Перейдімо до обговорення наступної цікавої задачі. Що станеться, якщо струну закріпити з двох кінців, скажімо в точках х=0 і x = L? Почнімо з ідеї відбиття хвилі, з якогось горба, що рухається в одному напрямку. З плином часу цей горб підійде до одного кінця струни і зрештою перетвориться на невеликий сплеск, бо тут він складається з перевернутим відповідним горбом, що йде з іншого боку. Нарешті перший горб зовсім зникне, а в зворотному напрямку побіжить інший, «відповідний» горб, і весь процес повториться вже на іншому кінці. Як бачите, задача розв'язується зовсім просто, утім тут виникає цікаве питання: чи можна в цьому разі отримати синусоїдальну хвилю (щойно описаний розв'язок періодичний, але, звісно, не синусоїдально періодичний). Спробуймо «вставити» в нашу струну синусоїдально періодичну хвилю. Якщо один кінець струни закріплений, то ми знаємо, що має вийти щось схоже на наш попередній розв'язок (49.3). Але те саме повинно вийти і на другому кінці, адже він теж закріплений. Тому єдина можливість отримати періодичний синусоїдальний рух—це взяти хвилю, яка точно вкладається на довжині струни. Інакше ми не отримаємо власної частоти, з якою струна могла б продовжувати свої коливання. Коротше кажучи, якщо по струні пустити синусоїдальну хвилю, яка точно вкладається на її довжині, то вона зберігає свою ідеальну синусоподібну форму й буде гармонічно коливатися з певною частотою.
Математично ми можемо задати форму хвилі у вигляді функції sin kx, де k = ω/с, як і в рівняннях (49.3) і (49.4). Ця функція обертається в нуль при x=0, однак та сама умова повинна виконуватися і на іншому кінці струни. Річ у тім, що k уже не буде довільним, як у разі напівобмеженої струни. Обидва кінці можуть бути закріплені за однієї-єдиної умови, що sin kL=0. Але щоб синус дорівнював нулю, його кут повинен бути кратним цілому числу π, наприклад 0, π, 2π і т. д. Тому рівняння
Математично ми можемо задати форму хвилі у вигляді функції sin kx, де k = ω/с, як і в рівняннях (49.3) і (49.4). Ця функція обертається в нуль при x=0, однак та сама умова повинна виконуватися і на іншому кінці струни. Річ у тім, що k уже не буде довільним, як у разі напівобмеженої струни. Обидва кінці можуть бути закріплені за однієї-єдиної умови, що sin kL=0. Але щоб синус дорівнював нулю, його кут повинен бути кратним цілому числу π, наприклад 0, π, 2π і т. д. Тому рівняння
Зображення
залежно від того цілого числа, яке ми підставимо в нього, дає повний набір різних чисел k. При цьому кожному числу k відповідає частота ω, яка за формулою (49.3)
Зображення
Отже, ми знайшли, що синусоїдальні коливання струни можуть відбуватися тільки з деякими певними частотами. Це — найважливіша характеристика хвиль в обмеженій області. Хоч би якою складною була система, завжди виявляється, що в ній можуть бути чисто синусоїдальні коливання, але їхня частота визначається властивостями цієї системи і природою її меж. У випадку струни можливо безліч різних частот, кожній з яких відповідає певне власне коливання — рух, що синусоїдально повторює сам себе.
На фіг. 49.2 показано перші три власні гармоніки нашої струни. Довжина хвилі λ першої з них дорівнює 2L. У цьому легко переконатися, продовживши хвилю до точки x=2L і отримавши повний цикл синусоїдальної хвилі. Кутова частота ω дорівнює в загальному випадку 2πс, поділеному на довжину хвилі λ, а оскільки зараз у нас λ=2L, то частота дорівнюватиме πc/L, що узгоджується з формулою (49.6) при n = 1. Позначимо цю частоту через ω1. Наступна власна гармоніка нагадує бантик із двох петель із вузлом посередині. Її довжина просто дорівнює L. Відповідна величина k, а отже, і частота ω повинні бути вдвічі більшими, тобто частота дорівнює 2ω1. Частота третьої власної гармоніки виявляється рівною 3ω1 і т. д. Таким чином, різні власні гармоніки кратні цілому числу найнижчої частоти ω1, тобто ω1, 2ω1, 3ω1 і т.д.
Повернімося тепер до загального руху струни. Виявляється, що будь-який можливий рух можна розглядати як одночасну дію певної кількості власних коливань. Насправді для опису найзагальнішого руху повинна бути одночасно збуджена нескінченна кількість власних гармонік. Щоб отримати певне уявлення про те, що відбувається при такому додаванні, погляньмо, що вийде при одночасному коливанні двох перших власних гармонік. Нехай перша з них коливається так, як це показано в ряді схематичних креслень фіг. 49.3, де зображено відхилення струни через рівні проміжки часу протягом напівциклу найнижчої частоти.
Припустімо тепер, що одночасно з першою власною гармонікою працює і друга. Послідовні положення струни при збудженні цієї власної гармоніки показано теж на фіг. 49.3 пунктирною лінією. Стосовно першої гармоніки вони зсунуті по фазі на 90°. Це означає, що в початковий момент жодного відхилення не було, але швидкості двох половинок струни спрямовані в протилежні боки. Згадаймо тепер загальний принцип лінійних систем: якщо взяти будь-які два розв'язки, то їхня сума теж буде розв'язком. Тому переміщення, отримані додаванням двох розв'язків, показаних на фіг. 49.3, будуть третім можливим розв'язком. На цьому самому малюнку показано й результат додавання, який починає нагадувати горб, що пробігає туди й сюди по струні від одного кінця до іншого, хоча за допомогою лише двох власних гармонік не можна побудувати достатньо гарної картини такого руху; їх потрібно набагато більше. Цей результат являє собою насправді окремий випадок основного принципу лінійних систем, який стверджує:
Будь-який рух можна розглядати як складений із різних власних гармонік, узятих з належними амплітудами і фазами.
Значення цього принципу зумовлене тим фактом, що кожне власне коливання — дуже проста річ — це просто синусоїдальний рух у часі. Правду кажучи, навіть загальний рух струни — ще не найскладніша річ; існує рух набагато складніший, скажімо такий, як вібрація крил літака. Тим не менш навіть у крил літака можна виявити якісь власні скручування з певними частотами. А якщо так, то повний рух можна розглядати як суперпозицію гармонічних коливань (за винятком тих випадків, коли вібрація настільки велика, що система вже не може розглядатися як лінійна).
На фіг. 49.2 показано перші три власні гармоніки нашої струни. Довжина хвилі λ першої з них дорівнює 2L. У цьому легко переконатися, продовживши хвилю до точки x=2L і отримавши повний цикл синусоїдальної хвилі. Кутова частота ω дорівнює в загальному випадку 2πс, поділеному на довжину хвилі λ, а оскільки зараз у нас λ=2L, то частота дорівнюватиме πc/L, що узгоджується з формулою (49.6) при n = 1. Позначимо цю частоту через ω1. Наступна власна гармоніка нагадує бантик із двох петель із вузлом посередині. Її довжина просто дорівнює L. Відповідна величина k, а отже, і частота ω повинні бути вдвічі більшими, тобто частота дорівнює 2ω1. Частота третьої власної гармоніки виявляється рівною 3ω1 і т. д. Таким чином, різні власні гармоніки кратні цілому числу найнижчої частоти ω1, тобто ω1, 2ω1, 3ω1 і т.д.Повернімося тепер до загального руху струни. Виявляється, що будь-який можливий рух можна розглядати як одночасну дію певної кількості власних коливань. Насправді для опису найзагальнішого руху повинна бути одночасно збуджена нескінченна кількість власних гармонік. Щоб отримати певне уявлення про те, що відбувається при такому додаванні, погляньмо, що вийде при одночасному коливанні двох перших власних гармонік. Нехай перша з них коливається так, як це показано в ряді схематичних креслень фіг. 49.3, де зображено відхилення струни через рівні проміжки часу протягом напівциклу найнижчої частоти.Припустімо тепер, що одночасно з першою власною гармонікою працює і друга. Послідовні положення струни при збудженні цієї власної гармоніки показано теж на фіг. 49.3 пунктирною лінією. Стосовно першої гармоніки вони зсунуті по фазі на 90°. Це означає, що в початковий момент жодного відхилення не було, але швидкості двох половинок струни спрямовані в протилежні боки. Згадаймо тепер загальний принцип лінійних систем: якщо взяти будь-які два розв'язки, то їхня сума теж буде розв'язком. Тому переміщення, отримані додаванням двох розв'язків, показаних на фіг. 49.3, будуть третім можливим розв'язком. На цьому самому малюнку показано й результат додавання, який починає нагадувати горб, що пробігає туди й сюди по струні від одного кінця до іншого, хоча за допомогою лише двох власних гармонік не можна побудувати достатньо гарної картини такого руху; їх потрібно набагато більше. Цей результат являє собою насправді окремий випадок основного принципу лінійних систем, який стверджує:
Будь-який рух можна розглядати як складений із різних власних гармонік, узятих з належними амплітудами і фазами.
Значення цього принципу зумовлене тим фактом, що кожне власне коливання — дуже проста річ — це просто синусоїдальний рух у часі. Правду кажучи, навіть загальний рух струни — ще не найскладніша річ; існує рух набагато складніший, скажімо такий, як вібрація крил літака. Тим не менш навіть у крил літака можна виявити якісь власні скручування з певними частотами. А якщо так, то повний рух можна розглядати як суперпозицію гармонічних коливань (за винятком тих випадків, коли вібрація настільки велика, що система вже не може розглядатися як лінійна).