Ми виявили, що будь-який стан у світі можна подати у вигляді суперпозиції (лінійної комбінації з відповідними коефіцієнтами) базисних станів. Ви маєте право запитати, по-перше: яких саме базисних станів? Що ж, можливостей тут чимало. Можна, наприклад, взяти проєкцію спіну на напрямок z або на якийсь інший напрямок. Є дуже-дуже багато різних представлень— аналогів різних систем координат, які можна застосовувати для представлення звичайних векторів. Потім можна запитати: з якими коефіцієнтами їх брати? А це вже залежить від фізичних обставин. Різні сукупності коефіцієнтів відповідають різним фізичним умовам. Тут важливо знати одну річ — «простір», у якому ви працюєте, іншими словами, знати, що ці базисні стани означають фізично. Тож перше, що ви, взагалі кажучи, повинні знати,— це на що схожі базисні стани. Тоді вам стане зрозуміло, як описувати стан речей мовою цих базисних станів.
Ми хотіли б трохи заглянути вперед і трохи поговорити про те, яким найімовірніше виявиться загальний квантовомеханічний опис природи — у всякому разі, яким він буде, судячи з нинішніх фізичних уявлень. Перш за все треба зробити той чи інший вибір представлення базисних станів (завжди ж бо можливі різні представлення). Наприклад, для частинки зі спіном 1/2 можна використовувати плюс- і мінус-стани відносно осі z. В осі z немає нічого особливого — можете вибрати будь-яку вісь, яку захочете. Але для однаковості ми завжди будемо брати вісь z. Почнемо з випадку одного електрона. Поряд з двома можливостями для спіну (вгору і вниз по осі z) електрон має ще імпульс. Ми вибираємо сукупність базисних станів, по одному на кожне значення імпульсу. А що якщо в електрона немає визначеного імпульсу? Нічого страшного: ми ж говоримо тільки про те, якими є базисні стани. Якщо в електрона не буде визначеного імпульсу, то в нього якась амплітуда буде мати один імпульс, а якась — інший і т. д. А якщо він обертається не обов'язково спіном угору, то в нього є якась амплітуда обертатися при цьому імпульсі спіном угору, а якась — униз і т. д. Для повного опису електрона, наскільки нам зараз відомо, потрібно лише, щоб базисні стани описувалися імпульсом і спіном. Отже, одна з прийнятних сукупностей базисних станів | i> для окремого електрона вказує різні значення імпульсу і ще напрямок, куди дивиться спін,— угору чи вниз. Різні суміші амплітуд, тобто різні поєднання чисел C, описують різні обставини. Те, що робить той чи інший електрон, описується тим, що повідомляється, з якою амплітудою його спін може бути вгору, а з якою — униз, причому імпульс дорівнюватиме тому чи іншому числу, і так для всіх можливих імпульсів. Ви тепер бачите, що потрібно для повного квантовомеханічного опису окремого електрона.
А як справи із системами кількох електронів? У цих випадках базисні стани стають складнішими. Нехай електронів пара. По-перше, є чотири можливих стани щодо спіну: у обох електронів спіни вгору, або в першого вгору, а в другого вниз, або в першого вниз, а в другого вгору, або в обох вниз. Крім того, потрібно вказати, що в першого електрона імпульс р1 а в другого імпульс р2. Базисні стани для двох електронів вимагають вказання двох імпульсів і двох значків для спіну. Для сімки електронів потрібно вказати сім пар таких чисел.
Якщо ж є протон і електрон, то потрібно вказати напрямок спіну протона і його імпульс, а також напрямок спіну електрона і його імпульс. Принаймні, у якомусь наближенні це так. Ми насправді не знаємо, яким є правильне представлення для нашого світу. Ми починаємо з припущення, що якщо вказати спін і імпульс електрона і те саме для протона, то вийдуть базисні стани; все це дуже добре, але як бути з «протонними внутрішностями»? Справді, розсудимо так. В атомі водню, в якому є один протон і один електрон, доводиться описувати безліч різних базисних станів, відзначати напрямки вгору і вниз у спінів протона й електрона і всілякі імпульси протона й електрона. Потім є різні комбінації амплітуд Сi; усі разом вони описують характер атома водню в тих чи інших станах. Але уявіть, що ми дивимося на цілий атом водню як на «частинку». Якби ми не знали, що він складається з протона й електрона, то могли б сказати: «О, я знаю, які в нього базисні стани — вони відповідають різним імпульсам атома водню». Але це насправді не так, бо в атома водню є якісь внутрішні частини. Отже, у нього можуть бути різні стани з різною внутрішньою енергією, і опис реальної природи вимагав би подальших подробиць.
Те саме і з протоном. Питання стоїть так: чи є в протона внутрішні частини? Чи повинні ми описувати протон, задаючи всі можливі стани протонів, мезонів або дивних частинок? Ми цього не знаємо. І навіть хоча ми припускаємо, що електрон простий і все, що про нього можна сказати,— це задати його імпульс і спін, але ж не виключена можливість завтра відкрити наявність усередині електрона якихось коліщаток і шестерень. А це означатиме, що наше представлення неповне, або неправильне, або неточне, так само як представлення атома водню, що описує тільки його імпульс, було б неповним, бо воно нехтувало би тим фактом, що атом водню може виявитися збудженим усередині. Якщо електрон теж може виявитися збудженим усередині і перетворитися ще на щось, наприклад на мюон, то його слід було б описувати не простим заданням станів нової частинки, а, ймовірно, в термінах складніших внутрішніх коліщаток. Головна сьогоднішня проблема у вивченні фундаментальних частинок і полягає в тому, щоб відкрити, якими є правильні представлення для опису природи. Наразі ми вважаємо, що для електрона достатньо вказувати його імпульс і спін. Але ми вважаємо також, що існує ідеалізований протон, який має при собі свої π-мезони, свої K-мезони і т. д., і всі вони повинні бути відзначені. Але ж відзначати кілька десятків частинок мало сенсу! Питання про те, що є фундаментальною частинкою, а що — не фундаментальною,— питання, про яке стільки зараз говориться,— це питання про те, на що буде схоже остаточне представлення в остаточному квантовомеханічному описі світу. Чи буде така річ, як імпульс електрона, усе ще здатна описувати природу? І взагалі чи потрібно все питання ставити саме таким чином! Такі думки безперервно виникають у будь-якому науковому дослідженні. У всякому разі, проблема нам зрозуміла — як знайти представлення? Але відповіді ми не знаємо. Ми навіть не знаємо, «чи в цьому полягає» проблема чи ні; але якщо проблема в цьому, то спершу потрібно спробувати з'ясувати, «фундаментальна» чи ні кожна окрема частинка.
У нерелятивістській квантовій механіці, де енергії не дуже високі і де ви не торкаєтеся внутрішньої будови дивних частинок і т. п., ви можете робити дуже складні розрахунки, не переймаючись цими деталями. Ви можете просто зупинитися на імпульсах і спінах електронів і ядер, і все буде гаразд. У більшості хімічних реакцій та інших низькоенергетичних подій у ядрах нічого не відбувається; вони не збуджуються. Далі, якщо атом водню рухається повільно і якщо він спокійно стукається про інші атоми водню і нічого всередині нього не збуджується, не випромінюється, ніяких ускладнень не відбувається, а все залишається в основному стані енергії внутрішнього руху,— у цьому випадку ви можете користуватися наближенням, при якому про атом водню говорять як про окремий предмет, чи частинку, не переймаючись тим, що він може щось усередині себе з собою зробити. Це буде добрим наближенням доти, доки кінетична енергія в будь-якому зіткненні буде помітно меншою за 10 еВ, тобто енергії, потрібної для того, щоб збудити атом водню до наступного внутрішнього стану. Ми часто будемо вдаватися до наближення, при якому виключається можливість внутрішнього руху, тим самим зменшуючи число деталей, які мають бути враховані в наших базисних станах. Звичайно, при цьому ми відкидаємо деякі явища, які проявляються (як правило) за якихось вищих енергій, але таке наближення сильно спрощує аналіз фізичних задач. Наприклад, можна розмірковувати про зіткнення двох атомів водню за низької енергії (або про будь-який хімічний процес), не переймаючись тим, що атомні ядра можуть збуджуватися. Отже, підсумуємо. Коли ми маємо право нехтувати впливом будь-яких внутрішніх збуджених станів частинки, ми маємо право вибрати базисну сукупність зі станів з визначеним імпульсом і z-компонентою моменту кількості руху.
Першою проблемою в описі природи є відшукання відповідного представлення для базисних станів. Але це лише початок. Треба ще вміти сказати, що «станеться». Якщо відомі «умови» у світі в один момент, то ми хочемо знати умови в пізніший момент. Отже, потрібно також знайти закони, що визначають, як усе змінюється з часом. Ми тепер звертаємося до другої частини основ квантової механіки — до того, як стани змінюються з часом.
Ми хотіли б трохи заглянути вперед і трохи поговорити про те, яким найімовірніше виявиться загальний квантовомеханічний опис природи — у всякому разі, яким він буде, судячи з нинішніх фізичних уявлень. Перш за все треба зробити той чи інший вибір представлення базисних станів (завжди ж бо можливі різні представлення). Наприклад, для частинки зі спіном 1/2 можна використовувати плюс- і мінус-стани відносно осі z. В осі z немає нічого особливого — можете вибрати будь-яку вісь, яку захочете. Але для однаковості ми завжди будемо брати вісь z. Почнемо з випадку одного електрона. Поряд з двома можливостями для спіну (вгору і вниз по осі z) електрон має ще імпульс. Ми вибираємо сукупність базисних станів, по одному на кожне значення імпульсу. А що якщо в електрона немає визначеного імпульсу? Нічого страшного: ми ж говоримо тільки про те, якими є базисні стани. Якщо в електрона не буде визначеного імпульсу, то в нього якась амплітуда буде мати один імпульс, а якась — інший і т. д. А якщо він обертається не обов'язково спіном угору, то в нього є якась амплітуда обертатися при цьому імпульсі спіном угору, а якась — униз і т. д. Для повного опису електрона, наскільки нам зараз відомо, потрібно лише, щоб базисні стани описувалися імпульсом і спіном. Отже, одна з прийнятних сукупностей базисних станів | i> для окремого електрона вказує різні значення імпульсу і ще напрямок, куди дивиться спін,— угору чи вниз. Різні суміші амплітуд, тобто різні поєднання чисел C, описують різні обставини. Те, що робить той чи інший електрон, описується тим, що повідомляється, з якою амплітудою його спін може бути вгору, а з якою — униз, причому імпульс дорівнюватиме тому чи іншому числу, і так для всіх можливих імпульсів. Ви тепер бачите, що потрібно для повного квантовомеханічного опису окремого електрона.
А як справи із системами кількох електронів? У цих випадках базисні стани стають складнішими. Нехай електронів пара. По-перше, є чотири можливих стани щодо спіну: у обох електронів спіни вгору, або в першого вгору, а в другого вниз, або в першого вниз, а в другого вгору, або в обох вниз. Крім того, потрібно вказати, що в першого електрона імпульс р1 а в другого імпульс р2. Базисні стани для двох електронів вимагають вказання двох імпульсів і двох значків для спіну. Для сімки електронів потрібно вказати сім пар таких чисел.
Якщо ж є протон і електрон, то потрібно вказати напрямок спіну протона і його імпульс, а також напрямок спіну електрона і його імпульс. Принаймні, у якомусь наближенні це так. Ми насправді не знаємо, яким є правильне представлення для нашого світу. Ми починаємо з припущення, що якщо вказати спін і імпульс електрона і те саме для протона, то вийдуть базисні стани; все це дуже добре, але як бути з «протонними внутрішностями»? Справді, розсудимо так. В атомі водню, в якому є один протон і один електрон, доводиться описувати безліч різних базисних станів, відзначати напрямки вгору і вниз у спінів протона й електрона і всілякі імпульси протона й електрона. Потім є різні комбінації амплітуд Сi; усі разом вони описують характер атома водню в тих чи інших станах. Але уявіть, що ми дивимося на цілий атом водню як на «частинку». Якби ми не знали, що він складається з протона й електрона, то могли б сказати: «О, я знаю, які в нього базисні стани — вони відповідають різним імпульсам атома водню». Але це насправді не так, бо в атома водню є якісь внутрішні частини. Отже, у нього можуть бути різні стани з різною внутрішньою енергією, і опис реальної природи вимагав би подальших подробиць.
Те саме і з протоном. Питання стоїть так: чи є в протона внутрішні частини? Чи повинні ми описувати протон, задаючи всі можливі стани протонів, мезонів або дивних частинок? Ми цього не знаємо. І навіть хоча ми припускаємо, що електрон простий і все, що про нього можна сказати,— це задати його імпульс і спін, але ж не виключена можливість завтра відкрити наявність усередині електрона якихось коліщаток і шестерень. А це означатиме, що наше представлення неповне, або неправильне, або неточне, так само як представлення атома водню, що описує тільки його імпульс, було б неповним, бо воно нехтувало би тим фактом, що атом водню може виявитися збудженим усередині. Якщо електрон теж може виявитися збудженим усередині і перетворитися ще на щось, наприклад на мюон, то його слід було б описувати не простим заданням станів нової частинки, а, ймовірно, в термінах складніших внутрішніх коліщаток. Головна сьогоднішня проблема у вивченні фундаментальних частинок і полягає в тому, щоб відкрити, якими є правильні представлення для опису природи. Наразі ми вважаємо, що для електрона достатньо вказувати його імпульс і спін. Але ми вважаємо також, що існує ідеалізований протон, який має при собі свої π-мезони, свої K-мезони і т. д., і всі вони повинні бути відзначені. Але ж відзначати кілька десятків частинок мало сенсу! Питання про те, що є фундаментальною частинкою, а що — не фундаментальною,— питання, про яке стільки зараз говориться,— це питання про те, на що буде схоже остаточне представлення в остаточному квантовомеханічному описі світу. Чи буде така річ, як імпульс електрона, усе ще здатна описувати природу? І взагалі чи потрібно все питання ставити саме таким чином! Такі думки безперервно виникають у будь-якому науковому дослідженні. У всякому разі, проблема нам зрозуміла — як знайти представлення? Але відповіді ми не знаємо. Ми навіть не знаємо, «чи в цьому полягає» проблема чи ні; але якщо проблема в цьому, то спершу потрібно спробувати з'ясувати, «фундаментальна» чи ні кожна окрема частинка.
У нерелятивістській квантовій механіці, де енергії не дуже високі і де ви не торкаєтеся внутрішньої будови дивних частинок і т. п., ви можете робити дуже складні розрахунки, не переймаючись цими деталями. Ви можете просто зупинитися на імпульсах і спінах електронів і ядер, і все буде гаразд. У більшості хімічних реакцій та інших низькоенергетичних подій у ядрах нічого не відбувається; вони не збуджуються. Далі, якщо атом водню рухається повільно і якщо він спокійно стукається про інші атоми водню і нічого всередині нього не збуджується, не випромінюється, ніяких ускладнень не відбувається, а все залишається в основному стані енергії внутрішнього руху,— у цьому випадку ви можете користуватися наближенням, при якому про атом водню говорять як про окремий предмет, чи частинку, не переймаючись тим, що він може щось усередині себе з собою зробити. Це буде добрим наближенням доти, доки кінетична енергія в будь-якому зіткненні буде помітно меншою за 10 еВ, тобто енергії, потрібної для того, щоб збудити атом водню до наступного внутрішнього стану. Ми часто будемо вдаватися до наближення, при якому виключається можливість внутрішнього руху, тим самим зменшуючи число деталей, які мають бути враховані в наших базисних станах. Звичайно, при цьому ми відкидаємо деякі явища, які проявляються (як правило) за якихось вищих енергій, але таке наближення сильно спрощує аналіз фізичних задач. Наприклад, можна розмірковувати про зіткнення двох атомів водню за низької енергії (або про будь-який хімічний процес), не переймаючись тим, що атомні ядра можуть збуджуватися. Отже, підсумуємо. Коли ми маємо право нехтувати впливом будь-яких внутрішніх збуджених станів частинки, ми маємо право вибрати базисну сукупність зі станів з визначеним імпульсом і z-компонентою моменту кількості руху.
Першою проблемою в описі природи є відшукання відповідного представлення для базисних станів. Але це лише початок. Треба ще вміти сказати, що «станеться». Якщо відомі «умови» у світі в один момент, то ми хочемо знати умови в пізніший момент. Отже, потрібно також знайти закони, що визначають, як усе змінюється з часом. Ми тепер звертаємося до другої частини основ квантової механіки — до того, як стани змінюються з часом.