Состояния с определенным импульсом

Пусть у нас имеется электрон в состоянии | ψ>, описываемом амплитудой вероятности <x | ψ> = ψ (x). Мы знаем, что ψ (x) обозначает состояние, в котором электрон размазан по прямой по какому-то закону, так что вероятность обнаружить его в узком интервале dx близ точки x попросту равна

Что можно сказать об импульсе этого электрона? Можно спросить, какова вероятность того, что импульс этого электрона равен p? Начнем с расчета амплитуды того, что состояние | ψ> присутствует в другом состоянии | имп. p>, которое мы определим как состояние с определенным импульсом p. Эту амплитуду можно найти, применяя наше основное уравнение для разложения амплитуд (14.20). В терминах состояний | имп. р>

А вероятность того, что у электрона будет обнаружен импульс p, выразится квадратом абсолютной величины этой амплитуды. Но опять возникает тот же вопрос насчет нормирования. Ведь вообще можно говорить только о вероятности обнаружить электрон с импульсом в узкой области dp близ значения p. Вероятность того, что импульс в точности равен p, равна нулю (разве что состояние | ψ> окажется состоянием с определенным импульсом). Только вероятность обнаружить импульс в интервале dp возле значения p может оказаться конечной. Нормировку можно делать по-разному. Мы выберем тот способ нормировки, который нам кажется особенно удобным, хотя вам сейчас это может так и не показаться.
 
Примем такую нормировку, чтобы вероятность была связана с амплитудой равенством

Это определение дает нам нормировку амплитуды <имп. p | x>. Амплитуда <имп. p | x>, естественно, комплексно сопряжена с амплитудой <x | имп. p>, а последнюю мы писали в (14.15). При нашей нормировке оказывается, что коэффициент пропорциональности перед экспонентой как раз равен единице, т. е.

Тогда (14.21) превращается в

Вместе с (14.22) это уравнение позволяет находить распределение импульсов для любого состояния  |ψ>.
 
Возьмем частный пример: скажем, когда электрон расположен в некоторой области вокруг x = 0. Пусть мы взяли волновую функцию вида

Распределение вероятности иметь то или иное значение x для такой волновой функции дается ее квадратом

Функция плотности вероятности Р (x) — это кривая Гаусса, показанная на фиг. 14.1. Большая часть вероятности сосредоточена между x = +σ и x = — σ. Мы говорим, что «полуширина» кривой есть σ. (Точнее, σ равняется средней квадратичной координате x, если разброс координат соответствует этому распределению.) Коэффициент K следовало бы выбрать так, чтобы плотность вероятности Р (x) не просто была пропорциональна вероятности (на единицу длины x) обнаружить электрон, но имела бы такой масштаб, чтобы Р (x) Δx равнялось вероятности обнаружить электрон в Δx вблизи x. Коэффициент K, при котором  так и получается, можно найти из требования _–∞∫^+∞Р (x) dx = 1, потому что вероятность, обнаружить электрон где попало равна единице. Мы находим, что K = (2πσ²)^–1/4.
 
Теперь  найдем  распределение по импульсу. Пусть φ (p) есть амплитуда того, что импульс электрона окажется равным p:

Подстановка (14.25) в (14.24) дает

также переписать в форме

Сделаем теперь замену u = x + 2ipσ²/h; интеграл обратится в

Математикам, вероятно, не понравился бы такой путь расчета, однако итог, несмотря на это, верен:

Мы пришли к интересному результату — распределение амплитуд по p имеет в точности ту же математическую форму, как и распределение амплитуд по x, только ширина кривой Гаусса иная. Можно записать это так:

где полуширина η распределения по p связана с полушириной σ распределения по x формулой

Наш результат утверждает: если сделать распределение по x очень узким, взяв σ малым, то η станет большим и распределение по p сильно расползется. Или наоборот, если распределение по p узко, то оно соответствует широкому распределению по x. Мы можем, если угодно, рассматривать η и σ как некую меру неопределенности локализации импульса и координаты электрона в изучаемом нами состоянии. Если обозначить их соответственно Δp и Δх, то (14.33) обратится в

Интересно вот что: можно доказать, что при всяком ином виде распределения по x или по p произведение ΔpΔx не может стать меньше, чем у нас получилось. Гауссово распределение дает наименьшее возможное значение произведения средних квадратичных. В общем случае

Это количественная формулировка принципа неопределенности Гейзенберга, который качественно нам уже давно известен. Мы обычно делали приближенное утверждение: наименьшее значение произведения ΔpΔx — это число порядка h.