Тотожні частинки

Черговий дослід, який ми хочемо описати, продемонструє один із чудових наслідків квантової механіки. У ньому знову зустрінуться такі фізичні події, у яких існують два нерозрізнюваних шляхи і, як завжди за таких обставин, виникає інтерференція амплітуд. Ми збираємося розглянути розсіяння одних ядер на інших при порівняно низькій енергії. Почнемо, скажімо, з α-частинок (це, як ви знаєте, просто ядра гелію), що бомбардують кисень. Щоб полегшити аналіз реакції, проведемо його в системі центра мас, у якій швидкості ядра кисню й α-частинки перед зіткненням протилежні, а після зіткнення теж протилежні (фіг. 1.7, а). (Величини швидкостей, звісно, різні, оскільки маси різні.) Припустімо також, що енергія зберігається і що енергія зіткнення настільки мала, що частинки ні розколюються, ні переходять у збуджений стан. Причина, через яку частинки відхиляють одна одну, полягає просто в тому, що обидві вони заряджені позитивно і, кажучи класично, відштовхуються, проходячи одна повз одну. Розсіяння на різні кути відбуватиметься з різною ймовірністю, і ми хочемо з'ясувати кутову залежність подібного розсіяння. (Звісно, усе це можна розрахувати класично, і за дивовижним збігом виявилося, що відповідь на це питання в квантовій механіці і в класичній — та сама. Це дуже цікаво, бо за жодного закону сил, крім закону обернених квадратів, так не буває, отже, це й справді випадковість.)
 
Ймовірність розсіяння в різних напрямках можна виміряти в досліді, зображеному на фіг. 1.7, а. Лічильник у положенні D₁ може бути сконструйований так, щоб детектувати лише α-частинки; лічильник у положенні D₂ може бути влаштований так, щоб детектувати кисень просто для перевірки. (У системі центра мас детектори повинні дивитися один на одного, у лабораторній — ні.) Дослід полягає у вимірюванні ймовірності розсіяння в різних напрямках. Позначимо через f (θ) амплітуду розсіяння в лічильники, коли вони розташовані під кутом θ; тоді | f (θ) |² — наша експериментально визначувана ймовірність.
Можна було б провести й інший дослід, у якому наші лічильники реагували б і на α-частинку, і на ядро кисню. Тоді треба зметикувати, що буде, якщо ми вирішимо не дбати про те, яка з частинок потрапила в лічильник. Зрозуміло, коли кисень летить у напрямку θ, то з протилежного боку, під кутом (π — θ), повинна опинитися α-частинка (фіг. 1.7,б). Отже, якщо f (θ) — амплітуда розсіяння кисню на кут θ, то f (π — θ) — це амплітуда розсіяння α-частинки на кут θ. Таким чином, ймовірність того, що якась частинка опиниться в лічильнику, який перебуває в положенні D₁, дорівнює

Зауважте, що в принципі обидва стани розрізнювані. Навіть якщо в цьому досліді ми їх не розрізняли, ми могли б це зробити. І відповідно до наших попередніх міркувань ми, отже, повинні складати ймовірності, а не амплітуди.
 
Наведений вище результат справедливий для багатьох ядер. Мішенню тут можуть слугувати і кисень, і вуглець, і берилій, і водень. Але він невірний при розсіянні α-частинок на α-частинках. У тому єдиному випадку, коли обидві частинки в точності однакові, експериментальні дані не узгоджуються з передбаченнями формули (1.14). Наприклад, ймовірність розсіяння на кут 90^° точно вдвічі більша за передбачену викладеною вище теорією — із частинками, які є ядрами «гелію», номер не проходить. Якщо мішень із Не³, а налітають на неї α-частинки (Не⁴), то все добре. І тільки коли мішень із Не⁴, тобто її ядра тотожні падаючим α-частинкам, тільки тоді розсіяння змінюється з кутом якимось особливим чином.
 
Можливо, ви вже здогадалися, у чому річ? У лічильнику α-частинка може опинитися з двох причин: або через розсіяння налетілої α-частинки на кут θ, або через розсіяння її на кут (π — θ). Як ми можемо пересвідчитися, хто потрапив у лічильник - частинка-снаряд чи частинка-мішень? Ніяк. У випадку розсіяння α-частинок на α-частинках існують дві альтернативи, розрізнити які не можна. Доводиться дати амплітудам ймовірності інтерферувати за допомогою додавання, і ймовірність виявити в лічильнику α-частинку є квадратом цієї суми:

Це зовсім не те, що (1.14). Візьміть, скажімо, кут π/2 (це легше собі уявити). При θ = π/2 ми, природно, маємо f (θ)= f(π — θ), так що з (1.15) ймовірність виявляється рівною

З іншого боку, якби не було інтерференції, формула (1.14) дала б лише 2 | f (π/2) |². Тож на кут 90° розсіюється вдвічі більше частинок, ніж можна було очікувати. Звісно, і під іншими кутами результати будуть інші. І ми приходимо до незвичайного висновку: коли частинки тотожні, відбувається щось нове, чого не бувало, коли частинки можна було відрізнити одна від одної. При математичному описі ви зобов'язані додавати амплітуди взаємовиключних процесів, у яких обидві частинки просто обмінюються ролями, і відбувається інтерференція.
 
Ще більш несподіване явище відбувається з розсіянням електронів на електронах або протонів на протонах. Тоді не вірний жоден із попередніх результатів! Для цих частинок ми повинні прикликати на допомогу зовсім нове правило: якщо електрон, що потрапляє в якусь точку, обмінюється своєю індивідуальністю з іншим електроном, то нова амплітуда інтерферує зі старою в протифазі. Це все одно інтерференція, але зі зворотним знаком. У випадку α-частинок, коли відбувається обмін α-частинками, що досягають лічильника, амплітуди інтерферують з одним і тим самим знаком. А у випадку електронів амплітуди обміну інтерферують з різними знаками. З точністю до однієї деталі, про яку зараз буде сказано, правильна формула для електронів у досліді, подібному до зображеного на фіг. 1.8, така:

Це твердження потребує уточнення, тому що ми не врахували спін електрона (у α-частинок спіну немає). Спін електрона можна вважати спрямованим або вгору, або вниз щодо площини розсіяння. Якщо енергія в досліді досить низька, то магнітні сили, що виникають від струмів, будуть малі й не вплинуть на спін. Припустімо в нашому аналізі, що так воно і є, тож немає шансів, щоб спіни при зіткненні перевернулися. Який би спін у електрона не був, він забирає його з собою. Ми бачимо тепер, що є багато можливостей. У частинки-снаряда і частинки-мішені обидва спіни можуть бути спрямовані вгору, або вниз, або в різні боки. Якщо вони обидва спрямовані вгору, як на фіг. 1.8 (або обидва — вниз), то після розсіяння залишиться те саме, і амплітуда процесу буде різницею амплітуд тих двох можливостей, які показано на фіг. 1.8. Ймовірність виявити електрон у лічильнику D₁ тоді даватиметься формулою (1.16).
 
Припустімо, однак, що в «снаряда» спін спрямований угору, а в «мішені» — вниз. В електрона, що потрапив у лічильник D₁ спін може виявитися або спрямованим угору, або — вниз, і, вимірюючи цей спін, ми можемо сказати, чи вискочив цей електрон із бомбардувального пучка, чи з мішені. Ці дві можливості показано на фіг. 1.9; в принципі вони розрізнювані, і тому інтерференції не вийде, просто складуться дві ймовірності. Усе це справедливо і тоді, коли обидва початкові спіни перевернуто, тобто якщо спін зліва дивиться вниз, а спін справа — вгору.

Нарешті, якщо електрони вилітають випадково (наприклад, вони вилітають з розжареної вольфрамової нитки цілком неполяризованим пучком), то з однаковою ймовірністю кожен окремий електрон вилетить або спіном угору, або спіном униз. Якщо ми не збираємося в нашому досліді вимірювати в якійсь точці спін електронів, то виходить те, що називають експериментом з неполяризованими частинками. Результат цього експерименту найкраще підрахувати, перелічивши всі мислимі можливості, як це зроблено в табл. 1.1. Для кожної розрізнюваної альтернативи окремо підраховано ймовірність. Тоді повна ймовірність є сумою всіх окремих ймовірностей. Зауважте, що для неполяризованих пучків результат при θ = π/2 становить половину класичного результату для незалежних частинок.

Поведінка тотожних частинок призводить до багатьох цікавих наслідків; у наступному розділі ми обговоримо їх докладніше.