Щоб отримати певне уявлення про те, як тепер усе виглядатиме, повернімося до самого початку і вивчімо проблему опису руху електрона по прямій, не розглядаючи станів, пов'язаних з атомами ґратки. Ми хочемо повернутися до самого початку і подивитися, якими уявленнями треба користуватися, щоб описати рух вільної частинки в просторі. Оскільки нас цікавить поведінка частинки вздовж континууму точок, то доведеться мати справу з нескінченною множиною можливих станів і, як ви побачите, ідеї, які були розвинені для скінченного числа станів, потребуватимуть деяких технічних видозмін.
Почнемо з того, що вектором стану | x> позначимо стан, у якому частинка розташована точно в точці з координатою x. Для кожного значення x вздовж прямої — для 1,73, для 9,67, для 10,00 і т. д.— є відповідний стан. Оберемо ці стани |x> як базисні. Якщо це зробити для всіх точок x прямої, то вийде повна сукупність станів для руху в одному вимірі. Тепер припустімо, що є стан іншого роду, скажімо |ψ>, в якому електрон якось розподілений вздовж прямої. Один зі способів описати цей стан — задати всі амплітуди того, що електрон буде також знайдений у кожному з базисних станів | x>. Треба задати нескінченну сукупність амплітуд, по одній для кожного x. Запишемо їх у вигляді <x | ψ>. Кожна з цих амплітуд — комплексне число, і оскільки для кожного значення x існує одне таке число, амплітуда <x | ψ> є насправді просто функцією x. Запишемо її також у вигляді C (x):
Почнемо з того, що вектором стану | x> позначимо стан, у якому частинка розташована точно в точці з координатою x. Для кожного значення x вздовж прямої — для 1,73, для 9,67, для 10,00 і т. д.— є відповідний стан. Оберемо ці стани |x> як базисні. Якщо це зробити для всіх точок x прямої, то вийде повна сукупність станів для руху в одному вимірі. Тепер припустімо, що є стан іншого роду, скажімо |ψ>, в якому електрон якось розподілений вздовж прямої. Один зі способів описати цей стан — задати всі амплітуди того, що електрон буде також знайдений у кожному з базисних станів | x>. Треба задати нескінченну сукупність амплітуд, по одній для кожного x. Запишемо їх у вигляді <x | ψ>. Кожна з цих амплітуд — комплексне число, і оскільки для кожного значення x існує одне таке число, амплітуда <x | ψ> є насправді просто функцією x. Запишемо її також у вигляді C (x):
Зображення
Ми вже розглядали такі амплітуди, які неперервним чином змінюються з координатами, говорячи в розд. 5 (вип. 8) про зміни амплітуд у часі. Ми, наприклад, показали там, що слід очікувати, що частинка з визначеним імпульсом матиме особливий тип зміни своєї амплітуди в часі. Якщо частинка має визначений імпульс p і відповідну йому визначену енергію E, то амплітуда того, що вона буде виявлена в будь-якому заданому місці x, така:
Зображення
Це рівняння виражає важливий загальний принцип квантової механіки, який зв'язує базисні стани, що відповідають різним положенням у просторі, з іншою системою базисних станів — з усіма станами визначеного імпульсу. У деяких задачах стани визначеного імпульсу зручніші, ніж стани з визначеним x. І будь-яка інша система базисних станів також годиться для опису квантовомеханічної ситуації. До зв'язку між ними ми ще повернемося. А зараз ми, як і раніше, будемо дотримуватися опису мовою станів | x>.
Перш ніж продовжувати, вдамося до невеликої заміни позначень, яка, сподіваємося, вас не надто збентежить. Форма функції C (x), визначеної рівнянням (14.14), природно, залежатиме від розглядуваного стану |ψ>. Це треба якось відзначити. Можна, наприклад, вказати, про яку функцію C (x) йдеться, поставивши знизу індекс, скажімо Сψ (х). Хоча таке позначення цілком підійшло б, але воно все ж трохи громіздке, і в більшості книжок ви його не зустрінете. Зазвичай просто прибирають букву C і користуються символом ψ для визначення функції
Перш ніж продовжувати, вдамося до невеликої заміни позначень, яка, сподіваємося, вас не надто збентежить. Форма функції C (x), визначеної рівнянням (14.14), природно, залежатиме від розглядуваного стану |ψ>. Це треба якось відзначити. Можна, наприклад, вказати, про яку функцію C (x) йдеться, поставивши знизу індекс, скажімо Сψ (х). Хоча таке позначення цілком підійшло б, але воно все ж трохи громіздке, і в більшості книжок ви його не зустрінете. Зазвичай просто прибирають букву C і користуються символом ψ для визначення функції
Зображення
Оскільки це позначення прийняте в усьому світі, було б непогано і вам звикнути до нього і не лякатися, зустрівши його десь. Треба тільки пам'ятати, що ψ тепер буде використовуватися двояким чином. У (14.14) ψ позначає мітку, якою ми відзначили заданий фізичний стан електрона. А в (14.16) зліва символ ψ застосовується для визначення математичної функції від x, що дорівнює амплітуді, пов'язаній з кожною точкою x прямої. Сподіваємося, що це не надто збентежить вас, коли ви звикнете до самої ідеї. До речі, функцію ψ(x) зазвичай називають «хвильовою функцією», бо вона дуже часто має форму комплексної хвилі своїх змінних.
Оскільки ми визначили ψ(x) як амплітуду того, що електрон у стані ψ виявиться в точці x, то хотілося б інтерпретувати квадрат абсолютної величини ψ як імовірність виявити електрон у точці x. Але, на жаль, імовірність виявити електрон точно в кожній даній точці дорівнює нулю. Електрон у загальному випадку розмазаний по якійсь ділянці прямої, і оскільки точок на кожній ділянці нескінченно багато, то ймовірність опинитися в будь-якій з них не може бути скінченним числом. Імовірність виявити електрон ми можемо описати лише мовою розподілу ймовірностей, який дає відносну ймовірність виявити електрон у різних неточно вказаних місцях прямої. Нехай Ймов. (x, Δx) позначає ймовірність виявити електрон у вузькому інтервалі Δx біля точки x. Якщо ми в кожній фізичній ситуації будемо користуватися достатньо дрібним масштабом, то ймовірність буде від точки до точки змінюватися плавно, і ймовірність виявити електрон у довільному скінченному маленькому відрізку прямої Δх буде пропорційна Δх. І можна так змінити наші визначення, щоб це було враховано. Можна вважати, що амплітуда <x |ψ> являє собою свого роду «густину амплітуд» для всіх базисних станів | x> у вузькому інтервалі x. Оскільки ймовірність виявити електрон у вузькому інтервалі Δx поблизу x має бути пропорційна довжині інтервалу Δx, ми оберемо таке визначення <x |ψ>, щоб дотримувалася така умова:
Оскільки ми визначили ψ(x) як амплітуду того, що електрон у стані ψ виявиться в точці x, то хотілося б інтерпретувати квадрат абсолютної величини ψ як імовірність виявити електрон у точці x. Але, на жаль, імовірність виявити електрон точно в кожній даній точці дорівнює нулю. Електрон у загальному випадку розмазаний по якійсь ділянці прямої, і оскільки точок на кожній ділянці нескінченно багато, то ймовірність опинитися в будь-якій з них не може бути скінченним числом. Імовірність виявити електрон ми можемо описати лише мовою розподілу ймовірностей, який дає відносну ймовірність виявити електрон у різних неточно вказаних місцях прямої. Нехай Ймов. (x, Δx) позначає ймовірність виявити електрон у вузькому інтервалі Δx біля точки x. Якщо ми в кожній фізичній ситуації будемо користуватися достатньо дрібним масштабом, то ймовірність буде від точки до точки змінюватися плавно, і ймовірність виявити електрон у довільному скінченному маленькому відрізку прямої Δх буде пропорційна Δх. І можна так змінити наші визначення, щоб це було враховано. Можна вважати, що амплітуда <x |ψ> являє собою свого роду «густину амплітуд» для всіх базисних станів | x> у вузькому інтервалі x. Оскільки ймовірність виявити електрон у вузькому інтервалі Δx поблизу x має бути пропорційна довжині інтервалу Δx, ми оберемо таке визначення <x |ψ>, щоб дотримувалася така умова:
Зображення
Амплітуда <x |ψ> тому пропорційна амплітуді того, що електрон у стані ψ буде виявлений у базисному стані x, а коефіцієнт пропорційності обрано так, що квадрат абсолютної величини амплітуди <x |ψ> дає густину ймовірності виявити електрон у будь-якому вузькому інтервалі. Можна писати і так:
Зображення
Тепер треба змінити деякі наші попередні рівняння, щоб узгодити їх з цим новим визначенням амплітуди ймовірності. Нехай є електрон у стані |ψ>, а ми хочемо знати амплітуду того, що він буде виявлений в іншому стані | φ>, який може відповідати іншим умовам розмазаності електрона. Коли йшлося про скінченну систему дискретних станів, ми користувалися рівнянням (14.5). До зміни нашого визначення амплітуд ми повинні були писати
Зображення
А тепер якщо обидві ці амплітуди нормовані так, як описано вище, то сума по всіх станах з вузького інтервалу x буде еквівалентна множенню на Δx, а сума по всіх значеннях x перетвориться просто на інтеграл. При наших змінених визначеннях правильна формула буде такою:
Зображення
Амплітуда <x|ψ> — це те, що ми тепер називаємо ψ (x); точно так само амплітуду <x | φ> ми позначимо φ (x). Пригадуючи, що <φ | x> комплексно спряжена з <x | φ>, ми можемо (14.18) переписати у вигляді
Зображення
При наших нових визначеннях усі формули залишаться колишніми, якщо тільки всюди знак суми замінити інтегруванням за x.
До того, що було сказано, треба зробити одне застереження. Будь-яка придатна система базисних станів повинна бути повною, якщо хочуть, щоб вона сповна відображала все, що відбувається. Для одновимірного руху електрона насправді недостатньо вказати лише базисні стани |x>, тому що в кожному з цих станів спін електрона може бути спрямований вгору або вниз. Один зі способів отримати повну систему — взяти дві сукупності станів за x: одну для спіна вгору, іншу для спіна вниз. Ми, втім, поки що не будемо вдаватися в такі подробиці.
До того, що було сказано, треба зробити одне застереження. Будь-яка придатна система базисних станів повинна бути повною, якщо хочуть, щоб вона сповна відображала все, що відбувається. Для одновимірного руху електрона насправді недостатньо вказати лише базисні стани |x>, тому що в кожному з цих станів спін електрона може бути спрямований вгору або вниз. Один зі способів отримати повну систему — взяти дві сукупності станів за x: одну для спіна вгору, іншу для спіна вниз. Ми, втім, поки що не будемо вдаватися в такі подробиці.