Подивимося на рівняння (6.8) ще раз; його можна розглядати таким чином. Будь-який вектор стану |φ> можна подати у вигляді лінійної комбінації сукупності базисних «векторів» з відповідними коефіцієнтами, або, якщо хочете, у вигляді суперпозиції «одиничних векторів» у відповідних пропорціях. Щоб підкреслити, що коефіцієнти <i |φ> — це просто звичайні (комплексні) числа, напишемо
Зображення
Тоді (6.8) збігається з
Зображення
Таке саме рівняння можна написати і для будь-якого іншого вектора стану, скажімо для |x>, але, звісно, з іншими коефіцієнтами, скажімо з Di. Тоді матимемо
Зображення
де Di — це просто амплітуди <i |x>.
Уявімо, що ми почали б з того, що в (6.1) абстрагувалися б від φ. Тоді ми мали б
Уявімо, що ми почали б з того, що в (6.1) абстрагувалися б від φ. Тоді ми мали б
Зображення
Пам'ятаючи, що <x | i> = <i | x> , можна записати це у вигляді
Зображення
А тепер цікаво от що: щоб знову отримати <x| φ>, можна просто перемножити (6.13) і (6.10). Тільки, роблячи це, треба бути уважним до індексів підсумовування, тому що вони в різних рівняннях різні. Перепишемо спершу (6.13):
Зображення
Це нічого не змінює. Об'єднуючи з (6.10), отримуємо
Зображення
Пригадайте, однак, що <j |i> = δij, так що в сумі залишаться лише члени з j=i. Вийде
Зображення
де, як ви пам'ятаєте, Di = <i | χ> = <χ | i> а Ci = <i | φ>. Знову ми є свідками тісної аналогії зі скалярним добутком
Зображення
Єдина різниця — що Di потрібно комплексно спрягати. Отже, (6.15) стверджує, що якщо розкласти вектори станів <χ | і | φ> за базисними векторами < i | або | i >, то амплітуда переходу з φ в x дається своєрідним скалярним добутком (6.15). А це просто (6.1), записане в інших символах. Ми ходимо по колу, звикаючи до нових символів.
Можливо, варто підкреслити, що в той час, як просторові тривимірні вектори виражаються через три ортогональних одиничних вектори, базисні вектори | i > квантовомеханічних станів повинні пробігати всю сукупність, що відповідає даній задачі. Залежно від стану речей до неї можуть входити два або три, п'ять або нескінченно багато базисних станів.
Ми говорили також про те, що відбувається, коли частинки проходять крізь прилад. Якщо ми випустимо частинки у визначеному стані φ, потім проведемо їх крізь прилад, а після проведемо вимірювання, щоб побачити, чи перебувають вони в стані x, то результат описуватиметься амплітудою
Можливо, варто підкреслити, що в той час, як просторові тривимірні вектори виражаються через три ортогональних одиничних вектори, базисні вектори | i > квантовомеханічних станів повинні пробігати всю сукупність, що відповідає даній задачі. Залежно від стану речей до неї можуть входити два або три, п'ять або нескінченно багато базисних станів.
Ми говорили також про те, що відбувається, коли частинки проходять крізь прилад. Якщо ми випустимо частинки у визначеному стані φ, потім проведемо їх крізь прилад, а після проведемо вимірювання, щоб побачити, чи перебувають вони в стані x, то результат описуватиметься амплітудою
Зображення
Такий символ не має близького аналога у векторній алгебрі. (Він ближчий до тензорної алгебри, але ця аналогія не така вже й корисна.) Ми бачили в розд. 3 [формула (3.32)], що (6.16) можна переписати так:
Зображення
Це приклад дворазового застосування основного правила (6.9).
Ми виявили також, що якщо слідом за приладом A поставити інший прилад B, то можна написати
Ми виявили також, що якщо слідом за приладом A поставити інший прилад B, то можна написати
Зображення
Це знову-таки випливає прямо з запропонованого Діраком методу запису рівняння (6.9). Пригадайте, що між В і A завжди можна поставити рису (|), яка поводиться зовсім як множник одиниця.
До речі, про рівняння (6.17) можна розмірковувати й інакше. Припустимо, що ми розмірковуємо про частинку, яка потрапляє в прилад A у стані φ і виходить з нього у стані ψ. Ми можемо поставити собі таке питання: чи можна знайти такий стан ψ, щоб амплітуда переходу від ψ до x тотожно збігалася з амплітудою <х|A|φ>? Відповідь така: так. Ми хочемо, щоб (6.17) замінилося рівнянням
До речі, про рівняння (6.17) можна розмірковувати й інакше. Припустимо, що ми розмірковуємо про частинку, яка потрапляє в прилад A у стані φ і виходить з нього у стані ψ. Ми можемо поставити собі таке питання: чи можна знайти такий стан ψ, щоб амплітуда переходу від ψ до x тотожно збігалася з амплітудою <х|A|φ>? Відповідь така: так. Ми хочемо, щоб (6.17) замінилося рівнянням
Зображення
Звісно, цього можна досягти, якщо взяти
Зображення
що й визначає собою ψ. «Але воно не визначає собою ψ, — скажете ви,— воно визначає тільки <i |ψ>. Однак <i |ψ> все ж визначає ψ; бо якщо у вас є всі коефіцієнти, що зв'язують ψ з базисними станами i, то ψ визначається однозначно. І справді, можна повправлятися з нашими позначеннями і записати (6.20) у вигляді
Зображення
А раз це рівняння справедливе при всіх i, то можна просто писати
Зображення
Тепер ми маємо право сказати: «Стан ψ — це те, що виходить, якщо почати з φ і пройти крізь апарат A».
Ще один, останній приклад корисних хитрощів. Починаємо знову з (6.17). Раз це рівняння виконується при будь-яких x і φ, то їх обидва можна скоротити! Отримуємо
Ще один, останній приклад корисних хитрощів. Починаємо знову з (6.17). Раз це рівняння виконується при будь-яких x і φ, то їх обидва можна скоротити! Отримуємо
Зображення
Що це означає? Тільки те, що вийде, якщо повернути на свої місця φ і x. У такому вигляді це рівняння «недокінчене» і неповне. Якщо помножити його «справа» на |φ>, то воно перетворюється на
Зображення
а це знову те саме рівняння (6.22). Справді, ми могли б просто прибрати з (6.22) всі j і написати
Зображення
Символ A — це не амплітуда і не вектор; це річ особливого роду, яку називають оператором. Він — щось, що «оперує» над станом, щоб створити новий стан; рівняння (6.25) каже, що |ψ> — це те, що виходить, якщо A діє на |φ>. Це рівняння теж потрібно вважати недокінченим, відкритим, доки зліва воно не помножиться на якесь «бра», скажімо на <x |, і не перетвориться на
Зображення
Оператор A, звичайно, повністю описується тим, що задається матриця амплітуд <i |A| j>; її також пишуть у вигляді Aij— через будь-яку сукупність базисних векторів.
Усі ці математичні позначення насправді нічого нового не вносять. Єдина причина, чому ми їх ввели,— ми хотіли показати, як пишуться уривки рівнянь, тому що в багатьох книжках ви зустрінете рівняння, написані в неповному вигляді, і немає причин вам лякатися, побачивши їх. Якщо захочете, ви завжди зможете дописати ті частини, яких не вистачає, і отримати рівняння, що зв'язує числа. Воно виглядатиме більш звично.
Крім того, як ви побачите, позначення «бра» і «кет» дуже зручні. Перш за все ми тепер зможемо вказувати стани, задаючи їхній вектор стану. Коли ми захочемо вести мову про стан з визначеним імпульсом р, то скажемо: «стан |р>». Або говоритимемо про якийсь довільний стан |ψ>. Для однаковості ми завжди, говорячи про стан, вживатимемо «кет» і писатимемо |ψ>. (Звісно, цей вибір цілком довільний; так само ми могли б зупинитися і на «бра» <ψ|.)
Усі ці математичні позначення насправді нічого нового не вносять. Єдина причина, чому ми їх ввели,— ми хотіли показати, як пишуться уривки рівнянь, тому що в багатьох книжках ви зустрінете рівняння, написані в неповному вигляді, і немає причин вам лякатися, побачивши їх. Якщо захочете, ви завжди зможете дописати ті частини, яких не вистачає, і отримати рівняння, що зв'язує числа. Воно виглядатиме більш звично.
Крім того, як ви побачите, позначення «бра» і «кет» дуже зручні. Перш за все ми тепер зможемо вказувати стани, задаючи їхній вектор стану. Коли ми захочемо вести мову про стан з визначеним імпульсом р, то скажемо: «стан |р>». Або говоритимемо про якийсь довільний стан |ψ>. Для однаковості ми завжди, говорячи про стан, вживатимемо «кет» і писатимемо |ψ>. (Звісно, цей вибір цілком довільний; так само ми могли б зупинитися і на «бра» <ψ|.)