Перш ніж перейти до основної теми цього розділу, ми хотіли б викласти кілька математичних ідей, які часто зустрічаються в книгах з квантової механіки. Знання їх полегшить вам читання інших книг чи статей з цього предмета. Перша ідея — це тісна математична подібність між рівняннями квантової механіки і формулами для скалярного добутку двох векторів. Ви пам'ятаєте, що якщо x і φ — два стани, то амплітуда почати у φ і закінчити в x можна записати у вигляді суми (за повною сукупністю базисних станів) амплітуд переходу з φ в один з базисних станів і потім з цього базисного стану вже в x:
Зображення
Ми пояснювали це за допомогою приладу Штерна — Герлаха, але тепер нагадуємо вам, що в цих приладах нема потреби. Рівняння (6.1) — це математичний закон, який справедливий завжди, незалежно від того, є в нас фільтрувальне обладнання чи ні; взагалі зовсім не обов'язково уявляти наявність якогось приладу. Можна розглядати це просто як формулу для амплітуди <x|φ>.
Зіставимо (6.1) з формулою для скалярного добутку двох векторів В і А. Якщо В і А — звичайні тривимірні вектори, то скалярний добуток можна записати так:
Зіставимо (6.1) з формулою для скалярного добутку двох векторів В і А. Якщо В і А — звичайні тривимірні вектори, то скалярний добуток можна записати так:
Зображення
вважаючи, що символ еi позначає будь-який з трьох одиничних векторів у напрямках x, y і z. Тоді В·е1— це те, що зазвичай називають Вx, а В·е2— те, що зазвичай називають Вy , і т. д. Отже, (6.2) еквівалентно
Зображення
а це і є скалярний добуток В·А.
Порівняння (6.1) з (6.2) виявляє таку аналогію. Стани x і φ відповідають двом векторам А і В. Базисні стани i відповідають спеціальним векторам еi, до яких ми відносимо всі інші вектори. Будь-який вектор можна подати як лінійну комбінацію трьох «базисних векторів» еi. Далі, якщо вам відомі коефіцієнти при кожному «базисному векторі» в цій комбінації, тобто три його компоненти, то ви знаєте про вектор усе. Так само будь-який квантовомеханічний стан можна повністю описати амплітудами < i |φ> переходу в базисні стани, і якщо ці коефіцієнти вам відомі, то ви знаєте все, що можна знати про стан. Через цю тісну аналогію те, що ми назвали «станом», часто називають «вектором стану».
Оскільки базисні вектори еi перпендикулярні один одному, то існує співвідношення
Порівняння (6.1) з (6.2) виявляє таку аналогію. Стани x і φ відповідають двом векторам А і В. Базисні стани i відповідають спеціальним векторам еi, до яких ми відносимо всі інші вектори. Будь-який вектор можна подати як лінійну комбінацію трьох «базисних векторів» еi. Далі, якщо вам відомі коефіцієнти при кожному «базисному векторі» в цій комбінації, тобто три його компоненти, то ви знаєте про вектор усе. Так само будь-який квантовомеханічний стан можна повністю описати амплітудами < i |φ> переходу в базисні стани, і якщо ці коефіцієнти вам відомі, то ви знаєте все, що можна знати про стан. Через цю тісну аналогію те, що ми назвали «станом», часто називають «вектором стану».
Оскільки базисні вектори еi перпендикулярні один одному, то існує співвідношення
Зображення
Це відповідає співвідношенню (3.25) між базисними станами i
Зображення
Тепер ви розумієте, чому кажуть, що базисні стани i усі «ортогональні один одному».
Між (6.1) і скалярним добутком є одна мінімальна відмінність. У нас
Між (6.1) і скалярним добутком є одна мінімальна відмінність. У нас
Зображення
У квантовій механіці з її комплексними числами ми зобов'язані дотримувати порядок множників, а в скалярному добутку порядок не має значення.
Тепер розглянемо таке векторне рівняння:
Тепер розглянемо таке векторне рівняння:
Зображення
воно трохи незвичне, але тим не менш правильне. І означає воно те саме, що й
Зображення
Зауважте, однак, що в (6.6) входить величина, відмінна від скалярного добутку. Скалярний добуток — це просто число, а (6.6) — векторне рівняння. Одним з великих прийомів векторного аналізу було абстрагувати від рівнянь ідею самого вектора. Так само можна спробувати абстрагувати від рівняння (6.1) те, що в квантовій механіці є аналогом «вектора». І це справді можна зробити. Прибираємо <x| з обох сторін (6.1) і пишемо таке рівняння (не лякайтеся — це просто позначення, і через пару хвилин ви дізнаєтеся, що означають ці символи):
Зображення
Дужку <х | φ> уявляють собі як таку, що складається з двох половинок. Другу половинку |φ> називають кет, а першу <x| називають бра (поставлені поряд вони утворюють бра-кет≡bra-cket, скоб-ка≡скобка — позначення, запропоноване Діраком); напівсимволи <x| і |φ> також називають векторами стану. Це зовсім не числа, а нам взагалі-то потрібно, щоб результати наших розрахунків виражалися числами; отже, такі «незакінчені» величини є проміжними кроками в розрахунках.
До цього часу ми всі свої результати виражали за допомогою чисел. Як же ми примудрялися уникати векторів? Цікаво, що навіть у звичайній векторній алгебрі можна зробити так, щоб у всі рівняння входили лише числа. Наприклад, замість векторного рівняння типу
До цього часу ми всі свої результати виражали за допомогою чисел. Як же ми примудрялися уникати векторів? Цікаво, що навіть у звичайній векторній алгебрі можна зробити так, щоб у всі рівняння входили лише числа. Наприклад, замість векторного рівняння типу
Зображення
Виходить рівняння, що зв'язує скалярні добутки і справедливе для будь-якого вектора С. Але якщо воно правильне для будь-якого С, то навряд чи має сенс взагалі писати це С!
Тепер повернемося до (6.1). Це рівняння справедливе при будь-яких x. Отже, для скорочення запису ми повинні просто прибрати x і написати замість (6.1) рівняння (6.8). Це рівняння дасть нам ту саму інформацію, лише б ми розуміли, що його завжди належить «завершити», «помноживши зліва на...», тобто просто дописавши якесь <х| з обох сторін знака рівності. Отже, (6.8) означає точнісінько те саме, що й (6.1),— не більше й не менше. Якщо ви віддаєте перевагу числам, ви підставляєте те <x|, яке вам потрібне.
Можливо, ви в рівнянні (6.8) уже націлилися і на φ? Раз (6.8) справедливе при будь-якому φ, навіщо ж нам його тримати? І справді, Дірак пропонує абстрагуватися і від φ, так що залишається тільки
Тепер повернемося до (6.1). Це рівняння справедливе при будь-яких x. Отже, для скорочення запису ми повинні просто прибрати x і написати замість (6.1) рівняння (6.8). Це рівняння дасть нам ту саму інформацію, лише б ми розуміли, що його завжди належить «завершити», «помноживши зліва на...», тобто просто дописавши якесь <х| з обох сторін знака рівності. Отже, (6.8) означає точнісінько те саме, що й (6.1),— не більше й не менше. Якщо ви віддаєте перевагу числам, ви підставляєте те <x|, яке вам потрібне.
Можливо, ви в рівнянні (6.8) уже націлилися і на φ? Раз (6.8) справедливе при будь-якому φ, навіщо ж нам його тримати? І справді, Дірак пропонує абстрагуватися і від φ, так що залишається тільки
Зображення
Ось який він — великий закон квантової механіки! Цей закон стверджує, що якщо ви вставите будь-які два стани x і φ з обох сторін, зліва і справа, то знову повернетеся до (6.1). Рівняння (6.9), взагалі-то, не дуже корисне, але зате є неплохим нагадуванням про те, що рівняння виконується для будь-яких двох станів.