних бозе-частинок. І підсумки обох способів міркувань завжди точно збігаються. Неможливо встановити, чи слід насправді описувати електромагнітне поле у вигляді квантованого гармонічного осцилятора, чи задавати кількість фотонів у кожному стані. Обидва погляди на речі виявляються математично тотожними. У майбутньому ми зможемо з рівним правом говорити або про число фотонів у деякому стані в ящику, або про номер рівня енергії, пов'язаного з певним типом коливань електромагнітного поля. Це два способи говорити про те саме. Те саме стосується і фотонів у порожньому просторі. Вони еквівалентні коливанням порожнини, стінки якої відійшли в нескінченність.
 
Ми підрахували середню енергію довільного окремого типу коливань у ящику при температурі T; щоб отримати закон випромінювання абсолютно чорного тіла, залишається дізнатися лише одне: скільки типів коливань буває при кожній енергії. (Ми припускаємо, що для кожного типу коливань знайдуться такі атоми в ящику — чи в його стінках,— у яких є рівні енергії, здатні приводити до випромінювання цього типу коливань, так що кожен тип може прийти в теплову рівновагу.) Закон випромінювання абсолютно чорного тіла зазвичай формулюють, вказуючи, скільки енергії в одиниці об'єму виноситься світлом у малому інтервалі частот від ω до ω + Δω. Тож нам потрібно знати, скільки типів коливань із частотою в інтервалі Δω є в ящику. Хоча це питання раз у раз виникає в квантовій механіці, це все ж суто класичне питання, що стосується стоячих хвиль.
Відповідь ми отримаємо лише для прямокутного ящика. Для довільного ящика виходить те саме, тільки викладки куди складніші. Нас іще цікавитиме ящик, розміри якого набагато більші за довжину світлових хвиль. У цьому випадку типів коливань буде безліч-безліч; у кожному малому інтервалі частот Δω їх виявиться дуже багато, так що можна буде говорити про їхнє «середнє число» в кожному інтервалі Δω при частоті ω. Почнемо з того, що запитаємо себе, скільки типів коливань буває в одновимірному випадку — у хвиль у натягнутій струні. Ви знаєте, що кожен тип коливань — це синусоїда, крива, яка на обох кінцях перетворюється на нуль; іншими словами, на всій довжині лінії (фіг. 2.8) має вкладатися ціле число півхвиль. Ми віддаємо перевагу хвильовому числу k = 2π/λ; позначаючи хвильове число j-го типу коливань через k_j, отримуємо

де j — ціле. Проміжок δk між послідовними типами дорівнює

Нам зручно вибрати таке велике kL, що в малому інтервалі  Δk  опиняється  безліч  типів коливань. Позначивши число типів коливань в інтервалі Δk через ΔN, маємо

Фізики-теоретики, які займаються квантовою механікою, зазвичай воліють говорити, що типів коливань удвічі менше; вони пишуть

І ось чому. Їм зазвичай більше подобається мислити мовою біжучих хвиль — тих, що йдуть праворуч (з k додатними) і тих, що йдуть ліворуч (з k від'ємними). Але «тип коливань», або «власне коливання»,— це стояча хвиля, тобто сума двох хвиль, кожна з яких біжить у своєму напрямку. Іншими словами, вони вважають, що кожна стояча хвиля включає два різні фотонні «стани». Тому якщо вважати за краще розуміти під ΔN число фотонних станів з даним k (де тепер уже k може бути й додатним, і від'ємним), то тоді ΔN виявиться вдвічі меншим. (Усі інтеграли тепер потрібно буде брати від k = — ∞ до k = + ∞, і загальне число станів аж до будь-якого заданого абсолютного значення k вийде таким, як треба.) Звісно, стоячі хвилі ми тоді не зможемо добре описувати, але підрахунок типів коливань ітиме узгоджено.
 
Тепер наші результати ми узагальнимо на три виміри. Стояча хвиля в прямокутному ящику повинна мати ціле число півхвиль уздовж кожної осі. Випадок двох вимірів наведено на фіг. 2.9. Кожен напрямок і частота хвилі описуються вектором хвильового числа k. Його x-, у- та z-компоненти мають задовольняти рівнянням типу (2.34). Отже, ми маємо

Число типів коливань з k_x в інтервалі Δk_x, як і раніше, дорівнює
те саме й з Δk_y , і з Δk_z. Якщо позначити через ΔN (k) число таких типів коливань, у яких векторне хвильове число k має x-компоненту в інтервалі від k_x до k_x+Δk_x, у-компоненту в інтервалі від k_y до k_y+ Δk_y і z-компоненту в інтервалі від k_z до k_z + Δk_z, то

Добуток L_x L_y L_z — це об'єм V ящика. Отже, ми дійшли важливого результату, що для високих частот (довжин хвиль, менших, ніж габарити порожнини) число мод (типів коливань) у порожнині пропорційне її об'єму V і «об'єму в k-просторі» Δk_xΔk_y Δk_z. Цей результат раз у раз з'являється то в одній, то в іншій задачі, і його варто запам'ятати:

Хоч ми цього й не довели, результат не залежить від форми ящика.
 
Тепер ми застосуємо цей результат, щоб знайти число фотонних мод для фотонів із частотами в інтервалі Δω. Нас цікавить лише енергія різних власних коливань, а не напрямки самих хвиль. Ми хочемо знати число власних коливань у даному інтервалі частот. У вакуумі величина k пов'язана з частотою формулою

Отже, в інтервал частот Δω потрапляють усі моди, що відповідають векторам k, величина яких змінюється від k до k +Δk незалежно від напрямку. «Об'єм у k-просторі» між k і k + Δk — це сферичний шар, об'єм якого дорівнює

Кількість власних коливань (мод) тоді дорівнює

Однак оскільки  нас цікавлять частоти,  то треба підставити k =ω/с, і ми отримуємо

Але тут виникає одне ускладнення. Якщо ми говоримо про власні коливання електромагнітної хвилі, то кожному даному хвильовому вектору k може відповідати будь-яка з двох поляризацій (перпендикулярних одна одній). Оскільки ці власні коливання незалежні, то потрібно (для світла) подвоїти їхнє число. І ми маємо

Ми вже показали [див. (2.33)], що кожне власне коливання (мода, тип коливань, «стан») має в середньому енергію

Помножуючи це на число власних коливань, ми отримуємо енергію ΔЕ, якою володіють власні коливання, що лежать в інтервалі Δω:

Це і є закон для спектра частот випромінювання абсолютно чорного тіла, знайдений нами вже одного разу в гл. 41 (вип. 4). Цей спектр накреслено на фіг. 2.10. Ви тепер бачите, що відповідь залежить від того факту, що фотони є бозе-частинками — частинками, які мають тенденцію збиратися всі разом в одному й тому самому стані (амплітуда такої поведінки велика). Ви пам'ятаєте, що саме Планк, який вивчав спектр абсолютно чорного тіла (що становив загадку для класичної фізики) і відкрив формулу (2.43), поклав тим самим початок квантовій механіці.