Коефіцієнти Фур'є

Повернімося тепер до твердження про те, що кожну ноту, тобто будь-яке періодичне коливання, можна подати у вигляді належної комбінації гармонік. Хотілося б знати, як можна знайти потрібну частку кожної гармоніки. Звісно, якщо нам дані всі коефіцієнти a і b, то, користуючись формулою (50.2), легко підрахувати функцію f(t). Тепер же питання полягає в тому, як можна знайти коефіцієнти при різних гармоніках, якщо нам задана функція f(t)? (Неважко спекти пиріг, якщо є рецепт, але як, скуштувавши пиріг, написати його рецепт?)
 
Фур'є відкрив, що насправді зробити це не дуже важко. Член a₀ вже напевно неважко знайти. Ми говорили, що він дорівнює середньому значенню f(t) протягом одного періоду (від t=0 до t = T). Легко побачити, що це справді так. Середнє значення синуса або косинуса протягом одного періоду дорівнює нулю. Протягом двох, або трьох, або іншого цілого числа періодів воно теж дорівнює нулю. Таким чином, середнє значення всіх членів з правого боку (50.2), за винятком лише а₀, дорівнює нулю. (Нагадаємо, що ми повинні обрати ω=2π/T.)
 
Далі, оскільки середнє значення суми дорівнює сумі середніх, то середнє значення функції f(t) дорівнює просто середньому від а₀. Але ж а₀ — просто стала, і її середнє значення дорівнює їй самій.  Згадуючи визначення середнього, ми отримуємо

Знайти решту коефіцієнтів ненабагато важче. Щоб зробити це, скористаємося одним фокусом, відкритим самим Фур'є. Припустимо, що ми помножили обидві сторони рівняння (50.2) на якусь гармонічну функцію, скажімо на cos 7ωt. При цьому отримуємо

А тепер усереднімо обидві сторони рівності. Середнє від члена a₀cos7ωt за період T пропорційне середньому від косинуса за сім його періодів. Але останнє просто дорівнює нулю. Середнє майже всіх інших членів теж дорівнюватиме нулю. Справді, розглянемо член з а₁. Ми знаємо, що в загальному випадку

Таким чином виходять два косинуси: один з вісьмома повними періодами, а інший із шістьма. Обидва вони дорівнюють нулю. Тому середнє значення цього члена теж дорівнює нулю.
 
Для члена з a₂ ми отримуємо cos 9ωt і cos 5ωt, кожен з яких при усередненні перетвориться на нуль. Для члена з a₉ вийде cos 16ωt і cos(—2ωt). Але cos(—2ωt) — це те саме, що cos 2ωt, так що знову обидва члени дадуть при усередненні нуль. Зрозуміло, що всі доданки з косинусами, за винятком одного, дадуть при усередненні нуль. Цим єдиним доданком буде член з a₇. Для нього ж ми отримаємо

Косинус нуля дорівнює одиниці, а середнє від нього, звісно, теж дорівнює одиниці. Отже, ми отримали, що середнє від усіх членів з косинусами рівняння (50.4) дорівнює 1/2a₇.
 
Ще легше впоратися із синусами. Коли ми множимо їх на косинус типу cos nωt, то таким же методом можна показати, що всі вони при усередненні перетворюються на нуль.
 
Ми бачимо, що спосіб, придуманий Фур'є, діє як своєрідне сито. Коли ми множимо на cos 7ωt і усереднюємо, то всі члени, крім a₇, відсіюються і в результаті залишається

Нехай читач сам доведе, що коефіцієнти b₇ наприклад, знаходяться за допомогою множення (50.2) на sin 7ωt і усереднення обох частин.  Результат такий:

Але те, що правильно для 7, очевидно, правильне й для будь-якого іншого цілого числа. Тепер ми запишемо результат нашого доведення   у  наступній,   більш елегантній   математичній формі. Якщо т і n — цілі, відмінні від нуля   числа, і якщо ω=2π/T,  то

У попередніх розділах для опису простого гармонічного руху було зручно користуватися експоненційною функцією. Замість cos ωt ми використовували Re exp(iωt) — дійсну частину експоненційної функції. У цьому розділі ми використовували синус і косинус, тому що з ними, мабуть, трохи простіше проводити доведення. Однак наш остаточний результат, рівняння (50.13), можна записати в компактнішій формі:

де a_n — комплексне число a_n—ib_n (з b₀=0). Якщо ми всюди будемо користуватися одним і тим самим позначенням, то повинні також  написати

Отже, тепер ми вміємо розкладати періодичну хвилю на її гармонічні компоненти. Ця процедура називається розкладом у ряд Фур'є, а окремі члени називаються фур'є-компонентами. Однак досі ми не показали, що, визначивши всі фур'є-компоненти і потім склавши їх, ми справді повернемося назад до нашої функції f(t). Математики довели, що для широкого класу функцій (по суті, для всіх функцій, цікавих фізикам), які можна проінтегрувати, ми знову отримуємо f(t). Але є один невеликий виняток. Якщо функція f(t) розривна, тобто якщо вона несподівано стрибає від одного значення до іншого, сума Фур'є такої функції дасть у точці розриву значення, що лежить посередині між верхнім і нижнім значеннями. Таким чином, якщо у нас є дивна функція f(t)=0 для 0≤.t<t₀ і f(t) = 1 для t₀≤t≤T, то її сума Фур'є всюди дасть нам правильну величину, за винятком точки t₀, де замість одиниці вийде 1/2. У всякому разі, фізично навіть не можна вимагати, щоб функція була всюди нулем аж до точки t₀, а в самій точці t₀ раптом стала рівною одиниці. Можливо, варто було б спеціально для фізиків видати такий «указ», що будь-яка розривна функція (яка може бути лише спрощенням справжньої фізичної функції) у точці розриву повинна набувати середнього значення. Тоді будь-яка така функція, з будь-яким скінченним числом «сходинок», як і всі інші цікаві для фізики функції,  буде  правильно  описуватися  рядом  Фур'є.
Як вправу пропонуємо читачеві знайти ряд Фур'є для функції, показаної на фіг. 50.3. Оскільки цю функцію не можна записати в точній алгебраїчній формі, то брати інтеграл від 0 до T звичайним способом неможливо. Однак якщо розділити його на дві частини: за інтервалом від 0 до T/2 [на якому функція f(t) = 1] і за інтервалом від T/2 до T [на якому f(t) = -1], то інтеграл легко береться. У результаті має вийти

де ω=2π/T. Таким чином, виявляється, що для нашої східчастої хвилі (зі спеціально вибраною фазою) будуть лише непарні гармоніки, причому їхні амплітуди обернено пропорційні частотам.
 
Перевіримо, що для деякого значення t результат (50.19) справді дає знову f(t). Візьмемо t= T/4 або ωt=π/2. Тоді

Сума цього ряду дорівнює π/4, а отже, f(t) = 1.