Амплитуды и векторы

Прежде чем приступить к  основной  теме этой главы,  мы хотели бы изложить несколько математических  идей,  которые часто встречаются в книгах по квантовой механике. Знание их облегчит вам чтение других книг или статей по этому предмету. Первая идея — это тесное математическое подобие   между  уравнениями квантовой механики и формулами для скалярного произведения двух векторов. Вы помните, что если x и φ — два состояния, то амплитуда начать в φ и кончить в x может быть записана в виде суммы (по полной совокупности базисных состояний) амплитуд перехода из φ в одно из базисных состояний и затем из этого базисного состояния уже в x:                                                                

Мы объясняли это при помощи прибора Штерна — Герлаха, но сейчас напоминаем вам, что в этих приборах нет нужды. Уравнение (6.1) — это математический закон, который верен всегда, все равно, есть ли у нас фильтровальное оборудование или нет; вообще совсем не обязательно воображать наличие какого-то прибора. Можно рассматривать это просто как формулу для амплитуды   <x|φ>.
 
Сопоставим (6.1) с формулой для скалярного произведения двух векторов В и А. Если В и А — обычные трехмерные векторы, то скалярное произведение можно написать так:

считая, что символ е_i обозначает любой из трех  единичных  векторов  в  направлениях  x, y и z. Тогда В·е₁— это то, что обычно называют В_x, а В·е₂— то, что обычно называют В_y , и т. д. Значит, (6.2) эквивалентно

а это и есть скалярное произведение В·А.
 
Сравнение (6.1) с (6.2) обнаруживает следующую аналогию. Состояния x и φ соответствуют двум векторам А и В. Базисные состояния i отвечают специальным векторам е_i, к которым мы относим все прочие векторы. Любой вектор может быть представлен как линейная комбинация трех «базисных векторов» е_i. Далее, если вам известны коэффициенты при каждом «базисном векторе» в этой комбинации, т. е. три его компоненты, то вы знаете о векторе все. Точно так же любое квантовомеханическое состояние может быть полностью описано амплитудами < i |φ> перехода в базисные состояния, и если эти коэффициенты вам известны, то вы знаете все, что можно знать о состоянии. Из за этой тесной аналогии то, что мы назвали «состоянием»,  часто именуют «вектором состояния».
 
Раз базисные векторы е_i перпендикулярны друг другу, то существует соотношение

Это соответствует соотношению (3.25) между базисными состояниями i

Теперь вы понимаете, почему говорят, что базисные состояния i все «ортогональны друг другу».
 
Между (6.1) и скалярным произведением есть одно минимальное различие. У нас

В квантовой механике с ее комплексными числами мы обязаны выдерживать порядок множителей, а в скалярном произведении порядок неважен.
 
Теперь рассмотрим такое векторное уравнение:

оно немножко необычно, но тем не менее верно. И означает оно то же самое, что и

Заметьте, однако, что в (6.6) входит величина, отличная от скалярного произведения. Скалярное произведение — это просто число, а (6.6) — векторное уравнение. Одним из великих приемов векторного анализа было абстрагировать от уравнений идею самого вектора. Равным образом можно попытаться абстрагировать от уравнения (6.1) то, что в квантовой механике является аналогом «вектора». И это действительно можно сделать. Уберем <x| по обе стороны (6.1) и напишем такое уравнение (не пугайтесь — это просто обозначение, и через пару минут вы узнаете, что означают эти символы):

Скобку <х | φ> представляют себе состоящей из двух половинок. Вторую половинку |φ> называют кет, а первую <x| называют брэ (поставленные рядом они образуют брэ-кет≡bra-cket, скоб-ка≡скобка — обозначение, предложенное Дираком); полусимволы <x| и |φ> также называют векторами состояний. Это не числа отнюдь, а нам вообще-то нужно, чтобы результаты наших расчетов выражались числами; стало быть, такие «незаконченные» величины представляют собой промежуточные шаги в расчетах.
 
До сих пор мы все свои результаты выражали с помощью чисел. Как же мы умудрялись избегать векторов? Забавно, что даже в обычной векторной алгебре можно сделать так, чтобы во все уравнения входили только числа. Например, вместо векторного уравнения типа

Получается уравнение, связывающее скалярные произведения и справедливое для любого вектора С. Но если оно верно для любого С, то едва ли имеет смысл вообще писать это С!
 
Теперь вернемся к (6.1). Это уравнение справедливо при любых x. Значит, для сокращения письма мы должны просто убрать x и написать вместо (6.1) уравнение (6.8). Это уравнение снабдит нас той же самой информацией, лишь бы мы понимали, что его всегда надлежит «завершить», «умножив слева на...», т. е. просто дописав некоторое <х| по обе стороны знака равенства. Следовательно, (6.8) означает в точности то же, что и (6.1),— ни более ни менее. Если вы предпочитаете числа, вы подставляете то  <x|, которое вам нужно.
 
Может быть, вы в уравнении (6.8) уже нацелились и на φ? Раз (6.8) справедливо при любом φ, зачем же нам его держать? И  действительно,   Дирак  предлагает  абстрагироваться  и от φ, так что остается только

Вот он каков — великий закон квантовой механики! Этот закон утверждает, что если вы вставите любые два состояния x и φ с обеих сторон, слева и справа, то опять вернетесь к (6.1). Уравнение (6.9) вообще-то не очень полезно, но зато является неплохим напоминанием о том, что уравнение выполняется для любых двух состояний.