Ми вже говорили про те, як зображати перебіг подій, де ми щось пропускаємо крізь прилад. Але найпривабливіший, найзручніший для розгляду «дослід» полягає в тому, що ви зупиняєтеся і чекаєте кілька хвилин, тобто ви готуєте стан φ і, перш ніж проаналізувати його, залишаєте його в спокої. Можливо, ви залишите його в спокої в якомусь електричному чи магнітному полі — все залежить від фізичних обставин. У всякому разі, якими б не були умови, ви від моменту t1 до моменту t2 залишаєте об'єкт на свободі. Припустімо, що він випущений з нашого першого приладу в стані φ у момент t1. А потім він проходить крізь «прилад», у якому він перебуває до моменту t2. Під час такої «затримки» можуть відбуватися різні події, прикладатися зовнішні сили,— словом, щось у цей час стається. Після такої затримки амплітуда того, що цей об'єкт буде виявлений у стані x, уже не та сама, якою вона була б, якби затримки не було. Оскільки «очікування» — це просто окремий випадок «приладу», то можна описати те, що відбувається, задавши амплітуду в тому самому вигляді, як у рівнянні (6.17). Оскільки операція «очікування» має особливу важливість, ми замість A позначимо її U, а щоб відзначати початковий і кінцевий моменти t1 і t2, писатимемо U (t2, t1). Амплітуда, яка нас цікавить,— це
Зображення
Як і будь-яка подібна амплітуда, вона може бути подана в тій чи іншій базисній системі у вигляді
Зображення
Тоді U описується заданням повної сукупності амплітуд — матриці
Зображення
До речі, слід зазначити, що матриця <i |U(t2, t1) | j> могла б дати значно більше всіляких деталей, ніж нам зазвичай потрібно. Теоретик високого класу, що працює в фізиці високих енергій, розглядає приблизно такі проблеми (бо саме так зазвичай ставляться експерименти): він починає з двох частинок, скажімо з протона і протона, що налітають один на одного з безмежності. (У лабораторії зазвичай одна частинка спочиває, інша ж вилітає з прискорювача, який за атомними масштабами перебуває в безмежності.) Вони стикаються, і в результаті з'являються, скажімо, два K-мезони, шість π-мезонів і два нейтрони з визначеними імпульсами у визначених напрямках. Якою є амплітуда того, що це станеться? Математика тут виглядає так. Стан φ відзначає спіни й імпульси частинок, що зближуються. А х — це відомості про те, що виходить наприкінці. Наприклад, з якою амплітудою ви отримаєте шість мезонів, що йдуть у таких-то і таких-то напрямках, а два нейтрони, що вилітають он у цих напрямках і зі спінами, спрямованими так-то і так-то. Іншими словами, x відзначається заданням усіх імпульсів, спінів і т. п. кінцевих продуктів. І от робота теоретика полягає в тому, щоб підрахувати амплітуду (6.27). Однак насправді його цікавить лише окремий випадок, коли t1 = –∞, а t2 = + ∞. (У нас не буває експериментальних даних про детальний перебіг процесу, відомо тільки, що ввійшло і що вийшло.) Граничний випадок U (t2, t1) при t1→–∞ і t2→+ ∞ позначається буквою S; теоретику потрібна величина
Зображення
Або, якщо користуватися формою (6.28), йому потрібно обчислити матрицю
Зображення
яку називають S-матрицею. Отже, якщо ви побачите фізика-теоретика, який міряє кроками кімнату і каже: «Мені потрібно тільки обчислити S-матрицю»,— то ви тепер уже розумітимете, над чим він ламає голову.
Як аналізувати S-матрицю, тобто як вказати закони для неї,— питання цікаве. У релятивістській квантовій механіці при високих енергіях це робиться одним способом, у нерелятивістській же квантовій механіці — іншим, зручнішим. (Він придатний і в релятивістському випадку, але перестає бути таким зручним.) Полягає він у тому, щоб вивести U-матрицю для невеликих інтервалів часу, тобто для близьких t2 і t1. Якщо ми зможемо знайти послідовність таких U для послідовних інтервалів часу, то зможемо простежити за тим, як усе змінюється залежно від часу. Одразу ж ясно, що для теорії відносності цей спосіб не дуже хороший, бо не так уже й просто вказати, як «одночасно» все всюди виглядає. Але не варто нам про це думати; нашою турботою буде тільки нерелятивістська механіка.
Розглянемо матрицю U для затримки від t1 до t3, де t3 більше за t2. Іншими словами, візьмемо три послідовні моменти: t1менше t2, t2 менше t3. Тоді ми стверджуємо, що матриця, яка тягнеться від t1 до t3, виходить перемноженням підряд усього того, що відбувається при затримці від t1 до t2, і потім від t2 до t3. Це точнісінько те саме, що було з двома послідовними приладами B і A. Тоді, дотримуючись позначень, прийнятих у розд. 3, § 6, ми можемо написати
Як аналізувати S-матрицю, тобто як вказати закони для неї,— питання цікаве. У релятивістській квантовій механіці при високих енергіях це робиться одним способом, у нерелятивістській же квантовій механіці — іншим, зручнішим. (Він придатний і в релятивістському випадку, але перестає бути таким зручним.) Полягає він у тому, щоб вивести U-матрицю для невеликих інтервалів часу, тобто для близьких t2 і t1. Якщо ми зможемо знайти послідовність таких U для послідовних інтервалів часу, то зможемо простежити за тим, як усе змінюється залежно від часу. Одразу ж ясно, що для теорії відносності цей спосіб не дуже хороший, бо не так уже й просто вказати, як «одночасно» все всюди виглядає. Але не варто нам про це думати; нашою турботою буде тільки нерелятивістська механіка.
Розглянемо матрицю U для затримки від t1 до t3, де t3 більше за t2. Іншими словами, візьмемо три послідовні моменти: t1менше t2, t2 менше t3. Тоді ми стверджуємо, що матриця, яка тягнеться від t1 до t3, виходить перемноженням підряд усього того, що відбувається при затримці від t1 до t2, і потім від t2 до t3. Це точнісінько те саме, що було з двома послідовними приладами B і A. Тоді, дотримуючись позначень, прийнятих у розд. 3, § 6, ми можемо написати
Зображення
Іншими словами, можна проаналізувати будь-який інтервал часу, якщо ми вміємо аналізувати послідовність проміжних коротких інтервалів. Ми просто перемножуємо всі куски; це і є спосіб нерелятивістського аналізу квантової механіки.
Отже, завдання полягає в тому, щоб дізнатися матрицю U(t2, t1) для нескінченно малого інтервалу часу — для t2 = t1+Δt. Запитаймо себе: якщо зараз у нас є стан φ, то яким він буде виглядати через нескінченно малий час Δt? Подивимося, як це можна розписати. Позначимо стан у момент t через |ψ(t)> (ми вказуємо залежність ψ від часу, щоб було цілком ясно, що йдеться про умови в момент t). Тепер поставимо запитання: яким буде стан речей через короткий час Δt? Відповідь така:
Отже, завдання полягає в тому, щоб дізнатися матрицю U(t2, t1) для нескінченно малого інтервалу часу — для t2 = t1+Δt. Запитаймо себе: якщо зараз у нас є стан φ, то яким він буде виглядати через нескінченно малий час Δt? Подивимося, як це можна розписати. Позначимо стан у момент t через |ψ(t)> (ми вказуємо залежність ψ від часу, щоб було цілком ясно, що йдеться про умови в момент t). Тепер поставимо запитання: яким буде стан речей через короткий час Δt? Відповідь така:
Зображення
Тут мається на увазі те саме, що й у (6.25), а саме, що амплітуда виявити x у момент t +Δt є
Зображення
Оскільки ми ще не дуже добре розбираємося в цих абстрактних речах, то спроєктуймо наші амплітуди в певне представлення. Помножуючи обидві частини (6.31) на <i |, отримуємо
Зображення
Можна також розкласти й | ψ (t)> на базисні стани і написати
Зображення
Зрозуміти це можна так. Якщо через Ci(t) = < i |ψ(t) > позначити амплітуду перебування в базисному стані i в момент t, то можна вважати цю амплітуду (пам'ятайте, це просто число!) такою, що змінюється в часі. Кожне Сi стає функцією часу t. Крім того, у нас є інформація про те, як амплітуди Ci змінюються в часі. Кожна амплітуда в момент (t+Δt) пропорційна всім іншим амплітудам у момент t, помноженим на ряд коефіцієнтів. Позначимо U-матрицю через Uij вважаючи, що
Зображення
Тоді (6.34) можна записати так:
Зображення
Ось як виглядатиме динаміка квантової механіки.
Нам поки мало відомо про Uij Ми знаємо тільки, що при Δt, що прямує до нуля, нічого не повинно статися, просто має вийти початковий стан. Отже, Uij→1 і Uij →0 при i≠j. Іншими словами, Uij → δij при Δt→0. Крім того, ми маємо повне право припустити, що при малих Δt кожен з Uij повинен відрізнятися від δij на величину, пропорційну Δt; так що можна писати
Нам поки мало відомо про Uij Ми знаємо тільки, що при Δt, що прямує до нуля, нічого не повинно статися, просто має вийти початковий стан. Отже, Uij→1 і Uij →0 при i≠j. Іншими словами, Uij → δij при Δt→0. Крім того, ми маємо повне право припустити, що при малих Δt кожен з Uij повинен відрізнятися від δij на величину, пропорційну Δt; так що можна писати
Зображення
Однак зазвичай з історичних та інших причин з коефіцієнтів Kjj виносять множник (– i/ h) ; надають перевагу написанню
Зображення
Це, звісно, те саме, що й (6.36). Якщо хочете, це просто визначення коефіцієнтів Hij(t). Члени Hij — це якраз похідні за t2 від коефіцієнтів Uij(t2, t1), обчислювані при t2 = t1 = t.
Підставляючи в (6.35) цей вид U, отримуємо
Підставляючи в (6.35) цей вид U, отримуємо
Зображення
Підсумовуючи члени з δij, отримуємо просто Ci(t), що можна перенести в іншу сторону рівняння. Після ділення на Δt ми впізнаємо в цьому похідну
Зображення
Ви пам'ятаєте, що Ci(t) — це амплітуда <i | ψ> виявити стан ψ в одному з базисних станів i (у момент t). Отже, рівняння (6.39) повідомляє нам, як кожен з коефіцієнтів <i | ψ> змінюється з часом. Але це все одно, що сказати, що (6.39) повідомляє нам, як з часом змінюється стан ψ, раз ми описуємо ψ через амплітуди <i | ψ>. Зміна ψ з часом описується через матрицю Hij, яка, звісно, повинна включати все те, що ми робили з системою, щоб викликати її зміни. Якщо ми знаємо матрицю Hij, яка містить у собі всю фізику явища і може, взагалі кажучи, залежати від часу, то у нас є повний опис поведінки системи в часі. Таким чином, (6.39) — це квантовомеханічний закон для динаміки світу.
(Потрібно сказати, що ми завжди будемо вибирати сукупність базисних станів, які фіксовані і з часом не змінюються. Іноді використовують такі базисні стани, які самі змінюються. Однак це все одно, що користуватися в механіці обертовою системою координат, а ми не хочемо заглиблюватися в подібні тонкощі.)
(Потрібно сказати, що ми завжди будемо вибирати сукупність базисних станів, які фіксовані і з часом не змінюються. Іноді використовують такі базисні стани, які самі змінюються. Однак це все одно, що користуватися в механіці обертовою системою координат, а ми не хочемо заглиблюватися в подібні тонкощі.)