Фермі-частинки поводяться зовсім інакше. Подивимося, що станеться, якщо ми спробуємо помістити дві фермі-частинки в один і той самий стан. Повернемося до нашого початкового прикладу і поцікавимося амплітудою того, що дві ідентичні фермі-частинки розсіються в майже однаковому напрямку. Амплітуда того, що частинка a піде в напрямку 1, а частинка b — у напрямку 2, є
Зображення
тоді як амплітуда того, що напрямки частинок, які вилітають, поміняються місцями, така:
Зображення
Оскільки ми маємо справу з фермі-частинками, то амплітуда процесу є різницею цих двох амплітуд:
Зображення
Слід сказати, що під «напрямком 1» ми маємо на увазі, що частинка має не лише певний напрямок, а й заданий напрямок свого спіну, а «напрямок 2» майже збігається з напрямком 1 і відповідає тому самому напрямку спіну. Тоді <1 | a> і <2 | a> будуть приблизно рівні. (Цього могло б і не бути, якби стани 1 і 2 частинок, що вилітають, не мали однакового спіну, бо тоді з якихось причин могло б виявитися, що амплітуда залежить від напрямку спіну.) Якщо тепер дозволити напрямкам 1 і 2 зблизитися один з одним, то повна амплітуда в рівнянні (2.44) стане рівною нулю. Для фермі-частинок результат набагато простіший, ніж для бозе-частинок. Просто абсолютно неможливо, щоб дві фермі-частинки, наприклад два електрони, опинилися в однаковому стані. Ви ніколи не виявите два електрони в однаковому положенні зі спінами, спрямованими в один бік. Двом електронам неможливо мати один і той самий імпульс і один і той самий напрямок спіну. Якщо вони опиняються в одному й тому самому місці або в одному й тому самому стані руху, то єдине, що їм залишається,— це закрутитися назустріч одне одному.
Які наслідки з цього випливають? Існує безліч чудових ефектів, що випливають з того факту, що дві фермі-частинки не можуть потрапити в один і той самий стан. Насправді майже всі особливості матеріального світу залежать від цього дивовижного факту. Все розмаїття, представлене в періодичній таблиці елементів, в основі своїй є наслідком лише цього правила.
Звісно, ми не можемо сказати, на що був би схожий світ, якби це правило — і тільки воно одне — змінилося; адже воно є частиною всієї структури квантової механіки, і неможливо сказати, що ще змінилося б, якби правило, що стосується фермі-частинок, стало б іншим. Але все ж спробуємо уявити собі, що сталося б, якби змінилося тільки це правило. По-перше, можна показати, що кожен атом залишився б більш-менш незмінним. Почнемо з атома водню. Він помітно не змінився б. Протон ядра був би оточений сферично симетричною електронною хмарою (фіг. 2.11, a). Як ми вже писали в гл. 38 (вип. 3), хоч електрон і притягується до центру, принцип невизначеності вимагає, щоб було рівновага між концентрацією в просторі та концентрацією за імпульсом. Рівновага означає, що розподіл електронів повинен характеризуватися певною енергією та протяжністю, які визначають характеристичні розміри атома водню.
Нехай тепер є ядро з двома одиницями заряду, наприклад ядро гелію. Це ядро притягуватиме два електрони, і, якби вони були бозе-частинками, вони б, якщо не враховувати їхнє електричне відштовхування, згуртувалися біля ядра якомога тісніше. Атом гелію виглядав би так, як на фіг. 2.11, б. Так само й атом літію, ядро якого заряджене тричі, мав би електронний розподіл, схожий на той, що зображений на фіг. 2.11, в. Кожен атом виглядав би більш-менш, як раніше: кругла кулька, всі електрони в якій сидять біля ядра; не було б жодних виділених напрямків і жодних складнощів.
Але через те, що електрони — це фермі-частинки, дійсний стан справ зовсім інший. Для атома водню він, загалом кажучи, не змінюється. Єдина відмінність у тому, що в електрона є спін (показаний на фіг. 2.12,а стрілочкою). У випадку ж атома гелію ми вже не зможемо посадити один з електронів на інший. Втім, зачекайте, це правильно лише тоді, коли їхні спіни спрямовані однаково. Але якщо вони розведуть свої спіни в різні боки, то вони вже матимуть право зайняти одне й те саме місце. Тож атом гелію теж не дуже й зміниться. Він виглядатиме так, як показано на фіг. 2.12, б. А от для літію стан справ зовсім зміниться. Куди зможемо ми прилаштувати третій електрон? Його не можна посадити прямо на перші два, тому що обидва напрямки спіну зайняті. (Ви пам'ятаєте, що і в електрона, і в будь-якої частинки зі спіном 1/2 є лише два допустимих напрямки спіну.) Третій електрон не зможе наблизитися до місця, окупованого двома іншими, він змушений зайняти особливе положення в якомусь іншому стані, набагато далі від ядра (фіг. 2.12, в). (Ми тут говоримо про все досить грубо, тому що насправді всі три електрони тотожні, а оскільки ми не можемо насправді розібратися, хто з них хто, то наш малюнок правильний лише в загальних рисах.)
Тепер ми вже починаємо розуміти, чому в різних атомів бувають різні хімічні властивості. Через те, що третій електрон у літії набагато далі, він зв'язаний незрівнянно слабше. Забрати один електрон у літію набагато легше, ніж у гелію. (Дослід каже, що для іонізації гелію потрібно 25 в, а для іонізації літію лише 5 в.) Це відображається на валентності атома літію. Властивості валентності, що стосуються напрямків, пов'язані з хвильовою картиною зовнішнього електрона, але ми не будемо зараз заглиблюватися в подробиці. Стає зрозумілою важливість так званого принципу заборони, що стверджує, що жодні два електрони не можуть опинитися точно в одному й тому самому стані (включно зі спіном).
Принцип заборони несе також відповідальність за великомасштабну стабільність речовини. Ми раніше вже пояснювали, що окремі атоми речовини не обвалюються завдяки принципу невизначеності, тоді можна зрозуміти, чому не буває так, щоб два атоми водню притиснулися один до одного як завгодно тісно, чому всі протони не можуть зійтися впритул, утворивши навколо себе електронну хмару. Відповідь, звісно, полягає в тому, що оскільки в одному місці може перебувати не більше двох електронів з протилежними спінами, то атоми водню змушені триматися віддалік один від одного. Так що великомасштабна стабільність речовини насправді є наслідком того, що електрони — це фермі-частинки.
Звісно, якщо в двох атомів спіни зовнішніх електронів спрямовані в протилежні боки, то вони можуть опинитися впритул один до одного. Саме так і виникає хімічний зв'язок. Виявляється, що два сусідні атоми мають меншу енергію, якщо між ними стоїть електрон. Це свого роду електричне притягання двох додатних ядер до електрона між ними. Можна помістити пару електронів — оскільки їхні спіни протилежні — приблизно посередині між двома ядрами, і так виникає найсильніший з хімічних зв'язків. Сильнішого зв'язку не буває, тому що принцип заборони не дозволить, щоб у просторі між атомами опинилося більше двох електронів. Вважається, що молекула водню виглядає приблизно так, як зображено на фіг. 2.13.
Хочеться сказати ще про один наслідок принципу заборони. Ви пам'ятаєте, що якщо обидва електрони в атомі гелію хочуть опинитися ближче до ядра, то їхні спіни обов'язково повинні дивитися назустріч один одному. Припустімо тепер, що нам захотілося б розташувати поблизу один від одного два електрони з одним і тим самим спіном, скажімо, прикладаючи настільки фантастично сильне магнітне поле, що спіни вишикувалися б в один бік. Але тоді два електрони не зможуть зайняти одного положення в просторі. Один з них змушений буде зайняти іншу геометричну позицію (фіг. 2.14). Більш віддалений від ядра електрон матиме меншу енергію зв'язку. Тому енергія всього атома стане трохи вищою. Іншими словами, якщо два спіни протилежні, то це призводить до набагато сильнішого взаємного притягання.
Отже, існує взаємодія, що прагне розташувати спіни назустріч один одному, коли електрони зближуються. Якщо два електрони намагаються потрапити в одне й те саме місце, то спіни прагнуть вишикуватися назустріч один одному. Ця вдавана сила, що прагне зорієнтувати спіни в різні боки, набагато потужніша за слабенькі сили, що діють між магнітними моментами двох електронів. Ви пам'ятаєте, що, коли ми говорили про феромагнетизм, виникала загадка, чому це електрони в різних атомах мають настільки сильну тенденцію вишиковуватися паралельно. Хоча тут ще немає кількісного пояснення, але вже можна повірити в такий процес: електрони, що оточують один з атомів, взаємодіють за допомогою принципу заборони із зовнішніми електронами, які вивільнилися і блукають кристалом. Ця взаємодія змушує спіни вільних електронів і внутрішніх електронів набувати протилежних напрямків. Але вільні електрони і внутрішньоатомні електрони можуть вишикуватися протилежно лише за умови, що в усіх внутрішніх електронів спіни спрямовані однаково (фіг. 2.15). Здається дуже ймовірним, що саме вплив принципу заборони, який діє опосередковано через вільні електрони, кладе початок великим вирівнювальним силам, відповідальним за феромагнетизм.
Згадаємо ще один приклад впливу принципу заборони. Ми вже говорили раніше, що ядерні сили, які діють між нейтроном і протоном, між протоном і протоном та між нейтроном і нейтроном, однакові. Чому ж так виходить, що протон з нейтроном можуть пристати один до одного, утворивши ядро дейтерію, а от ядер просто з двома протонами або просто з двома нейтронами не існує? Справді, дейтрон зв'язаний енергією близько 2,2 МеВ, а відповідного зв'язку між парою протонів, який би створив ізотоп гелію з атомною вагою 2, не існує. Таких ядер не буває. Комбінація двох протонів не дає зв'язаного стану.
Відповідь складається з двох ефектів: по-перше, з принципу заборони; по-друге, з того факту, що ядерні сили доволі чутливі до напрямку спіну. Сили, що діють між нейтроном і протоном, — це сили притягання; вони трохи більші, коли спіни паралельні, і трохи менші, коли вони спрямовані протилежно. Виявляється, що різниця між цими силами достатньо велика, щоб дейтрон виникав лише в тому випадку, коли спіни нейтрона і протона паралельні, а коли спіни протилежні, то притягання не вистачає, щоб зв'язати частинки воєдино. Оскільки спіни нейтрона і протона кожен дорівнює 1/2 і спрямовані вони в один бік, то спін дейтрона дорівнює одиниці. Ми знаємо, однак, що двом протонам не дозволяється сидіти один на одному, якщо їхні спіни паралельні. Якби не було принципу заборони, два протони були б зв'язані. Але оскільки вони не можуть існувати в одному місці з одним і тим самим напрямком спіну, ядра Не2 не існує. Протони з протилежними спінами могли б зійтися, але тоді їм не вистачило б енергії зв'язку для утворення стабільного ядра, тому що ядерні сили при протилежних спінах занадто слабкі, щоб зв'язати пару нуклонів. У тому, що сили притягання між нейтронами і протонами з протилежними спінами існують, можна переконатися з дослідів з розсіяння. Схожі ж досліди з розсіяння двох протонів з паралельними спінами показують, що й між ними існує притягання. Отже, принцип заборони допомагає нам зрозуміти, чому дейтерій може існувати.
Які наслідки з цього випливають? Існує безліч чудових ефектів, що випливають з того факту, що дві фермі-частинки не можуть потрапити в один і той самий стан. Насправді майже всі особливості матеріального світу залежать від цього дивовижного факту. Все розмаїття, представлене в періодичній таблиці елементів, в основі своїй є наслідком лише цього правила.
Звісно, ми не можемо сказати, на що був би схожий світ, якби це правило — і тільки воно одне — змінилося; адже воно є частиною всієї структури квантової механіки, і неможливо сказати, що ще змінилося б, якби правило, що стосується фермі-частинок, стало б іншим. Але все ж спробуємо уявити собі, що сталося б, якби змінилося тільки це правило. По-перше, можна показати, що кожен атом залишився б більш-менш незмінним. Почнемо з атома водню. Він помітно не змінився б. Протон ядра був би оточений сферично симетричною електронною хмарою (фіг. 2.11, a). Як ми вже писали в гл. 38 (вип. 3), хоч електрон і притягується до центру, принцип невизначеності вимагає, щоб було рівновага між концентрацією в просторі та концентрацією за імпульсом. Рівновага означає, що розподіл електронів повинен характеризуватися певною енергією та протяжністю, які визначають характеристичні розміри атома водню.Нехай тепер є ядро з двома одиницями заряду, наприклад ядро гелію. Це ядро притягуватиме два електрони, і, якби вони були бозе-частинками, вони б, якщо не враховувати їхнє електричне відштовхування, згуртувалися біля ядра якомога тісніше. Атом гелію виглядав би так, як на фіг. 2.11, б. Так само й атом літію, ядро якого заряджене тричі, мав би електронний розподіл, схожий на той, що зображений на фіг. 2.11, в. Кожен атом виглядав би більш-менш, як раніше: кругла кулька, всі електрони в якій сидять біля ядра; не було б жодних виділених напрямків і жодних складнощів.Але через те, що електрони — це фермі-частинки, дійсний стан справ зовсім інший. Для атома водню він, загалом кажучи, не змінюється. Єдина відмінність у тому, що в електрона є спін (показаний на фіг. 2.12,а стрілочкою). У випадку ж атома гелію ми вже не зможемо посадити один з електронів на інший. Втім, зачекайте, це правильно лише тоді, коли їхні спіни спрямовані однаково. Але якщо вони розведуть свої спіни в різні боки, то вони вже матимуть право зайняти одне й те саме місце. Тож атом гелію теж не дуже й зміниться. Він виглядатиме так, як показано на фіг. 2.12, б. А от для літію стан справ зовсім зміниться. Куди зможемо ми прилаштувати третій електрон? Його не можна посадити прямо на перші два, тому що обидва напрямки спіну зайняті. (Ви пам'ятаєте, що і в електрона, і в будь-якої частинки зі спіном 1/2 є лише два допустимих напрямки спіну.) Третій електрон не зможе наблизитися до місця, окупованого двома іншими, він змушений зайняти особливе положення в якомусь іншому стані, набагато далі від ядра (фіг. 2.12, в). (Ми тут говоримо про все досить грубо, тому що насправді всі три електрони тотожні, а оскільки ми не можемо насправді розібратися, хто з них хто, то наш малюнок правильний лише в загальних рисах.)Тепер ми вже починаємо розуміти, чому в різних атомів бувають різні хімічні властивості. Через те, що третій електрон у літії набагато далі, він зв'язаний незрівнянно слабше. Забрати один електрон у літію набагато легше, ніж у гелію. (Дослід каже, що для іонізації гелію потрібно 25 в, а для іонізації літію лише 5 в.) Це відображається на валентності атома літію. Властивості валентності, що стосуються напрямків, пов'язані з хвильовою картиною зовнішнього електрона, але ми не будемо зараз заглиблюватися в подробиці. Стає зрозумілою важливість так званого принципу заборони, що стверджує, що жодні два електрони не можуть опинитися точно в одному й тому самому стані (включно зі спіном).
Принцип заборони несе також відповідальність за великомасштабну стабільність речовини. Ми раніше вже пояснювали, що окремі атоми речовини не обвалюються завдяки принципу невизначеності, тоді можна зрозуміти, чому не буває так, щоб два атоми водню притиснулися один до одного як завгодно тісно, чому всі протони не можуть зійтися впритул, утворивши навколо себе електронну хмару. Відповідь, звісно, полягає в тому, що оскільки в одному місці може перебувати не більше двох електронів з протилежними спінами, то атоми водню змушені триматися віддалік один від одного. Так що великомасштабна стабільність речовини насправді є наслідком того, що електрони — це фермі-частинки.
Звісно, якщо в двох атомів спіни зовнішніх електронів спрямовані в протилежні боки, то вони можуть опинитися впритул один до одного. Саме так і виникає хімічний зв'язок. Виявляється, що два сусідні атоми мають меншу енергію, якщо між ними стоїть електрон. Це свого роду електричне притягання двох додатних ядер до електрона між ними. Можна помістити пару електронів — оскільки їхні спіни протилежні — приблизно посередині між двома ядрами, і так виникає найсильніший з хімічних зв'язків. Сильнішого зв'язку не буває, тому що принцип заборони не дозволить, щоб у просторі між атомами опинилося більше двох електронів. Вважається, що молекула водню виглядає приблизно так, як зображено на фіг. 2.13.Хочеться сказати ще про один наслідок принципу заборони. Ви пам'ятаєте, що якщо обидва електрони в атомі гелію хочуть опинитися ближче до ядра, то їхні спіни обов'язково повинні дивитися назустріч один одному. Припустімо тепер, що нам захотілося б розташувати поблизу один від одного два електрони з одним і тим самим спіном, скажімо, прикладаючи настільки фантастично сильне магнітне поле, що спіни вишикувалися б в один бік. Але тоді два електрони не зможуть зайняти одного положення в просторі. Один з них змушений буде зайняти іншу геометричну позицію (фіг. 2.14). Більш віддалений від ядра електрон матиме меншу енергію зв'язку. Тому енергія всього атома стане трохи вищою. Іншими словами, якщо два спіни протилежні, то це призводить до набагато сильнішого взаємного притягання.Отже, існує взаємодія, що прагне розташувати спіни назустріч один одному, коли електрони зближуються. Якщо два електрони намагаються потрапити в одне й те саме місце, то спіни прагнуть вишикуватися назустріч один одному. Ця вдавана сила, що прагне зорієнтувати спіни в різні боки, набагато потужніша за слабенькі сили, що діють між магнітними моментами двох електронів. Ви пам'ятаєте, що, коли ми говорили про феромагнетизм, виникала загадка, чому це електрони в різних атомах мають настільки сильну тенденцію вишиковуватися паралельно. Хоча тут ще немає кількісного пояснення, але вже можна повірити в такий процес: електрони, що оточують один з атомів, взаємодіють за допомогою принципу заборони із зовнішніми електронами, які вивільнилися і блукають кристалом. Ця взаємодія змушує спіни вільних електронів і внутрішніх електронів набувати протилежних напрямків. Але вільні електрони і внутрішньоатомні електрони можуть вишикуватися протилежно лише за умови, що в усіх внутрішніх електронів спіни спрямовані однаково (фіг. 2.15). Здається дуже ймовірним, що саме вплив принципу заборони, який діє опосередковано через вільні електрони, кладе початок великим вирівнювальним силам, відповідальним за феромагнетизм.Згадаємо ще один приклад впливу принципу заборони. Ми вже говорили раніше, що ядерні сили, які діють між нейтроном і протоном, між протоном і протоном та між нейтроном і нейтроном, однакові. Чому ж так виходить, що протон з нейтроном можуть пристати один до одного, утворивши ядро дейтерію, а от ядер просто з двома протонами або просто з двома нейтронами не існує? Справді, дейтрон зв'язаний енергією близько 2,2 МеВ, а відповідного зв'язку між парою протонів, який би створив ізотоп гелію з атомною вагою 2, не існує. Таких ядер не буває. Комбінація двох протонів не дає зв'язаного стану.
Відповідь складається з двох ефектів: по-перше, з принципу заборони; по-друге, з того факту, що ядерні сили доволі чутливі до напрямку спіну. Сили, що діють між нейтроном і протоном, — це сили притягання; вони трохи більші, коли спіни паралельні, і трохи менші, коли вони спрямовані протилежно. Виявляється, що різниця між цими силами достатньо велика, щоб дейтрон виникав лише в тому випадку, коли спіни нейтрона і протона паралельні, а коли спіни протилежні, то притягання не вистачає, щоб зв'язати частинки воєдино. Оскільки спіни нейтрона і протона кожен дорівнює 1/2 і спрямовані вони в один бік, то спін дейтрона дорівнює одиниці. Ми знаємо, однак, що двом протонам не дозволяється сидіти один на одному, якщо їхні спіни паралельні. Якби не було принципу заборони, два протони були б зв'язані. Але оскільки вони не можуть існувати в одному місці з одним і тим самим напрямком спіну, ядра Не2 не існує. Протони з протилежними спінами могли б зійтися, але тоді їм не вистачило б енергії зв'язку для утворення стабільного ядра, тому що ядерні сили при протилежних спінах занадто слабкі, щоб зв'язати пару нуклонів. У тому, що сили притягання між нейтронами і протонами з протилежними спінами існують, можна переконатися з дослідів з розсіяння. Схожі ж досліди з розсіяння двох протонів з паралельними спінами показують, що й між ними існує притягання. Отже, принцип заборони допомагає нам зрозуміти, чому дейтерій може існувати.