Волновая функция

Чтобы получить некоторое представление о том, как теперь все будет выглядеть, вернемся к самому началу и изучим проблему описания движения электрона по прямой, не рассматривая состояний, связанных с атомами решетки. Мы хотим возвратиться к самому началу и посмотреть, какими представлениями нужно пользоваться, чтобы описать движение свободной частицы в простанстве. Раз нас интересует поведение частицы вдоль континуума точек, то придется иметь дело с бесконечным множеством возможных состояний и, как вы увидите, идеи, которые были развиты для конечного числа состояний, потребуют некоторых технических видоизменений.
 
Начнем с того, что вектором состояния | x> обозначим состояние, в котором частица расположена в точности в точке c координатой x. Для каждого значения x вдоль прямой — для 1,73, для 9,67, для 10,00 и т. д.— имеется соответствующее состояние. Выберем эти состояния |x> в качестве базисных. Если это сделать для всех точек x прямой, то получится полная совокупность состояний для движения в одном измерении. Теперь положим, что имеется состояние другого рода, скажем |ψ>, в котором электрон как-то распределен вдоль прямой. Один из способов описать это состояние — задать все амплитуды того, что электрон будет также найден в каждом из базисных состояний | x>. Надо задать бесконечную совокупность амплитуд, по одной для каждого x. Запишем их в виде <x | ψ>. Каждая из этих амплитуд — комплексное число, и поскольку для каждого значения x существует одно такое число, амплитуда <x | ψ> является в действительности просто функцией x. Запишем ее также в виде C (x):

Мы уже рассматривали такие амплитуды, которые непрерывным образом меняются с координатами, говоря в гл. 5 (вып. 8) об изменениях амплитуд во времени. Мы, например, показали там, что следует ожидать, что частица с определенным импульсом будет обладать особым типом изменения своей амплитуды во времени. Если частица имеет определенный импульс p и соответствующую ему определенную энергию E, то амплитуда того, что она будет обнаружена в любом заданном месте x, такова:

Это уравнение выражает важный общий принцип квантовой механики, который связывает базисные состояния, соответствующие различным положениям в пространстве, с другой системой базисных состояний — со всеми состояниями определенного импульса. В некоторых задачах состояния определенного импульса удобнее, чем состояния с определенным x. И любая другая система базисных состояний также годится для описания квантовомеханической ситуации. К связи между ними мы еще вернемся. А сейчас мы по-прежнему будем придерживаться описания на языке состояний  | x>.
 
Прежде чем продолжать, прибегнем к небольшой замене обозначений, которая, надеемся, вас не слишком смутит. Форма функции C (x), определенной уравнением (14.14), естественно, будет зависеть от рассматриваемого состояния |ψ>. Это нужно как-то отметить. Можно, например, указать, о какой функции C (x) идет речь, поставив снизу индекс, скажем С_ψ (х). Хотя такое обозначение вполне подошло бы, но оно все же чуточку громоздко и в большинстве книг вы его не встретите. Обычно просто убирают букву C и пользуются символом ψ для определения функции

Поскольку это обозначение принято во всем мире, неплохо было бы и вам привыкнуть к нему и не пугаться, встретив его где-нибудь. Надо только помнить, что ψ теперь будет использоваться двояким образом. В (14.14) ψ обозначает метку, которой мы отметили заданное физическое состояние электрона. А в (14.16) слева символ ψ применяется для определения математической функции от x, равной амплитуде, связываемой с каждой точкой x прямой. Надеемся, что это не слишком смутит вас, когда вы привыкнете к самой идее. Кстати, функцию ψ(x) обычно именуют «волновой функцией», потому что она очень часто имеет форму комплексной волны своих переменных.
 
Раз мы определили ψ(x) как амплитуду того, что электрон в состоянии ψ обнаружится в точке x, то хотелось бы интерпретировать квадрат абсолютной величины ψ как вероятность обнаружить электрон в точке x. Но, к сожалению, вероятность обнаружить электрон в точности в каждой данной точке равна нулю. Электрон в общем случае размазывается по какому-то участку прямой, и поскольку точек на каждом участке бесконечно много, то вероятность оказаться в любой из них не может быть конечным числом. Вероятность обнаружить электрон мы можем описать только на языке распределения вероятностей, которое дает относительную вероятность обнаружить электрон в различных неточно указанных местах прямой. Пусть Вер. (x, Δx) обозначает вероятность обнаружить электрон в узком интервале Δx возле точки x. Если мы в каждой физической ситуации будем пользоваться достаточно мелким масштабом, то вероятность будет от точки к точке меняться плавно, и вероятность обнаружить электрон в произвольном конечном маленьком отрезке прямой Δх будет пропорциональна Δх. И можно так изменить наши определения, чтобы это было учтено. Можно считать, что амплитуда <x |ψ> представляет своего рода «плотность амплитуд» для всех базисных состояний | x> в узком интервале x. Поскольку вероятность обнаружить электрон в узком интервале Δx вблизи x должна быть пропорциональна длине интервала Δx, мы выберем такое определение <x |ψ>, чтобы соблюдалось следующее условие:

Амплитуда <x |ψ> поэтому пропорциональна амплитуде того, что электрон в состоянии ψ будет обнаружен в базисном состоянии x, а коэффициент пропорциональности выбран так, что квадрат абсолютной величины амплитуды <x |ψ> дает плотность вероятности обнаружить электрон в любом узком интервале. Можно  писать  и так:

Теперь надо изменить некоторые наши прежние уравнения, чтобы согласовать их с этим новым определением амплитуды вероятности. Пусть имеется электрон в состоянии |ψ>, а мы хотим знать амплитуду того, что он будет обнаружен в другом состоянии | φ>, которое может соответствовать другим условиям размазанности электрона. Когда речь шла о конечной системе дискретных состояний, мы пользовались уравнением (14.5). До изменения нашего определения амплитуд мы должны были писать

А теперь если обе эти амплитуды нормированы так, как описано выше, то сумма по всем состояниям из узкого интервала x будет эквивалентна умножению на Δx, а сумма по всем значениям x превратится просто в интеграл. При наших измененных определениях правильная формула будет такой:

Амплитуда <x|ψ> — это то, что мы теперь называем ψ (x); точно так же амплитуду <x | φ> мы обозначим φ (x). Вспоминая, что <φ | x> комплексно сопряжена с <x | φ>, мы можем (14.18) переписать в виде

При наших новых определениях все формулы останутся прежними, если только всюду знак суммы заменить интегрированием по x.
 
К тому, что было сказано, нужно сделать одну оговорку. Любая подходящая система базисных состояний должна быть полной, если хотят, чтобы она сполна отражала все, что происходит. Для одномерного движения электрона в действительности недостаточно указать только базисные состояния |x>, потому что в каждом из этих состояний спин электрона может быть направлен вверх или вниз. Один из способов получить полную систему — взять две совокупности состояний по x: одну для спина вверх, другую для спина вниз. Мы, впрочем, пока не будем входить в такие подробности.