Зв'язані маятники

Наостанок необхідно підкреслити, що гармоніки виникають не тільки в складних неперервних системах, а й у дуже простих механічних системах. Гарним прикладом цього слугує розглянута в попередньому розділі система двох зв'язаних маятників. Там ми показали, що загальний рух цієї системи можна розглядати як суперпозицію двох типів гармонічних рухів із різними частотами, тож навіть таку систему можна розглядати з погляду власних гармонік. У струні збуджується нескінченне число власних гармонік, у двовимірної поверхні їх теж нескінченно багато. У якомусь сенсі тут виходить навіть подвійна нескінченність  (якби  ж  ми   тільки   знали,   як   працювати   з нескінченностями!). Але в простому механічному пристрої, що має лише два ступені свободи і потребує для свого опису тільки двох змінних, збуджуються всього дві гармоніки.
Спробуймо знайти математично ці дві гармоніки для випадку, коли довжини маятників однакові. Нехай відхилення одного маятника буде x, а іншого — y, як це показано на фіг. 49.5. За відсутності пружини сила тяжіння, що діє на перший маятник, пропорційна його відхиленню. Якби тут не було пружини, то для одного маятника з'явилася б якась власна частота ω₀, а рівняння руху в цьому разі набуло б вигляду

Другий маятник за відсутності пружини хитався б точнісінько так само, як і перший. Однак за наявності пружини на додачу до відновлювальної сили, що виникає внаслідок гравітації, з'являється ще додаткова сила від пружини, яка прагне «стягти» маятники. Ця сила залежить від перевищення відхилення x над відхиленням y і пропорційна їхній різниці, тобто вона дорівнює деякій сталій, що залежить тільки від геометрії, помноженій на (x—y). Та сама сила, але в зворотному напрямку діє на другий маятник. Тому рівняння руху, які ми повинні розв'язати, будуть такими:

Щоб знайти рух, за якого обидва маятники коливаються з однаковою частотою, ми повинні визначити, наскільки відхиляється  кожен із  них.  Іншими словами,  маятник  A і маятник B коливатимуться з однаковою частотою і з якимись амплітудами A і B, відношення яких фіксоване. Перевірмо, наскільки підходить такий розв'язок:

Якщо підставити його в рівняння (49.14) і зібрати подібні члени, то отримаємо

При виведенні цих рівнянь ми скоротили загальний множник e^iωt і поділили все на m.

Тепер ми бачимо, що вийшло два рівняння для, здавалося б, двох невідомих. Однак насправді тут немає двох невідомих, бо загальні масштаби руху не можна знайти з цих рівнянь. Вони можуть дати нам тільки відношення A до B, причому обидва рівняння повинні дати однакову величину. Вимога узгодженості рівнянь одне з одним накладає вимогу на частоту: вона повинна бути якоюсь дуже особливою.
 
Але знайти частоту в цьому окремому випадку доволі легко. Якщо перемножити обидва рівняння, то ми отримаємо

В обох частинах можна скоротити добуток AВ, за винятком тих випадків, коли або A, або B дорівнює нулю, що означає відсутність руху взагалі. Але якщо рух є, то повинні бути рівними між собою й інші співмножники, що приводить до квадратного рівняння. У результаті виходять дві можливі частоти:

Більше того, якщо підставити ці значення частот знову в рівняння (49.16), то для першої частоти ми отримаємо A =B, тобто пружина взагалі не розтягуватиметься і обидва маятники коливаються з частотою ω₀, як якби пружини взагалі не було. У другому розв'язку, коли A=—B, пружина збільшує відновлювальну силу і частота зростає. Цікавіший випадок, коли маятники мають різні довжини. Аналіз цього випадку, який дуже схожий на те, що ми нещодавно проробили, рекомендуємо як вправу провести самим читачам.