Отже, ідея полягає в тому, що для квантовомеханічного опису світу потрібно вибрати сукупність базисних станів i і написати фізичні закони, задавши матрицю коефіцієнтів Hij Тоді в нас буде все, що потрібно,— ми зможемо відповідати на будь-яке запитання про те, що станеться. Нам залишається вивчити правила, за якими знаходять H відповідно до даної фізичної обстановки: яке H відповідає магнітному полю, яке електричному і т. д. Це найважча частина справи. Наприклад, для нових дивних частинок ми зовсім не уявляємо, які Hij вживати. Іншими словами, ніхто не знає повного Hij для всього світу. (Частково труднощі полягають у тому, що навряд чи можна надіятися на відкриття Hij, якщо нікому не відомо, якими є базисні стани!) Ми справді володіємо чудовими наближеннями для нерелятивістських явищ і деяких інших особливих випадків. Зокрема, ми знаємо вигляд Hij, потрібний для рухів електронів в атомах — для опису хімії. Але ми не знаємо повного, істинного H для всього Всесвіту.
Коефіцієнти Hij називають гамільтоновою матрицею, або, коротше, просто гамільтоніаном. (Як вийшло, що Гамільтон, який працював у 30-х роках минулого століття, дав своє ім'я квантовомеханічній матриці,— історія довга.) Значно краще було б називати її енергетичною матрицею з причин, які стануть ясні, коли ми попрацюємо з нею. Отже, все зійшлося на гамільтоніані. Як дізнатися гамільтоніан — от у чому питання!
У гамільтоніана є одна властивість, яка виводиться відразу ж:
Коефіцієнти Hij називають гамільтоновою матрицею, або, коротше, просто гамільтоніаном. (Як вийшло, що Гамільтон, який працював у 30-х роках минулого століття, дав своє ім'я квантовомеханічній матриці,— історія довга.) Значно краще було б називати її енергетичною матрицею з причин, які стануть ясні, коли ми попрацюємо з нею. Отже, все зійшлося на гамільтоніані. Як дізнатися гамільтоніан — от у чому питання!
У гамільтоніана є одна властивість, яка виводиться відразу ж:
Зображення
Це випливає з того, що повна ймовірність перебування системи хоч у якомусь стані не повинна змінюватися. Якщо на початку у вас була частинка (або будь-який об'єкт, або весь світ), то з часом вона зникнути не може. Повна ймовірність її десь знайти дорівнює
Зображення
що не повинно змінюватися з часом. Якщо це зобов'язане виконуватися для будь-якої початкової умови φ, то рівняння (6.40) теж має виконуватися.
Як перший приклад візьмемо випадок, коли фізичні умови не змінюються з часом; ми маємо на увазі зовнішні фізичні умови, так що H не залежить від часу, ніяких магнітів ніхто не включає і не вимикає. Виберемо також систему, для опису якої достатньо одного базисного стану; таке наближення годиться для атома водню, що перебуває в спокої, і подібних систем. Рівняння (6.39) тоді стверджує, що
Як перший приклад візьмемо випадок, коли фізичні умови не змінюються з часом; ми маємо на увазі зовнішні фізичні умови, так що H не залежить від часу, ніяких магнітів ніхто не включає і не вимикає. Виберемо також систему, для опису якої достатньо одного базисного стану; таке наближення годиться для атома водню, що перебуває в спокої, і подібних систем. Рівняння (6.39) тоді стверджує, що
Зображення
Тільки одне рівняння — і все! Якщо Н11 постійне, це диференціальне рівняння легко розв'язується, даючи
Зображення
Так залежить від часу стан з визначеною енергією Е=Н11. Ви бачите, чому Hij варто було б називати енергетичною матрицею: вона узагальнює поняття енергії на складніші випадки.
Слідом за цим, щоб ще краще розібратися в сенсі рівнянь, розглянемо систему з двома базисними станами. Тоді (6.39) читається так:
Слідом за цим, щоб ще краще розібратися в сенсі рівнянь, розглянемо систему з двома базисними станами. Тоді (6.39) читається так:
Зображення
Якщо всі H знову не залежать від часу, то ці рівняння легко розв'язати. Для інтересу зробіть це самостійно, а ми пізніше ще повернемося до них. Отже, ви вже можете проводити розрахунки з квантової механіки, знаючи про H лише те, що воно не залежить від часу!