Коли Шредінгер уперше відкрив правильні закони квантової механіки, він написав рівняння, яке описувало амплітуду ймовірності виявлення частинки в різних місцях. Це рівняння було дуже схоже на рівняння, які вже були відомі класичним фізикам, вони користувалися ними, щоб описати рух повітря в звуковій хвилі, поширення світла і т. д. Тож на початку розвитку квантової механіки більшу частину часу люди займалися розв'язанням цього рівняння. Але водночас почалося (зокрема, завдяки Борну й Діраку) розуміння тих принципово нових ідей, які лежали в основі квантової механіки. У міру її подальшого розвитку з'ясувалося, що в ній є багато такого, що прямо в рівнянні Шредінгера не міститься,— таких речей, як спін електрона та різні релятивістські явища. Усі курси квантової механіки за традицією починають з того самого, повторюючи шлях, пройдений в історичному розвитку предмета. Спершу довго вивчають класичну механіку, щоб потім зрозуміти, як розв'язується рівняння Шредінгера. Потім так само довго здобувають різні розв'язки. І лише після детального вивчення цього рівняння переходять до «вищих» питань, таких, як спін електрона.
Спочатку ми теж вважали, що найкраще закінчити ці лекції, показавши, як розв'язуються рівняння класичної фізики в різних складних випадках, таких, як опис звукових хвиль у замкненому просторі, типи електромагнітного випромінювання в циліндричних порожнинах і т. д. Таким був первісний план цього курсу. Але потім ми вирішили відмовитися від цього плану і замість цього дати вступ до квантової механіки. Ми дійшли висновку, що те, що зазвичай називають «вищими» розділами квантової механіки, насправді річ дуже проста. Потрібна для цього математика надзвичайно проста — потрібні лише нескладні алгебраїчні операції, жодних диференціальних рівнянь не треба (або в крайньому разі потрібні найпростіші). Проблема лише в тому, щоб перестрибнути через одну перешкоду: засвоїти, що ми більше не маємо права детально описувати поведінку частинок у просторі. І от саме цим ми і збираємося зайнятися: розповісти вам про те, що зазвичай називають «вищими» розділами квантової механіки. Але запевняю вас, це найпростіші (у повному сенсі цього слова), але водночас найфундаментальніші її частини. Чесно кажучи, це педагогічний експеримент, і, наскільки нам відомо, його ніколи раніше не ставили.
Звичайно, тут є своя трудність: квантовомеханічна поведінка речей надзвичайно дивна. Ніхто не може покладатися на те, що його щоденний досвід дасть йому інтуїтивне, грубе уявлення про те, що має статися. Тож цей предмет можна подати двояко: можна або досить грубо описати, що відбувається, повідомляючи більш чи менш докладно, що станеться, але не формулюючи точних законів, або ж можна наводити і точні закони в їх абстрактному вигляді. Але тоді ця абстракція призведе до того, що ви не знатимете, до чого фізично вона стосується. Цей спосіб не годиться, бо він цілком відсторонений, а від першого способу залишиться неприємний осад, бо ніколи не буде точно відомо, що правильно, а що ні. І ми не знаємо, як цю трудність обійти. З цією проблемою ми вже стикалися раніше [розд. 37 і 38 (вип. 3)]. У розд. 37 виклад відносно строгий, а в розд. 38 дано лише грубий опис різних явищ. Тепер ми спробуємо знайти золоту середину.
Ми почнемо цей розділ з деяких загальних квантовомеханічних уявлень. Дехто з цих тверджень буде цілком точним, інші ж точні лише частково. Викладаючи, нам буде важко зазначати, які з них які, але на той час, коли ви дочитаєте книжку до кінця, ви вже й самі розумітимете, озираючись назад, які частини встояли, а які виявилися лише грубим поясненням. Розділи, що йтимуть за цим, не будуть настільки неточними. Одна з причин, чому ми намагаємося в наступних розділах бути якомога точнішими, полягає в тому, що таким чином ми зможемо продемонструвати одну з найпрекрасніших властивостей квантової механіки — як багато з неї вдається вивести з такого малого.
Ми знову починаємо з з'ясування властивостей суперпозиції, накладання, амплітуд ймовірностей. Для прикладу ми пошлемось на дослід, описаний у розд. 37 (вип. 3) і ще раз показаний тут на фіг. 1.1.
Спочатку ми теж вважали, що найкраще закінчити ці лекції, показавши, як розв'язуються рівняння класичної фізики в різних складних випадках, таких, як опис звукових хвиль у замкненому просторі, типи електромагнітного випромінювання в циліндричних порожнинах і т. д. Таким був первісний план цього курсу. Але потім ми вирішили відмовитися від цього плану і замість цього дати вступ до квантової механіки. Ми дійшли висновку, що те, що зазвичай називають «вищими» розділами квантової механіки, насправді річ дуже проста. Потрібна для цього математика надзвичайно проста — потрібні лише нескладні алгебраїчні операції, жодних диференціальних рівнянь не треба (або в крайньому разі потрібні найпростіші). Проблема лише в тому, щоб перестрибнути через одну перешкоду: засвоїти, що ми більше не маємо права детально описувати поведінку частинок у просторі. І от саме цим ми і збираємося зайнятися: розповісти вам про те, що зазвичай називають «вищими» розділами квантової механіки. Але запевняю вас, це найпростіші (у повному сенсі цього слова), але водночас найфундаментальніші її частини. Чесно кажучи, це педагогічний експеримент, і, наскільки нам відомо, його ніколи раніше не ставили.
Звичайно, тут є своя трудність: квантовомеханічна поведінка речей надзвичайно дивна. Ніхто не може покладатися на те, що його щоденний досвід дасть йому інтуїтивне, грубе уявлення про те, що має статися. Тож цей предмет можна подати двояко: можна або досить грубо описати, що відбувається, повідомляючи більш чи менш докладно, що станеться, але не формулюючи точних законів, або ж можна наводити і точні закони в їх абстрактному вигляді. Але тоді ця абстракція призведе до того, що ви не знатимете, до чого фізично вона стосується. Цей спосіб не годиться, бо він цілком відсторонений, а від першого способу залишиться неприємний осад, бо ніколи не буде точно відомо, що правильно, а що ні. І ми не знаємо, як цю трудність обійти. З цією проблемою ми вже стикалися раніше [розд. 37 і 38 (вип. 3)]. У розд. 37 виклад відносно строгий, а в розд. 38 дано лише грубий опис різних явищ. Тепер ми спробуємо знайти золоту середину.
Ми почнемо цей розділ з деяких загальних квантовомеханічних уявлень. Дехто з цих тверджень буде цілком точним, інші ж точні лише частково. Викладаючи, нам буде важко зазначати, які з них які, але на той час, коли ви дочитаєте книжку до кінця, ви вже й самі розумітимете, озираючись назад, які частини встояли, а які виявилися лише грубим поясненням. Розділи, що йтимуть за цим, не будуть настільки неточними. Одна з причин, чому ми намагаємося в наступних розділах бути якомога точнішими, полягає в тому, що таким чином ми зможемо продемонструвати одну з найпрекрасніших властивостей квантової механіки — як багато з неї вдається вивести з такого малого.
Ми знову починаємо з з'ясування властивостей суперпозиції, накладання, амплітуд ймовірностей. Для прикладу ми пошлемось на дослід, описаний у розд. 37 (вип. 3) і ще раз показаний тут на фіг. 1.1.
Зображення
Маємо джерело частинок s, скажімо електронів; далі стоїть стінка, у якій є дві щілини; за стінкою розміщено детектор; він перебуває десь у точці x. Ми запитуємо: яка ймовірність того, що в точці x буде виявлена частинка? Наш перший загальний принцип квантової механіки полягає в тому, що ймовірність того, що частинка досягне точки x, вийшовши з джерела s, може бути числово подана квадратом модуля комплексного числа, що зветься амплітудою ймовірності, у нашому випадку — «амплітудою того, що частинка з s потрапить у x». До цих амплітуд ми будемо вдаватися так часто, що зручно буде використовувати скорочене позначення, винайдене Діраком і повсюдно застосовуване в квантовій механіці, щоб відображати це поняття. Запишемо амплітуду ймовірності так:
Зображення
Іншими словами, дві дужки < > — це знак, еквівалентний словам «амплітуда (ймовірності) того, що»; вираз праворуч від вертикальної рисочки завжди задає початкову умову, а те, що ліворуч,— кінцеву умову. А іноді буде зручно скорочувати ще сильніше, описуючи початкові й кінцеві умови однією буквою. Наприклад, амплітуду (1.1) можна при нагоді записати і так:
Зображення
Треба підкреслити, що подібна амплітуда — це, звісно, всього лише число — комплексне число.
У розд. 37 (вип. 3) ми вже бачили, що коли частинка може досягти детектора двома шляхами, підсумкова ймовірність не є сумою двох ймовірностей, а має бути записана у вигляді квадрата модуля суми двох амплітуд. Ми виявили, що ймовірність того, що електрон досягне детектора за обох відкритих амбразур, дорівнює
У розд. 37 (вип. 3) ми вже бачили, що коли частинка може досягти детектора двома шляхами, підсумкова ймовірність не є сумою двох ймовірностей, а має бути записана у вигляді квадрата модуля суми двох амплітуд. Ми виявили, що ймовірність того, що електрон досягне детектора за обох відкритих амбразур, дорівнює
Зображення
Тепер ми збираємося записати цей результат у наших нових позначеннях. Спершу сформулюємо наш другий загальний принцип квантової механіки. Коли частинка може досягти даного стану двома можливими шляхами, повна амплітуда процесу є сумою амплітуд для цих двох шляхів, розглянутих окремо. У наших нових позначеннях ми напишемо
Зображення
При цьому ми припускаємо, що щілини 1 і 2 достатньо малі, тож коли ми кажемо, що електрон пройшов крізь щілину, не постає питання, через яку частину щілини він пройшов. Звісно, можна розбити кожну щілину на ділянки з певною амплітудою того, що електрон пройшов через верх щілини чи через низ і т. д. Ми припустимо, що щілина достатньо мала, тож нам не треба думати про цю деталь. Це одна з тих неточностей, про які ми говорили; суть справи можна уточнити, але ми поки що не будемо цього робити.
Тепер ми хочемо детальніше розписати, що можна сказати про амплітуду процесу, в якому електрон досягає детектора в точці x через щілину 1. Це можна зробити, застосувавши третій загальний принцип. Коли частинка йде якимсь певним даним шляхом, то амплітуда для цього шляху може бути записана у вигляді добутку амплітуди того, що буде пройдена частина шляху, на амплітуду того, що й решта шляху буде пройдена. Для установки, показаної на фіг. 1.1, амплітуда переходу від s до x крізь щілину 1 дорівнює амплітуді переходу від s до 1, помноженій на амплітуду переходу від 1 до x:
Тепер ми хочемо детальніше розписати, що можна сказати про амплітуду процесу, в якому електрон досягає детектора в точці x через щілину 1. Це можна зробити, застосувавши третій загальний принцип. Коли частинка йде якимсь певним даним шляхом, то амплітуда для цього шляху може бути записана у вигляді добутку амплітуди того, що буде пройдена частина шляху, на амплітуду того, що й решта шляху буде пройдена. Для установки, показаної на фіг. 1.1, амплітуда переходу від s до x крізь щілину 1 дорівнює амплітуді переходу від s до 1, помноженій на амплітуду переходу від 1 до x:
Зображення
Знову ж таки, це твердження не зовсім точне. Треба додати ще один множник — амплітуду того, що електрон пройде щілину в точці 1; але поки що це в нас проста щілина, і ми покладемо згаданий множник рівним одиниці.
Зауважте, що рівняння (1.5) виглядає написаним задом наперед. Його треба читати справа наліво: електрон переходить від s до 1 і потім від 1 до x. Отже, якщо події відбуваються одна за одною, тобто якщо ви здатні проаналізувати один із шляхів частинки, кажучи, що вона спершу робить те-то, потім те-то, потім те-то, то підсумкова амплітуда для цього шляху обчислюється послідовним множенням на амплітуду кожної наступної події. Користуючись цим законом, ми можемо переписати рівняння (1-4) так:
Зауважте, що рівняння (1.5) виглядає написаним задом наперед. Його треба читати справа наліво: електрон переходить від s до 1 і потім від 1 до x. Отже, якщо події відбуваються одна за одною, тобто якщо ви здатні проаналізувати один із шляхів частинки, кажучи, що вона спершу робить те-то, потім те-то, потім те-то, то підсумкова амплітуда для цього шляху обчислюється послідовним множенням на амплітуду кожної наступної події. Користуючись цим законом, ми можемо переписати рівняння (1-4) так:
Зображення
А тепер ми покажемо, що, використовуючи лише ці принципи, вже можна розв'язувати й складніші задачі, на кшталт показаної на фіг. 1.2. Тут зображено дві стінки: одна з двома щілинами 1 і 2, інша з трьома — a, b і с. За другою стінкою в точці x стоїть детектор, і ми хочемо дізнатися амплітуду того, що частинка досягне x. Один спосіб розв'язання полягає в розрахунку суперпозиції, або інтерференції, хвиль, що проходять крізь щілини; але можна зробити й інакше, сказавши, що є шість можливих шляхів, і накладаючи один на одного їхні амплітуди. Електрон може пройти через щілину 1, потім через щілину а і потім у x, або ж він міг би пройти крізь щілину 1, потім крізь щілину b і потім у x і т. д. Згідно з нашим другим принципом, амплітуди взаємовиключних шляхів додаються, тож ми повинні записати амплітуду переходу від s до x у вигляді суми шести окремих амплітуд. З іншого боку, згідно з третім принципом, кожну з них можна записати у вигляді добутку трьох амплітуд. Наприклад, одна з них — це амплітуда переходу від s до 1, помножена на амплітуду переходу від 1 до а і на амплітуду переходу від a до x. Використовуючи наше скорочене позначення, повну амплітуду переходу від s до x можна записати у виглядіЗображення
Можна заощадити місце, використавши знак суми:
Зображення
Щоб, користуючись цим методом, проводити якісь обчислення, треба, природно, знати амплітуду переходу з одного місця в інше. Наведу приклад типової амплітуди. У ній не враховано деяких деталей, таких, як поляризація світла або спін електрона, а в іншому вона абсолютно точна. З її допомогою ви зможете розв'язувати задачі, куди входять різні поєднання щілин. Припустімо, що частинка з певною енергією переходить у порожньому просторі з положення r1 у положення r2. Іншими словами, це вільна частинка: на неї не діють жодні сили. Відкидаючи числовий множник попереду, амплітуду переходу від r1 до r2 можна записати так:
Зображення
де r12 = r2 — r1, а р — імпульс частинки, пов'язаний з її енергією E релятивістським рівнянням
Зображення
або нерелятивістським рівнянням
Зображення
Рівняння (1.7) зрештою стверджує, що частинка має хвильові властивості, що амплітуда поширюється як хвиля з хвильовим числом, що дорівнює імпульсу, поділеному на h.
У загальному випадку в амплітуду і у відповідну ймовірність входить також і час. У більшості наших початкових міркувань буде припускатися, що джерело випускає частинки з даною енергією безперервно, тож про час не треба буде думати. Але, взагалі кажучи, ми маємо право зацікавитися й іншими питаннями. Припустімо, що частинка випущена в якомусь місці P у якийсь момент, і ви хочете знати амплітуду того, що вона опиниться в якомусь місці, скажімо r, у пізніший час. Це символічно можна подати у вигляді амплітуди <r, t = t1 | P, t = 0>. І ясно, що вона залежить і від r, і від t. Розміщуючи детектор у різних місцях і роблячи вимірювання в різні моменти часу, ви отримаєте різні результати. Ця функція r і t, взагалі кажучи, задовольняє диференціальному рівнянню, яке є хвильовим рівнянням. Скажімо, у нерелятивістському випадку це рівняння Шредінгера. Виходить хвильове рівняння, аналогічне рівнянню для електромагнітних хвиль або звукових хвиль у газі. Однак треба підкреслити, що хвильова функція, яка задовольняє рівнянню, не схожа на реальну хвилю в просторі; з цією хвилею не можна пов'язати жодної реальності, як це робиться зі звуковою хвилею.
Хоча, маючи справу з однією частинкою, можна почати намагатися мислити мовою «корпускулярних хвиль», але нічого доброго в цьому немає, бо якщо, скажімо, частинок не одна, а дві, то амплітуда виявити одну з них у r1, а іншу в r2, не є звичайною хвилею в тривимірному просторі, а залежить від шести просторових змінних r1 і r2. Коли частинок дві (або більше), виникає потреба в такому додатковому принципі. Якщо дві частинки не взаємодіють, то амплітуда того, що одна частинка вчинить щось одне, а інша зробить щось інше, є добутком двох амплітуд — амплітуд того, що дві частинки зробили б це окремо. Наприклад, якщо <а | s1> є амплітудою того, що частинка 1 перейде з s1 у a, a <b | s2> — амплітудою того, що частинка 2 перейде з s2 у b, то амплітуда того, що обидві ці події відбудуться разом, дорівнює
У загальному випадку в амплітуду і у відповідну ймовірність входить також і час. У більшості наших початкових міркувань буде припускатися, що джерело випускає частинки з даною енергією безперервно, тож про час не треба буде думати. Але, взагалі кажучи, ми маємо право зацікавитися й іншими питаннями. Припустімо, що частинка випущена в якомусь місці P у якийсь момент, і ви хочете знати амплітуду того, що вона опиниться в якомусь місці, скажімо r, у пізніший час. Це символічно можна подати у вигляді амплітуди <r, t = t1 | P, t = 0>. І ясно, що вона залежить і від r, і від t. Розміщуючи детектор у різних місцях і роблячи вимірювання в різні моменти часу, ви отримаєте різні результати. Ця функція r і t, взагалі кажучи, задовольняє диференціальному рівнянню, яке є хвильовим рівнянням. Скажімо, у нерелятивістському випадку це рівняння Шредінгера. Виходить хвильове рівняння, аналогічне рівнянню для електромагнітних хвиль або звукових хвиль у газі. Однак треба підкреслити, що хвильова функція, яка задовольняє рівнянню, не схожа на реальну хвилю в просторі; з цією хвилею не можна пов'язати жодної реальності, як це робиться зі звуковою хвилею.
Хоча, маючи справу з однією частинкою, можна почати намагатися мислити мовою «корпускулярних хвиль», але нічого доброго в цьому немає, бо якщо, скажімо, частинок не одна, а дві, то амплітуда виявити одну з них у r1, а іншу в r2, не є звичайною хвилею в тривимірному просторі, а залежить від шести просторових змінних r1 і r2. Коли частинок дві (або більше), виникає потреба в такому додатковому принципі. Якщо дві частинки не взаємодіють, то амплітуда того, що одна частинка вчинить щось одне, а інша зробить щось інше, є добутком двох амплітуд — амплітуд того, що дві частинки зробили б це окремо. Наприклад, якщо <а | s1> є амплітудою того, що частинка 1 перейде з s1 у a, a <b | s2> — амплітудою того, що частинка 2 перейде з s2 у b, то амплітуда того, що обидві ці події відбудуться разом, дорівнює
Зображення
І ще одну річ треба підкреслити. Припустімо, нам невідомо, звідки з'являються частинки на фіг. 1.2, перш ніж вони пройдуть крізь щілини 1 і 2 у першій стінці. Попри це, ми все одно можемо передбачити, що станеться за стінкою (скажімо, обчислити амплітуду потрапити в x), якщо тільки нам дано два числа: амплітуду потрапляння в 1 і амплітуду потрапляння в 2. Іншими словами, через те що амплітуди послідовних подій перемножуються, як це показано в рівнянні (1.6), усе, що вам треба знати для продовження аналізу,— це два числа, у цьому конкретному випадку <1 | s> і <2 | s>. Цих двох комплексних чисел достатньо, щоб передбачити все майбутнє. Це й робить квантову механіку простою. У наступних розділах з'ясується, що саме це ми й робимо, коли зазначаємо початкові умови за допомогою двох (або кількох) чисел. Звісно, ці числа залежать від того, де розташоване джерело і які інші властивості приладу, але, щойно ці числа дано, усі подібні деталі нам більше не потрібні.